把握教材編寫意圖 精準定位課堂教學
——以“點到直線的距離公式”為例

侯明霞

? 江蘇省無錫市立人高級中學

章建躍教授在《理解數學是教好數學的前提》一文中指出數學教師必須在理解數學、理解學生、理解教學上狠下功夫.數學理解不僅僅是對教材的內容知識、實質性結構知識等方面的理解,還包括對教材編者意圖的深度理解.新高考形勢下,隨著新教材的使用和課程改革的不斷深入,各版本教材的不同之處及新版教材的編寫意圖受到廣大教師越來越多的關注.解析幾何的本質是用代數方法研究幾何圖形的性質.坐標法作為研究解析幾何的通性通法,在教學中已經得到了教師的足夠重視.向量既是代數研究對象,也是幾何研究對象,是溝通幾何與代數的橋梁.向量方法的運用突出了幾何直觀與代數運算之間的融合,這一點正是高中數學新教材(2019人教A版)與以往版本教材的重要區別之一.能否領會教材編者意圖,是衡量教師理解教材程度的一個重要標志,對編者意圖領會得越深,越能充分發揮教材在教學中的作用.本文中以“點到直線的距離公式”為例,說明在教學設計中如何充分領會新教材編者意圖,多角度、多方面、多層次提升核心素養的具體做法.

1 教學支持條件分析

教學要基于學生已有的知識和經驗即學生的“最近發展區”來開展.通過“直線方程”的學習,學生在用代數方法研究幾何元素間的位置關系方面已經積累了必要的思想方法;在“空間向量與立體幾何”一章的學習中,學生學會了運用向量運算研究空間基本圖形的位置關系和度量關系的方法.尤其在“用空間向量研究距離、夾角問題”一節中,學生進一步理解了“向量的投影”和“投影向量”這兩個概念,學習了用投影向量求解點到直線距離的方法,體會到向量是研究幾何問題的一個強有力的工具.這些內容的學習都為本節課的教學開展奠定了堅實的基礎.

2 教學過程設計

2.1 知識回顧,奠定課程學習基礎

問題1點P1(x1,y1),P2(x2,y2),則|P1P2|=______.該公式是如何證明的?

2.2 活動探究,發揮學生主體作用

問題3你能求出點P(-1,2)到直線l:x-y-3=0的距離|PQ|嗎?

點評：此為向量法.通過上一環節的知識回顧,學生順利應用向量知識完成了解答,符合課程設計的預期.在問題2的基礎上,有的學生首先選擇了用向量來求解,恰恰說明向量法在程序化處理后,是容易被學生聯想到的.

生2:過點P作平行于y軸的直線交直線l于點M,|PM|=6,在等腰直角三角形PQM中求解|PQ|.

點評：此為構造直角三角形法.由于問題3中給定的直線的斜率等于1,因此可以作y軸的平行線構造等腰直角三角形來求解.

追問:如果直線l的斜率不特殊,該如何構造直角三角形呢?

生3:分別作x軸、y軸的平行線構造直角三角形.

點評：生2、生3兩位同學的方法雖然不同,但其本質是一樣的.生3的方法與“兩點間的距離公式”的“構造直角三角形”的證明方法不謀而合,體現了各部分知識之間的連貫性、統一性.

生4:先求直線PQ的方程,再求交點Q的坐標,最后利用兩點間距離公式求解|PQ|.

點評：此為定義法.此方法利用“兩點間距離的公式”,突出了用代數方法研究幾何問題即“幾何表達、代數運算”的解決思路,大多數學生選擇了這一方法,恰恰體現了用坐標法研究幾何問題的普適性.

設計意圖：通過對已學知識的回顧,針對提出的問題,留給學生較大的自主空間,讓學生積極參與、主動建構,培養獨立自主分析問題、解決問題的能力.

2.3 公式推導,提升數學核心素養

問題4一般地,對于平面直角坐標系中的任意一點P0(x0,y0),直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),你能夠在剛才問題的研究基礎上,推導點到直線的距離公式嗎?

方案1：由定義法出發進行公式的推導.

問題5上述推導過程運算復雜,有沒有簡化運算的技巧呢?

問題6問題4針對的是A≠0,B≠0的一般直線方程,對于A=0或B=0的特殊情況,結論是否成立呢?

設計意圖：基于具體問題的分析與解決,由大多數同學選擇的定義法出發,從特殊到一般,給予學生足夠的時間讓他們獨立運算,充分體驗公式推導過程中的運算難度.在此基礎上,適度地引導,教會學生選擇恰當的運算方法,提高學生對復雜代數式的處理能力,培養數學運算素養.同時,復雜的代數運算必然會激發學生尋求簡化運算的動力,此時適時地介紹“設而不求”的簡化運算方法,讓學生初步感悟“設而不求”方法的巧妙之處.教材在編寫時首先展現了這一推導過程,筆者認為其意圖是由思路自然的“大眾化”方法出發,在強調坐標法的普適性的同時,一步步引出簡化運算的探索過程.

方案2：由構造直角三角形出發進行公式的推導.

設計意圖：通過教師完整呈現公式的推導過程,引導學生體會傳統幾何與解析幾何方法上的融合與統一.方案2的設計意圖是讓學生從不同角度嘗試簡化運算,進行公式的推導,培養學生對知識的遷移與聯想能力.教材在“兩點間的距離公式”和“點到直線的距離公式”兩節課內容的編寫上都有意識地強化了這一思想.

方案3：由向量法出發進行公式的推導.

設計意圖：通過與前面用解析法推導公式的比較,向量法具有明顯的運算優勢,更為簡潔.教學設計過程能夠讓學生充分體會到向量是研究有關角度、距離等幾何問題的強有力的工具.向量的學習對高中生數學素養發展的意義重大,這也是高中數學新教材(2019人教A版)的一個重要的編寫意圖.與以往版本教材不同,新版教材無論是在平面幾何還是在立體幾何中,處理有關距離和角度的問題時,都重點強化了向量這一有力工具.教師參考書中也明確地要求“課堂教學要讓學生能夠掌握運用向量研究角度、距離的方法并能夠描述解決這一類問題的程序,要充分發揮向量及其方法在研究幾何問題的重要作用.教材的這一設計為學生進入高等教育階段的數學學習奠定了基礎,也是全面落實立德樹人根本任務的基本要求.

2.4 公式應用,完善知識整體體系

例1求點P(-1,2)到下列直線的距離:

(1)2x+y-10=0; (2)3y=x+7; (3)3x=2.

例2已知兩條平行直線l1:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-1=0,求l1與l2之間的距離.

設計意圖：例1檢測、鞏固學生對公式的理解與應用.例2通過讓學生獨立探究兩平行線之間的距離,拓展學習的寬度,進一步強化學生自主學習的能力.

3 教學總結

本節課由一個具體的問題出發,采用從特殊到一般的探究、學習過程,完成了建構知識的目的.教學過程中樹立發展學生數學核心素養的教學意識,啟發學生獨立思考,暴露學生的思維過程,注重學生的學習主體地位,滲透數形結合、轉化與化歸、從特殊到一般等數學思想方法,著力培養學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象等數學核心素養.教學內容的設計上,在強化坐標法解決幾何問題的程序性與普適性,強調它的重要地位的同時,也突出了向量的工具性,凸顯它在處理有關角度、距離等幾何問題的優越性.教學活動的設計充分落實了教材編寫意圖.

4 結束語

章建躍教授在新教材培訓會議中提出,教材、課程標準與教師教學用書應該是每一位教師的枕邊書,是教育教學的根本依據.教師必須認真研讀教材,深入研究普通高中數學課程標準與教師教學用書,準確把握教材編寫意圖,將課堂教學落到實處.本節課在課堂設計過程中既注重了解析幾何中通性通法的學習,也突出了向量在教材中運用的連貫性,教材的編寫意圖在一定程度上得到了較好的詮釋與闡述.Z