由2023年遼寧高考壓軸題談“定值摩擦力下簡諧運動的對稱性”

施 堅

(江蘇省梁豐高級中學,江蘇張家港 215600)

2023年遼寧高考物理壓軸題是一個“板塊和彈簧”問題.無論是板塊問題,還是彈簧問題,都是高中物理的重點和難點,可以考查的知識點眾多.事實上,該題融合了牛頓運動定律、動量守恒定律、動量定理、功能關系等規律的運用,尤其是第(3)問還可以利用“定值摩擦力下簡諧運動的對稱性”來求解.下面,不妨先呈現一下試題和解析.

例1.(2023年遼寧高考第15題)如圖1所示,質量m1=1 kg的木板靜止在光滑水平地面上,右側的豎直墻面固定一勁度系數k=20 N/m的輕彈簧,彈簧處于自然狀態.質量m2=4 kg的小物塊以水平向右的速度v0=5/4 m/s滑上木板左端,兩者共速時木板恰好與彈簧接觸.木板足夠長,物塊與木板間的動摩擦因數μ=0.1,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.彈簧始終處在彈性限度內,彈簧的彈性勢能Ep與形變量x的關系為Ep=,取重力加速度g=10 m/s2,結果可用根式表示.

圖1

(1)求木板剛接觸彈簧時速度v的大小及木板運動前右端距彈簧左端的距離x1;

(2)求木板與彈簧接觸以后,物塊與木板之間即將相對滑動時彈簧的壓縮量x2及此時木板速度v2的大小;

(3)已知木板向右運動的速度從v2減小到0所用時間為t0.求木板從速度為v2時到之后與物塊加速度首次相同的過程中,系統因摩擦轉化的內能ΔU(用t表示).

解析:(1)由于地面光滑,則m1、m2組成的系統動量守恒,則有

m2v0=(m1+m2)v1.

代入數據有

v1=1 m/s.

對m1受力分析有

則木板運動前右端距彈簧左端的距離有

v12=2a1x1.

代入數據解得

x1=0.125 m.

(2)木板與彈簧接觸以后,對m1、m2組成的系統有

kx=(m1+m2)a共.

對m2有

當a共=a2時,物塊與木板之間即將相對滑動,解得此時的彈簧壓縮量

x2=0.25 m.

對m1、m2組成的系統,列動能定理有

代入數據有

(3)方法1.由于慣性木板繼續向右運動,繼續壓縮彈簧,木板減速的加速度值增大,小物塊做勻減速運動.木板從速度為v2時到之后與物塊加速度首次相同的過程中,木板m1的加速度一直大于木塊m2的加速度,則當木板與木塊的加速度相同時即彈簧形變量為x2時,說明此時木板m1的速度大小也是為v2,共用時2t0,且小物塊m2一直受滑動摩擦力作用.對m2有

-μm2g·2t0=m2v3-m2v2.

解得

則對于m1、m2組成的系統有

聯立有

方法2.如圖2所示,已知木板向右運動的速度從v2減小到0所用時間為t0,此時彈簧的最大壓縮量最大,設為x3,此時小物塊繼續向右做減速運動.此后木板由速度為0開始向左運動,木板受的滑動摩擦力不變,而彈簧的彈力逐漸減小.小物塊運動有兩種可能性:或一直向左勻減速直線運動;或在其中某個時候減為0后開始向左做勻加速直線運動.兩種情況下小物塊所受摩擦力一直是滑動摩擦力且始終為水平向左的恒力fm=μm2g.

圖2

當彈簧的壓縮量由x3恢復到x2時,木板與小物塊加速度相同,而在上述過程中木板上表面受到的滑動摩擦力方向始終向右,大小不變,即木板是在恒力作用下的彈簧振子做簡諧運動,因此彈簧的壓縮量由x2到x3和由x3恢復到x2時間相等,都是t0.由簡諧運動的對稱性可知,木板兩次經過彈簧壓縮量為x2位置時木板速度值大小相等方向相反,兩次經過這一位置時彈簧的彈性勢能相等、木板的動能相等.這一過程小物塊一直做加速度不變的勻變速運動.設彈簧壓縮量再次為x2時小物塊的速度為v3,可得

對小物塊,根據動能定理可得

這一過程系統減少的能量等于

點評:本題的第(1)問比較常規,光滑水平面上的板塊相對滑動后獲得共同速度,典型的動量守恒和牛頓運動定律問題.第(2)問圍繞相對滑動的臨界加速度分析、板塊整體與彈簧間的功能轉化問題展開.第(3)問方法1需要挖掘出隱含條件:木板和小物塊兩者加速度再次相等前總是a板＞a塊=μg,即當再次a板=a塊=μg符合題意,此時彈簧形變量再次變為x2,小物塊m1的速度大小再次變為v2(但方向相反),共用時一定為t0+t0=2t0,繼而運用動量定理和功能關系容易得解.方法2利用了恒力作用下的彈簧振子做簡諧運動,木板所受的小物塊施加的恒定的滑動摩擦力類似于豎直方向彈簧振子所受的重力,可以利用簡諧運動的對稱性獲知兩者加速度再次相等時“木板速度值大小相等方向相反,兩次經過這一位置時彈簧的彈性勢能相等、木板的動能相等”,繼而結合運動學和功能關系得解.

事實上,2022年江蘇高考選擇題第10題如果用常規的牛頓運動定律、能量守恒定律來求解耗時較長,過程也比較復雜,但若建立起簡諧運動模型,解答過程明顯簡潔.

例2.(2022年江蘇高考第10題)如圖3所示,輕質彈簧一端固定,另一端與物塊A連接在一起,處于壓縮狀態,A由靜止釋放后沿斜面向上運動到最大位移時,立即將物塊B輕放在A右側,A、B由靜止開始一起沿斜面向下運動,下滑過程中A、B始終不分離,當A回到初始位置時速度為0,A、B與斜面間的動摩擦因數相同、彈簧未超過彈性限度,則

圖3

(A)當上滑到最大位移的一半時,A的加速度方向沿斜面向下.

(B)A上滑時,彈簧的彈力方向不發生變化.

(C)下滑時,B對A的壓力先減小后增大.

(D)整個過程中A、B克服摩擦力所做的總功大于B的重力勢能減小量.

解析:建立起簡諧運動模型,A上滑過程中,A的加速度先沿斜面向上逐漸減小后,沿斜面向下逐漸增大.當A上滑到最大位移的一半時,即是平衡位置處加速度為0,(A)錯誤.A、B一起下滑時,仍做簡諧運動,B在平衡位置上方且向平衡位置運動時加速度減小,而加速度是由B的重力沿斜面向下的分力、A對B向上的彈力以及所受斜面的摩擦力的合力提供,加速度減小,勢必A對B向上的彈力增大,而在平衡位置下方遠離平衡位置運動,加速度增大,而加速度是由A對B向上的彈力、斜面的摩擦力和與B的重力沿斜面向下分力的合力提供,加速度增大,勢必A對B向上的彈力增大.根據牛頓第三定律可知,下滑時B對A的壓力一直增大,(C)錯誤.A上滑時,彈簧的彈力方向若發生變化,則在最高點和最低點時彈簧彈力一定反向,且在最高點彈力沿斜面向下,那么剛下滑時即使A、B之間沒有相互的彈力,A受到重力沿斜面向下的分力、沿斜面向上的摩擦力和沿斜面向下的彈簧彈力,兩者加速度一定有aA＞aB,下滑過程中A、B一定分離,矛盾,因此A上滑到最高點時彈簧一定不會處于拉伸狀態,即彈簧的彈力方向不發生變化,(B)正確.由于A回到初始位置,整個過程中彈力做功為0,A重力做功為0,當A回到初始位置時速度為0,根據系統功能關系可知整個過程中A、B克服摩擦力做總功等于B的重力勢能減小量,選項(D)錯誤.

可見,兩道高考題乍看很不一樣,但細細品味考查的知識點和規律竟然如此相近,而且都可以利用恒定摩擦力作用下的簡諧運動來快速解答,但也有區別.2023年遼寧高考壓軸題木板所做簡諧運動是在木塊施加的恒定摩擦力時,而2022年江蘇高考題A或AB整體所做的簡諧運動其實是受到變向的摩擦力,僅從A來看則是在定值變向的摩擦力下,所以A完成的不是真正意義上的簡諧運動,但之所以能夠完成振幅不變的簡諧運動全程,是因為B給了A一個向下的驅動力補充了能量.

那么,定值變向摩擦力下的簡諧運動如果加以深入研究又會有怎樣的結論?對稱性能否使用,對解決一些復雜的往復運動有沒有什么優勢呢?下面,不妨以2023年蘇州市高考零模第10題為例做深入探討.

例3.(2023年蘇州零模卷第10題)如圖4所示,水平桌面上的輕質彈簧一端固定,另一端與小物塊相連,彈簧處于自然長度時物塊位于O點(圖中未標出).物塊質量m=1 kg,彈簧勁度系數k=100 N/m,物塊與桌面間的動摩擦因數μ=0.1.現用水平向右的力將物塊從O點拉至A點,彈簧伸長量Δx=11 cm,撤去拉力后物塊由靜止向左運動經O點最遠到達B點.重力加速度為g=10 m/s2.下列說法中正確的是

圖4

(A)物塊在B點所受彈簧彈力與在A點大小相等.

(B)物塊運動的總路程為60.5 cm.

(C)物塊最終停在O點左側1 cm內某處.

(D)物塊最終停在O點左側1 cm處.

方法1.A→B過程摩擦力做負功產生熱量,EpA＞EpB,因此彈簧彈力FA＞FB,(A)錯誤.

解得xB=xA-2=9 cm.

同理,當物塊再次到達最右端C點時,

解得xC=xB-2=7 cm.

依次類推為一個等差數列:xD=5 cm,xE=3 cm,xF=1 cm(如圖5所示),當在F點時剛好達到F=f,處于平衡狀態,靜止,故選(D).

圖5

路程為s=(11+9+9+7+7+5+5+3+3+1)cm=60 cm.故(B)錯誤.

方法2.取O點為坐標原點,向右為正.

(A)物塊運動示意圖如圖6所示,物塊在自右向左運動時,運動形式為半個周期的簡諧運動,其平衡位置位于O點右側的O'點,其位置坐標滿足

圖6

-kxO'+μmg=0,

可得

xO'=1 cm.

從A點開始向左運動時彈簧伸長量為11 cm.根據簡諧運動的對稱性可得B點位置為彈簧壓縮量為9 cm處.故AB兩點彈力大小不等.(A)選項錯誤.

(B)(C)(D)選項分析:自左向右運動時,運動形式也為半個周期的簡諧運動,其平衡位置位于O點左側的O″點,其位置坐標滿足

-kxO″-μmg=0,

可得

xO″=-1 cm.

因為物塊停止運動的條件為彈簧彈力小于等于最大靜摩擦力,即-kxO'+μmg≤0或-kxO″-μmg≤0時物塊在xO″≤1 cm和xO″≥-1 cm停下.

類似上述推導過程,可得物塊繼續從B點開始向右運動時彈簧伸長量為9 cm,根據簡諧運動的對稱性可得A'點位置為彈簧壓縮量為7 cm處.

依次類推,A'B'=(7+5)cm,B'A″=(5+3)cm,A″O″=(3+1)cm,且xO″=-1 cm.

因此,物塊依次經歷A→B→A'→B'→A″→O″的運動,最終停于O″點.總路程為

s=AB+BA'+A'B'+B'A″+A″O″=60 cm.

(D)正確,(B)(C)錯誤.故選(D).

點評:簡諧運動具有對稱性,本題雖屬于阻尼情形,但阻尼為定值摩擦阻力,其實仍具有對稱性,只是不是關于彈簧原長位置處對稱,而是關于彈簧彈力與摩擦力相等的位置對稱,而且向左運動和向右運動兩種情況的對稱點O1、O2關于O又對稱(如圖7所示).這也導致每半個周期振子的振幅會衰減2 cm或彈簧的形變量(拉伸量或壓縮量)依次交替減小2 cm,當然使用歸納法也能找出這一一般規律.

圖7

需要特別指出的是,本題有一個思維陷阱,學生可能會不假思索地認為振子最終會停在xO'=1 cm或xO″=-1 cm處,實際上那僅僅是數據設計中的一個巧合.如果改變初位置,小物塊在-1 cm＜x＜1 cm也完全可以停下,例如條件改為“將物塊從O點拉至A點,彈簧伸長量Δx=10.5 cm”,那么振幅或彈簧的形變量(拉伸量或壓縮量)依次交替減小2 cm,最終停在O點左側-0.5 cm處.

那么,在“定值摩擦力作用下的彈簧振子仍具有對稱性”如何證明?

證明1:OA為第一次距離O的最遠處,記為A0,此后每半周期到達距離O最遠處1次,每次到達距O點最遠距離依次記為A1,A2,A3…An.任取小物塊從A釋放后i個半周期,由功能關系可得

整理可得

ΔA=Ai-1+Ai=,其中k為彈簧的勁度系數.

可見,小物體振幅每半個周期衰減2μmg/k,是一個常量.

雖然,上述證明是基于水平方向定值摩擦力作用下彈簧振子模型,事實上在豎直方向或斜面上的定值摩擦力作用下彈簧振子模型也是成立的,這里就不再贅述.那么,如果要畫出振動過程中的位移與時間的xt圖像又是如何呢?

首先,雖然,定值摩擦力作用下彈簧振子的能量不斷減小,振幅不斷按等差數列減小,但振動周期與振幅無關,仍為,因此,x-t圖像仍是正弦(或余弦),只是不斷比例縮小,具體情形如圖8所示.

圖8 振動的x-t圖像