基于奇異攝動分解的固定翼無人機抗擾動滑模控制

梅平 張豪 朱涵智 蘇東彥 趙迅

奇異攝動法;固定翼無人機;滑模控制;干擾觀測器;動力學(xué)建模

0 引言

固定翼無人機具有續(xù)航時間長、巡航范圍大、使用成本低、信息感知強等優(yōu)點,作為高機動性載具能夠搭載多種儀器完成相應(yīng)任務(wù),被廣泛應(yīng)用于巡邏偵察、電子干擾、戰(zhàn)場支援、森林滅火、地形測繪等軍民用領(lǐng)域．然而,固定翼無人機是典型的具有非完整線性約束的運動體,其動力學(xué)模型具有耦合程度高、非線性強等特點[1]．同時,風(fēng)速等外界的擾動對于無人機的飛行影響也較大,對于不同形態(tài)的固定翼無人機,飛行姿態(tài)與速度的控制效果也不盡相同．因此,固定翼無人機的控制相較于旋翼等其他無人機控制更為復(fù)雜,控制難度也更大．

對于固定翼飛行策略優(yōu)化控制問題,眾多國內(nèi)外優(yōu)秀學(xué)者都有不同的見解、設(shè)計與實踐．王力等[2]在設(shè)計固定翼控制方法時,引入了非線性干擾觀測器對復(fù)合干擾進行精確估計,同時設(shè)計自適應(yīng)二階PID滑模控制器消除了切換控制引起的抖震現(xiàn)象．宗群等[3]針對固定翼無人機的姿態(tài)和速度控制中存在不確定和外部擾動的問題,設(shè)計自適應(yīng)超螺旋滑模干擾觀測器和控制器,從而實現(xiàn)固定翼無人機對速度和姿態(tài)命令的有限時間精確跟蹤．蒲明等[4]將新型快速Treminal滑模與動態(tài)滑模相結(jié)合,避免了控制器抖振,設(shè)計了近空間飛行器快、慢回路控制器,并采用改進的非線性干擾觀測器逼近近空間飛行器復(fù)合干擾,進一步提高控制精度．Raza等[5]利用輸出反饋控制拓撲為非線性固定翼模型設(shè)計魯棒控制器并且引入不確定性對控制器和觀測器的魯棒性進行了評估．然而,上述文獻未對固定翼模型進行解耦合運算,而是直接對角速度回路和速度、姿態(tài)回路采用非線性控制設(shè)計方法設(shè)計控制器,對于高度耦合系統(tǒng)來說這樣處理顯然難以保證控制的精度和準確性．

在系統(tǒng)理論與控制工程中,建模是一個基本問題．多數(shù)物理系統(tǒng)都含有快、慢動態(tài)耦合的現(xiàn)象．早期對這類系統(tǒng)的處理方法是簡單地忽略快變模態(tài)從而降低系統(tǒng)的階數(shù),然而,大量事實證明,基于這樣的簡化模型設(shè)計的控制效果往往與設(shè)計要求相距甚遠．比如,電力系統(tǒng)的快動態(tài)以毫秒計,但其能量十分巨大,快動態(tài)失調(diào)是導(dǎo)致電力系統(tǒng)崩潰的主要原因．因此,如果忽略快動態(tài)來分析電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性,效果與實際要求相差甚遠[6]．奇異攝動方法是有效處理這類問題的工具,其思想是首先忽略快變量以降低系統(tǒng)階數(shù),然后通過引入邊界層校正來提高近似程度[7]．這兩個降階的系統(tǒng)就可以用來近似原系統(tǒng)的動力學(xué)行為[8]．在飛機的控制中,速度的變化遠快于角度和位置的變化,可以考慮將此類系統(tǒng)建為奇異攝動模型[9]．因此,本文考慮到固定翼無人機的快、慢動態(tài)耦合特性,首先將其建立成奇異攝動模型,再利用奇異攝動分解能夠有效降低系統(tǒng)階次[10]、消除系統(tǒng)剛性問題的特性,將固定翼無人機的奇異攝動模型分解為以角速度為快變量的角速度回路和以速度、姿態(tài)為慢變量的速度、姿態(tài)回路,大大降低控制器的設(shè)計復(fù)雜性[11]．

不同于PID控制,滑模控制[12-13]本質(zhì)上是特殊的非線性控制,它通過控制作用使得系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡運動到合適的切換流形,然后沿此流形逐漸運動到平衡點,系統(tǒng)一旦進入滑模運動,在一定條件下便會對外部的干擾及參數(shù)擾動具有不變特性,因此,滑模控制方法具有算法簡單、抗干擾性能好以及容易實現(xiàn)等優(yōu)點,適用于不確定非線性多變量的控制系統(tǒng)[14]．但滑模控制因存在不利的抖動,對系統(tǒng)控制會造成影響,為此本文采用改進的滑模控制方法,從而減少傳統(tǒng)滑模所產(chǎn)生的抖動現(xiàn)象,降低系統(tǒng)跟蹤誤差,提高穩(wěn)定性．

本文的主要工作體現(xiàn)在以下幾個方面:

1)建立固定翼無人機的奇異攝動模型;

2)利用奇異攝動時標分解法對上述奇異攝動模型在不同時間尺度內(nèi)分解,建立解耦的角速度回路和速度、姿態(tài)回路;

3)提出改進的滑模控制器,減少系統(tǒng)抖動;

4)提出基于干擾觀測器的滑模控制,減少外部干擾．

1 固定翼奇異攝動系統(tǒng)建模

1.1 坐標系的建立與變換

運動中的固定翼無人機的動力學(xué)方程通常可以用非線性狀態(tài)空間形式或獨立的一階常微分方程組表示,由于方程中包含飛行相關(guān)的空氣動力、轉(zhuǎn)動慣量等因素,且橫、縱向運動之間會發(fā)生耦合,為有效表示飛機的運動狀態(tài),建立合適的坐標系是極其必要的．為了描述固定翼無人機的速度、位置和姿態(tài)變化,本文采用機體坐標系和地面坐標系來描述飛機的飛行狀態(tài),并且給出相應(yīng)的變換矩陣．

選取地面上任意一點ob為地面坐標系原點,xb指向正北,yb與xb垂直且指向正東,zb指向地心且與面xbobyb垂直．機體坐標系原點oe位于固定翼無人機質(zhì)心處,oexe軸指向固定翼機頭方向,oeye軸垂直于oexe軸指向飛機右側(cè),oeze軸垂直于xeoeye指向固定翼機腹．坐標關(guān)系如圖1所示．

為建立固定翼無人機動力學(xué)模型,現(xiàn)將各方向運動由參數(shù)表示,各參數(shù)及其含義[15]如表1所示．

表1 機體坐標系下運動參數(shù)及其含義

地面坐標系下能夠表示出固定翼無人機當(dāng)前的位置與姿態(tài)變化,在地面坐標系下,可分別用θ,ψ,Φ表示固定翼無人機的俯仰、滾轉(zhuǎn)、偏航角,xb,yb,zb表示無人機在地面坐標系下的位置．

1.2 固定翼無人機動力學(xué)建模

在不影響實驗及算法的基礎(chǔ)上,為方便分析,本文將做出如下假設(shè):

假設(shè)1:將整架飛機視為剛體,且在運動時間間隔內(nèi)忽略油量或電量消耗,認為飛機質(zhì)量為常量．

假設(shè)2:由于無人機是具有較小質(zhì)量和體積的舵機,故可忽略飛機轉(zhuǎn)動部件的陀螺效應(yīng)及操作控制系統(tǒng)的動力學(xué)特性影響．

假設(shè)3:飛機質(zhì)量分布關(guān)于xeze平面對稱,即D,F為0．忽略地球自轉(zhuǎn)對飛機的影響且重力加速度g不隨著飛機的運動而改變．

則可將固定翼無人機非線性模型[15]表示為

(1)

式(1)中各參數(shù)含義見表1．

氣動力與氣動力矩的表達式(包含系統(tǒng)產(chǎn)生的推力與推力矩)如式(2)、(3)所示:

(2)

(3)

CYδAδA+CYδRδR,

ClδAδA+ClδRδR,

CnδAδA+CnδRδR,

(4)

表2 空氣動力系數(shù)計算參數(shù)

1.3 奇異攝動模型建立

為滿足奇異攝動法對系統(tǒng)進行快慢分解的要求[17-18],可將各狀態(tài)參數(shù)表示為矩陣與行列式的形式,其表示方法如式(5)所示．

(5)

由于固定翼無人機線速度和角度相較于角速度變化慢[9],因此能夠?qū)⒕€速度與角度作為慢變量、角速度作為快變量進行處理．由式(1)、(5)可將動力學(xué)模型表示為

(6)

其中,各矩陣表達式如下:

式中,D1,D2分別為系統(tǒng)所受到的內(nèi)外部擾動,將式(6)進行移項整理化簡后可得:

(7)

奇異攝動系統(tǒng)是帶有小參數(shù)ε的系統(tǒng),時標分解法在奇異攝動分解領(lǐng)域具有重要的作用．其原理為假設(shè)一個系統(tǒng)整體能夠分解為快變化(非主導(dǎo)因素)和慢變化(主導(dǎo)因素)的系統(tǒng),快子系統(tǒng)較慢子系統(tǒng)的變化速率更快,達到穩(wěn)定時所用的時間也更少．引入小參數(shù)ε(0<ε<1),令z1=εz,可將式(7)表示為

(8)

1.4 快慢子系統(tǒng)分解

奇異攝動法能夠根據(jù)不同的時間尺度將系統(tǒng)分解為近似于原系統(tǒng)的快子系統(tǒng)與慢子系統(tǒng),從而得到系統(tǒng)的近似解,即快變量與慢變量,通過為兩個近似子系統(tǒng)分別設(shè)計控制方法以達到預(yù)期的控制目標．令快子系統(tǒng)的控制輸入為uf,慢子系統(tǒng)的控制輸入為us．

假設(shè)慢子系統(tǒng)的時間尺度為t,輸入為us(t),則令ε=0,代入式(8),可求得近似解:

zs=-G(xs)-1[G2(xs)+G3(xs)us+D2(x,z,t)]．

(9)

將式(9)代入式(8)可得慢子系統(tǒng)表達式:

(10)

其中,A(xs)=f2(xs)-F1(xs)G(xs)-1G2(xs),U(xs,us)=[f3(xs)-F1(xs)G(xs)-1G3(xs)]us,

式(10)即為慢子系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型．

由于z=zs+zf,u=us+uf．因此,在新的時間尺度τ(τ=t/ε)下,能夠求得:

G3(xs)(us+uf)+D2(x,z,t),

(11)

代入式(9)可得快子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

(12)

綜上,式(10)、(12)共同構(gòu)成了解耦后的固定翼無人機快慢子系統(tǒng)模型,其中,xs為慢子系統(tǒng)線速度、角度向量,zf為快子系統(tǒng)角速度向量．

2 干擾觀測器的設(shè)計

由于系統(tǒng)存在不確定性以及外界的干擾,為了盡量減小外界擾動對固定翼無人機控制系統(tǒng)產(chǎn)生的影響,提升系統(tǒng)的控制精度,本文引入了干擾觀測器對外界擾動進行逼近．

由文獻[19-20]提出的非線性干擾觀測器(Nonlinear Disturbance Observer,NDO)結(jié)構(gòu)簡單且運算量較小,同時能夠獲得較高精度的估計值,本文采用此方法對系統(tǒng)內(nèi)外部的擾動進行估計．假設(shè)系統(tǒng)的內(nèi)外部干擾及其變化率有界,且其界限滿足:

(13)

針對慢系統(tǒng)設(shè)計的干擾觀測器形式如下:

(14)

(15)

求解式(15)可得:

(16)

由式(13)可得補償誤差的上下限:

(17)

3 基于干擾觀測器的滑模控制器設(shè)計

分別為奇異攝動法分解后的快慢子系統(tǒng)設(shè)計滑模控制器能夠有效地提升系統(tǒng)的控制精度和速度,其系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)如圖2所示．

圖2 基于奇異攝動的抗干擾滑模控制Fig.2 Schematic diagram of anti-disturbance sliding mode control based on singular perturbation

本設(shè)計采用奇異攝動時標分解法,將固定翼無人機系統(tǒng)飛行控制問題轉(zhuǎn)化為不同的回路,分別設(shè)計飛行控制器,此方法在提高不同回路的控制精確性的同時能夠顯著提高快回路的控制響應(yīng)速度．

3.1 基于干擾觀測器的角度回路滑模控制器設(shè)計

對慢子系統(tǒng)設(shè)計滑模控制[10,13,18]:

(18)

其中,Xc為給定的系統(tǒng)期望值,Xs為系統(tǒng)的實際輸出值,Cs為增益矩陣．

(19)

(20)

本文采用tanh函數(shù)代替sign函數(shù),該切換項具有飽和函數(shù)特性且比飽和函數(shù)更加平滑,能夠有效減少滑模控制率的抖動現(xiàn)象,可以保證平滑切換,從而提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制精度．采用李雅普諾夫方程證明穩(wěn)定性時,該函數(shù)具有與sign函數(shù)相似的性質(zhì),具體可見參考文獻[23-24]．

將式(18)代入式(17)并用李雅普諾夫方程:

對V求導(dǎo)可得:

(21)

3.2 角速度回路滑模控制器設(shè)計

對于快系統(tǒng)

(22)

設(shè)計滑模控制,可令滑模面Sf=Cfze,其中ze=zc-zf．

(23)

其中,

設(shè)所期望的到達率為

(24)

則相應(yīng)的變結(jié)構(gòu)控制率為

(25)

(26)

4 仿真與分析

由文獻[16]可獲得仿真所需的固定翼無人機質(zhì)量、翼展、面積等數(shù)據(jù),再由風(fēng)洞實驗可獲得對應(yīng)的固定翼氣動力參數(shù)數(shù)據(jù)．

本文仿真是基于Matlab程序中的Simulink運行的,仿真目標是對奇異攝動方法解耦后的機體坐標系下固定翼無人機速度及角速度進行控制．仿真所采用的固定翼無人機質(zhì)量m=20.64 kg,翼展b=1.96 m,受力面積S=1.37 m2,三軸上的轉(zhuǎn)動慣量Ixe=1.607 3 kg/m2,Iye=7.508 5 kg/m2,Ize=7.186 5 kg/m2,慣性積J=-0.561,其余參數(shù)見表2．

給定期望值Xc為

(40H(t)-20,10H(t)-5,10H(t)-5,

2H(t)-1,2H(t)-1,2H(t)-1)T,

其中,

(27)

給定zc期望值為(2H(t)-1,2H(t)-1,2H(t)-1)T．NDO中參數(shù)取值如下:

(28)

圖3所示為解耦后的慢系統(tǒng)仿真曲線．

圖3 解耦后的基于擾動觀測器滑模控制線速度及姿態(tài)角仿真對比Fig.3 Simulation comparison of linear velocity and attitude angle of sliding mode control based on disturbance observer after decoupling

從圖3可以看出,采用tanh函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)滑模控制函數(shù)能夠很好地消除抖動現(xiàn)象,從而達到提高系統(tǒng)穩(wěn)定性效果．圖3a—d分別為有無擾動觀測器情況下的慢系統(tǒng)線速度與姿態(tài)角輸出曲線,可以看出,當(dāng)面對內(nèi)外部的不確定擾動時,系統(tǒng)很難有效地對擾動做出調(diào)整,降低了系統(tǒng)的控制精度,同時也無法保證系統(tǒng)能夠追蹤期望曲線．因此,面對未知擾動時,加入擾動觀測器是很有必要的,對于本身與外部擾動數(shù)值相差過大的量,干擾觀測器也能夠很好地對擾動值進行估計抵消．

圖4為帶擾動觀測器的快系統(tǒng)角速度輸出曲線與未解耦的原系統(tǒng)滑模控制系統(tǒng)的角速度輸出對比,可以看出,對于采用奇異攝動方法解耦后的快系統(tǒng),在新的時間尺度τ下單獨設(shè)計的控制器和擾動觀測器能夠使得角速度快速達到期望值,相較于傳統(tǒng)滑模控制,解耦后的快子系統(tǒng)具有更快的響應(yīng)速度和更好的穩(wěn)定性,同時能夠抵消大部分外界和內(nèi)部的干擾．從而說明對于快、慢動態(tài)耦合的系統(tǒng),奇異攝動分解方法和擾動觀測器能夠快速有效地達到期望控制,同時提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性．

圖4 帶擾動觀測器的快系統(tǒng)與未解耦原系統(tǒng)滑模控制角速度輸出仿真對比Fig.4 Simulation comparison of angular velocity output of sliding mode control between fast system with disturbance observer and uncoupled original system

5 結(jié)論

針對固定翼無人機速度、姿態(tài)的高精度控制,本文采用奇異攝動時標分解方法將固定翼耦合系統(tǒng)分解為慢變的速度回路和快變的角速度回路,同時對解耦后的快、慢系統(tǒng)分別設(shè)計基于非線性干擾觀測器的改進滑模控制方法．仿真結(jié)果表明:本文提出的方法有效地減少了滑模控制所產(chǎn)生的抖震現(xiàn)象,提高了固定翼無人機系統(tǒng)的抗干擾能力;對于采用時標分解解耦的無人機系統(tǒng),時標分解技術(shù)能夠降低控制器設(shè)計的復(fù)雜性和提高系統(tǒng)控制的精度．