聚焦橢圓與三角 溯源算理與算法*
——2023年全國高考理科數學甲卷第12題多視角解析及變式探究

余 泳 吳宣良 武星紅

? 四川省雙流中學

1 問題再現

2 問題分析

圖1

章建躍認為,“通性通法”是解題教學追求的最終目標,教學中要引導學生注重“若拙”的通法.上述問題轉化為解三角形的問題后,首先從通性通法的角度,正弦定理和余弦定理是最一般的解題思路.其次,由于是中線問題,容易聯想到與向量加法結合.再次,利用條件求出點P的坐標也是一種自然的思路.根據以上解決本題的“通性通法”,筆者總結出了以下思維導圖(如圖2).

圖2

3 問題解決

余弦定理思路:利用橢圓的定義以及余弦定理直接求出|PF1|,|PF2|,再利用余弦定理列方程求出|PO|的值,得到方法1.

①

由題可得

|PF1|+|PF2|=2a=6.

②

人教A版新教材必修二課后習題中給出了中線公式,學生可以直接利用橢圓的定義以及余弦定理求出|PF1|2+|PF2|2,再由中線公式求解,得到方法2.

方法2：同方法1得到①②,聯立得

事實上,中線公式可以由向量推導而來,因此求出|PF1||PF2|,|PF1|2+|PF2|2后,結合中線的向量公式以及數量積即可求出|OP|,于是得到方法3.

在利用向量考慮中線問題時,極化恒等式是常用思路之一,這里求出|PF1||PF2|后可以利用極化恒等式求解,于是得到方法4.

假設點P的坐標為(x0,y0),聯立橢圓方程與圓弧方程求解(x0,y0),于是得到方法5.

求解坐標思路:根據題目條件建立方程求解點P的坐標也是較為通用的思路,利用參數方程和向量可以求解,得到方法7.

焦點三角形面積公式是常用的二級結論之一,根據焦點三角形面積公式求出△F1PF2的面積,即可得到點P的坐標,得到方法8.

4 問題溯源

溯源1“爪型”三角形與斯特瓦爾特定理

圖3

在三角形中,連接一個頂點與其對邊上任意一點,因其形狀類似爪子所以被稱為“爪型”三角形,如圖3所示.“爪型”三角形的問題可以利用cos∠APB+cos∠APC=0和余弦定理求解.

當點P特殊時,還可以得到如下推論:

若AP為角平分線時,則AP2=AB·AC-BP·CP.

溯源2隱圓問題

圖4

實際上,文中給出的8種解題思路是從不同角度對斯特瓦爾特定理和隱圓問題的證明和應用.

5 問題拓展

在“爪型”三角形中,P可以是BC上的任意一點.

解：略.

“爪型”三角形是解三角形問題中最常見的一種類型,解決此類問題的常規思路就是利用余弦定理或向量求解.

6 反思建議

2023年全國高考數學甲卷理科第12題中涉及的方法很典型,解三角形問題常規入手方式就是正弦定理與余弦定理,因為題目是求三角形的中線,所以又可以聯想中線公式、中線的向量表達式、極化恒等式等.同時,該題套有橢圓外衣,因此還可以從橢圓的參數方程、橢圓焦點三角形面積的二級結論入手.

備考時,提醒學生注意數形結合,注重三角形邊角關系的轉換,以及與其他知識的聯系.鼓勵學生一題多解、多題一解,并讓學生自己歸納總結此類題型的解題技巧和思想方法,培養學生的數學運算、邏輯推理等數學核心素養.Z