粒子群優(yōu)化算法計(jì)算數(shù)控加工逼近誤差研究

李鵬飛，劉 威，2，張子煜，王天力，范呂陽(yáng)

（1.蘇州科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011；2.蘇州科技大學(xué) 天平學(xué)院，江蘇 蘇州 215011）

在數(shù)控加工刀軌生成中，逼近誤差是指在進(jìn)給方向上刀具從一個(gè)刀位點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到下一個(gè)刀位點(diǎn)形成的包絡(luò)面與刀觸點(diǎn)軌跡線之間的最大誤差，逼近誤差與相鄰刀觸點(diǎn)、刀位點(diǎn)的距離（即步長(zhǎng)）正相關(guān)。步長(zhǎng)規(guī)劃方法主要有等參數(shù)法、等距法、步長(zhǎng)篩選法和等誤差步長(zhǎng)法[1-3]。

在三軸球頭刀精加工中，逼近誤差計(jì)算的實(shí)質(zhì)是在刀觸點(diǎn)軌跡線上搜索一刀觸點(diǎn)，此刀觸點(diǎn)到刀位點(diǎn)連線的距離為最值，是典型的多目標(biāo)優(yōu)化問題。目前計(jì)算逼近誤差一般采用幾何迭代法[4-6]，其原理在提高計(jì)算效率方面的瓶頸，導(dǎo)致需要大量逼近誤差計(jì)算的高精度刀軌和等誤差刀軌的生成時(shí)間難以減少。

智能算法是對(duì)生物群體協(xié)同搜索機(jī)制和物理原理驅(qū)動(dòng)下的變化現(xiàn)象抽象、提煉出的優(yōu)化算法，在全局尋優(yōu)的精度和效率上比傳統(tǒng)的迭代法優(yōu)勢(shì)明顯[7-9]，理論上能夠用于在刀觸點(diǎn)軌跡線上搜索與刀位點(diǎn)連線的距離為最值的點(diǎn)。

作為應(yīng)用最廣泛的智能算法之一，粒子群算法[10]模擬鳥群或蜂群的覓食行為進(jìn)行最優(yōu)解搜索，算法思路清晰、計(jì)算高效，被廣泛應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域[11-13]。但粒子群算法易過早收斂、陷入局部最優(yōu)[14]，為此，文獻(xiàn)[15]提出了帶約束因子的粒子群優(yōu)化算法，以提高算法靈活性和收斂速度。文獻(xiàn)[16-19]則對(duì)慣性權(quán)重的變化分別提出了模糊系統(tǒng)動(dòng)態(tài)調(diào)整、線性遞減、隨機(jī)慣性、非線性遞減的優(yōu)化策略，以保持局部最優(yōu)和全局最優(yōu)之間的平衡。文獻(xiàn)[20]提出一種跟隨非線性慣性權(quán)重系數(shù)變化的動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)因子，以提高算法的全局搜索能力和局部搜索精度。

受粒子群算法、逼近誤差計(jì)算過程原理相似和上述研究成果啟發(fā)，本文建立逼近誤差計(jì)算的刀觸點(diǎn)區(qū)間與粒子搜索區(qū)間之間的映射關(guān)系，提出逼近誤差適應(yīng)度函數(shù)、慣性權(quán)重因子和學(xué)習(xí)因子的創(chuàng)建和優(yōu)化方法，最終完成整個(gè)粒子群算法的構(gòu)造，實(shí)現(xiàn)逼近誤差的高效計(jì)算。

1 逼近誤差與粒子群算法基本原理

1.1 逼近誤差幾何原理

現(xiàn)有方法常以刀觸點(diǎn)軌跡線上的弦弧之間的弓高誤差近似作為逼近誤差[21]，如圖1 所示，一般將相鄰兩刀觸點(diǎn)PiCC、Pi+1CC間的刀觸點(diǎn)軌跡線視為等半徑圓弧，即Ri=Ri+1。已知弓高誤差最大允許值eG、刀觸點(diǎn)PiCC及其曲率半徑Ri，由勾股定理可得式（1），變換可得式（2）并求出步長(zhǎng)Di。然而真實(shí)的逼近誤差是刀具包絡(luò)面與刀觸點(diǎn)軌跡線之間的誤差，刀觸點(diǎn)軌跡線曲率越大，與弓高誤差之間的差值越大。且在凸區(qū)域時(shí)，真實(shí)逼近誤差大于弓高誤差，凹區(qū)域時(shí)小于弓高誤差。

圖1 弓高誤差示意圖

在三軸精加工中，球頭刀包絡(luò)面為以相鄰刀位點(diǎn)連線為軸線，半徑為R 的圓柱體，相鄰刀位點(diǎn)PiCL和Pi+1CL之間的真實(shí)逼近誤差ei如圖2 所示，其中PiCC、Pi+1CC為刀觸點(diǎn)，點(diǎn)pj為刀觸點(diǎn)軌跡線上與PiCL、Pi+1CL距離最小的點(diǎn)，逼近誤差ei可由式（3）表示。

圖2 逼近誤差示意圖

其中，R 為球頭刀半徑，Li為刀觸點(diǎn)線上的點(diǎn)pj到線段PiCLPi+1CL的距離。

真實(shí)誤差計(jì)算過程可視為在刀觸點(diǎn)軌跡線上搜索到刀位點(diǎn)連線距離為最值的特定數(shù)據(jù)點(diǎn)的過程，現(xiàn)有常用方法離散法是在刀觸點(diǎn)軌跡線上獲取離散數(shù)據(jù)點(diǎn)并進(jìn)行計(jì)算，但需生成大量離散數(shù)據(jù)點(diǎn)才能滿足高精度要求，計(jì)算效率難以提高已成為真實(shí)誤差廣泛應(yīng)用的最大瓶頸。

1.2 粒子群算法

粒子群算法的每個(gè)粒子都具有由適應(yīng)度函數(shù)決定的適應(yīng)值，粒子在每次迭代中不斷更新，并逐漸接近理論最優(yōu)粒子及其最優(yōu)解。

設(shè)在一個(gè)D 維搜索空間中有N 個(gè)粒子，第i 個(gè)粒子的位置和“飛行”速度如式（4）和（5）所示，歷次迭代搜索到的個(gè)體最優(yōu)值位置參數(shù)pbest可由式（6）表示，歷次迭代搜索到的種群最優(yōu)值位置參數(shù)可由式（7）表示。

第k 代的第i 個(gè)粒子的第d 維向第k+1 代進(jìn)化時(shí)速度和位置的更新如式（8）所示，其中d=1，2，3，…，D，w 為慣性權(quán)重因子，c1、c2分別為個(gè)體、群體學(xué)習(xí)因子，、r1、r2（0，1）之間相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)，f 為適應(yīng)度函數(shù)，粒子群中兩個(gè)極值pbest和gbest由式（9）和（10）求出。隨著迭代次數(shù)的增加，所獲得的極值逐漸逼近理論解，一般以迭代次數(shù)上限或極值變化量（即計(jì)算精度）為終止條件結(jié)束算法。

2 融合逼近誤差計(jì)算原理的粒子群算法優(yōu)化

逼近誤差的計(jì)算過程是在相鄰刀觸點(diǎn)之間搜索距離最值的過程，與粒子群算法相同，也是一種全局尋優(yōu)過程。為了實(shí)現(xiàn)運(yùn)用粒子群算法計(jì)算逼近誤差，提出適應(yīng)度函數(shù)、粒子搜索區(qū)間、慣性權(quán)重和學(xué)習(xí)因子的建立和優(yōu)化方法。本節(jié)以任意一行刀觸點(diǎn)軌跡CC 中第i 個(gè)和i+1 個(gè)刀觸點(diǎn)PiCC、Pi+1CC及其刀位點(diǎn)PiCL、Pi+1CC為例闡述算法。

2.1 設(shè)置粒子搜索區(qū)間

令刀觸點(diǎn)PiCC、Pi+1CC在刀觸點(diǎn)軌跡線上的參數(shù)分別為ui、ui+1，則逼近誤差所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于區(qū)間[ui、ui+1]的局部刀觸點(diǎn)軌跡線上。與點(diǎn)坐標(biāo)相比，參數(shù)u 僅一維，且直接決定點(diǎn)的相對(duì)位置和坐標(biāo)，更適合作為粒子。為了提高算法的規(guī)范性和普適性，提出將局部刀觸點(diǎn)軌跡線映射到標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間[0，1]，以[0，1]內(nèi)的離散數(shù)值作為實(shí)際計(jì)算的粒子。任意刀觸點(diǎn)軌跡線上的點(diǎn)pj的粒子mj可由式（11）求出，映射過程如圖3 所示。

圖3 刀觸點(diǎn)映射到標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間示意圖

2.2 建立逼近誤差的適應(yīng)度函數(shù)

由式（3）可知，刀位點(diǎn)PiCL、Pi+1CL之間的逼近誤差是刀觸點(diǎn)PiCC、Pi+1CC之間的刀觸點(diǎn)軌跡到線段PiCLPi+1CL的距離與刀具半徑R 差值的最值，因此兩者之間的差值是理想的適應(yīng)度函數(shù)。對(duì)于區(qū)間[0，1]內(nèi)的任意第j 個(gè)粒子mj，其適應(yīng)度的計(jì)算流程如下：

步驟1：運(yùn)用式（12）計(jì)算出粒子mj所對(duì)應(yīng)的刀觸點(diǎn)的參數(shù)值uj，代入式（13）計(jì)算出參數(shù)值uj在刀觸點(diǎn)軌跡線CC 上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)pj。

步驟2：運(yùn)用式（3）計(jì)算出刀觸點(diǎn)到刀位點(diǎn)連線之間的距離Lj。

步驟3：運(yùn)用式（14）計(jì)算出粒子mj的適應(yīng)度值。

2.3 優(yōu)化慣性權(quán)重

粒子群算法的初期一般需要較大的慣性權(quán)重因子以獲得較強(qiáng)的全局搜索能力，并隨著迭代次數(shù)增加遞減，從而加快粒子收斂到全局最優(yōu)[22]。

為了解決常用的慣性權(quán)重線性遞減方法在前期全局搜索能力弱的不足，本文利用余弦曲線在區(qū)間[0，π/2]內(nèi)的前、中、后段下降速度由慢到快的非線性特點(diǎn)，提出將粒子群優(yōu)化算法的迭代次數(shù)映射到此區(qū)間，獲得的慣性權(quán)重函數(shù)如式（15）所示，其中k 為迭代次數(shù)，wmax、wmin為慣性權(quán)重系數(shù)最大、最小值。此函數(shù)能夠在搜索初期、中期、后期分別獲得較慢、較快、快速的慣性權(quán)重下降速度，從而使粒子的全局搜索能力在初期時(shí)較強(qiáng)，隨后逐漸減弱，而局部搜索能力逐漸增強(qiáng)。

2.4 優(yōu)化學(xué)習(xí)因子

個(gè)體、群體學(xué)習(xí)因子，分別決定了自身、群體最優(yōu)位置在粒子飛行速度計(jì)算中的權(quán)重，當(dāng)時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)更偏向個(gè)體最優(yōu)方向，反之則更偏向群體最優(yōu)方向。

在迭代初期，由于距離最優(yōu)解較遠(yuǎn)，粒子應(yīng)注重自我認(rèn)知，根據(jù)個(gè)體最優(yōu)解進(jìn)行搜索；在迭代中后期，粒子較為接近最優(yōu)解，應(yīng)注重群體認(rèn)識(shí)，側(cè)重群體最優(yōu)解鄰域的局部搜索。為此，本文對(duì)學(xué)習(xí)因子采用線性變化的策略，計(jì)算式（16）所示，其中c1max、c1min、c2max和c2min分別為個(gè)體、群體學(xué)習(xí)因子的最大、最小值，隨著迭代次數(shù)k 的增加，c1、c2分別減小、增大。

3 粒子群優(yōu)化算法構(gòu)建

本節(jié)基于上述逼近誤差和粒子群算法的原理和優(yōu)化方法，設(shè)計(jì)基于粒子群優(yōu)化算法的逼近誤差計(jì)算流程。通過計(jì)算粒子適應(yīng)度值，迭代求出最優(yōu)粒子及其最優(yōu)適應(yīng)度值，以設(shè)置的計(jì)算精度作為計(jì)算終止條件，最后輸出最優(yōu)解作為逼近誤差。整個(gè)計(jì)算流程示意圖如圖4 所示，詳細(xì)過程如下：

圖4 逼近誤差計(jì)算流程圖

步驟1：將搜索區(qū)間[ui，ui+1]映射到[0，1]，設(shè)置種群規(guī)模N、速度閾值vmax、vmin和計(jì)算精度。

步驟2：隨機(jī)所有粒子的初始位置和初始速度。

步驟3：根據(jù)2.2 節(jié)計(jì)算出粒子的適應(yīng)度值獲得群體最優(yōu)粒子gbest。

步驟4：以式（15）自適應(yīng)改變慣性權(quán)重w，根據(jù)式（16）自適應(yīng)改變學(xué)習(xí)因子c1、c2。

步驟5：以式（8）更新粒子速度和位置。

步驟6：根據(jù)2.2 節(jié)計(jì)算出粒子的適應(yīng)度值。

步驟7：以式（9）和（10）更新個(gè)體最優(yōu)pbest和全局最優(yōu)gbest。

步驟8：如果滿足計(jì)算精度，轉(zhuǎn)到步驟9，否則轉(zhuǎn)到步驟3 繼續(xù)迭代。

步驟9：輸出當(dāng)前最優(yōu)粒子位置和適應(yīng)度值，即最大逼近誤差位置和逼近誤差值，算法終止。

4 算法實(shí)現(xiàn)與驗(yàn)證

4.1 算法實(shí)現(xiàn)

算法運(yùn)算過程中，慣性權(quán)重最大最小值wmax和wmin的取值對(duì)算法性能影響很大，然而取值并無明確的理論依據(jù)，多采用實(shí)驗(yàn)法選值，常將其設(shè)置在0.4 到0.9 之間[23]。算法選用了多組數(shù)值進(jìn)行測(cè)試，當(dāng)wmax=0.9、wmin=0.4 時(shí)，性能提高明顯，代入式（15）獲得慣性權(quán)重w 計(jì)算式，隨迭代次數(shù)k 的變化如圖5 所示。

圖5 慣性權(quán)重變化圖

與慣性權(quán)重類似，常將個(gè)體、群體學(xué)習(xí)因子的最大、最小值c1max、c1min、c2max和c2min設(shè)置為2[23]。本文結(jié)合優(yōu)化后慣性權(quán)重的變化趨勢(shì)，選用了多組數(shù)值組合進(jìn)行了測(cè)試，當(dāng)c1max=2.5、c1min=1.6、c2max=2.2、c2min=1.3 時(shí)，學(xué)習(xí)因子變化如圖6 所示，滿足了前中期加強(qiáng)粒子運(yùn)動(dòng)遍歷性、全局搜索能力和后期加強(qiáng)局部搜索能力的要求。

圖6 學(xué)習(xí)因子變化圖

完成上述數(shù)值選取后，在課題組自主開發(fā)的CAM 軟件上完成了所有算法的程序開發(fā)，實(shí)現(xiàn)了逼近誤差計(jì)算功能。

4.2 算法驗(yàn)證

以圖7（a）中的曲面為例生成刀軌，曲面尺寸為120 mm×120 mm×45 mm，刀具為直徑10 mm 的球頭刀，刀軌行數(shù)為80，按照等誤差步長(zhǎng)法生成刀軌，計(jì)算精度為0.1。分別采用幾何迭代算法[6]和本文算法進(jìn)行等誤差刀軌計(jì)算，生成的逼近誤差范圍為9～10 的等誤差刀軌如圖7（b）所示，再取4 種不同范圍逼近誤差進(jìn)行計(jì)算，運(yùn)行環(huán)境為Intel i7-10700、16G RAM 的計(jì)算機(jī)，所消耗的時(shí)間見表1，本文算法比幾何迭代算法的計(jì)算時(shí)間減少了16%以上，對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法的計(jì)算時(shí)間減少了7%以上，驗(yàn)證了在計(jì)算效率上的優(yōu)勢(shì)。

圖7 自由曲面與生成的等誤差刀軌

5 結(jié)論

為了提高數(shù)控加工中逼近誤差的計(jì)算效率，本文對(duì)粒子群優(yōu)化算法計(jì)算逼近誤差進(jìn)行了研究。為了提高算法普適性，將刀觸點(diǎn)軌跡線上搜索范圍映射到標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間，提出了適應(yīng)度函數(shù)，優(yōu)化了慣性權(quán)重因子和學(xué)習(xí)因子的變化策略。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的算法耗時(shí)更短。在未來的研究中，可進(jìn)一步在結(jié)構(gòu)、參數(shù)優(yōu)化等方面改進(jìn)算法，或探索其它類型的智能算法，以提高逼近誤差的計(jì)算效率。