基于控制容積干縮模型的X 射線法測算木材含水率分布*

呂嘉莉 涂登云 胡傳雙 王先菊 王清文,3 周橋芳

（1.華南農業大學生物基材料與能源教育部重點實驗室 廣州 510642；2.華南農業大學電子工程學院 廣州 510642；3.華南農業大學生物質工程研究院 廣州 510642）

含水率分布是木材的一項重要特性參數，木材幾乎所有物理力學性質均與含水率及分布有關；同時，含水率分布也是精準實施木材干燥工藝的主要依據，干燥過程中含水率梯度過大容易引起木材變形和開裂，降低木材品質，造成經濟損失。目前，常用的含水率分布測定方法有分層切片法和電測法。分層切片法先將木材沿厚度方向切成若干等份，再將切片烘干獲取各層含水率。理論上，分層切片法可以準確測定木材含水率分布（Fenget al., 1993；Wanget al.，1996），其他含水率分布測定新方法需通過分層切片法進行檢驗，但含水率切片操作較為繁瑣且耗費時間，切片過程中水分蒸發會不可避免產生一定誤差，同時受切片厚度限制，分層切片法無法獲取連續的木材含水率分布信息。電測法通過測量木材不同位置的電阻來計算含水率（Zhouet al.，2011），具有快速檢測、連續記錄的優點，但其測量精度受樹種、木材紋理方向和環境溫濕度等因素影響，且一般僅適用于含水率在纖維飽和點（fiber saturation point，FSP）以下范圍。也有部分學者嘗試采用CT 掃描（Anttiet al.，1999）和低場核磁共振技術（Xuet al.，2017）測量木材含水率分布，獲取的結果一般為可視化圖像，常用作定性分析，但測量設備特別昂貴，在實際生產中缺乏應用價值。

X 射線掃描檢測技術的出現，為木材含水率及其分布的快速、動態檢測提供了一種有效方法，研究人員利用X 射線測量木材密度分布間接測量含水率分布（Watanabeet al.，2008；Cai，2008；李賢軍等，2009，2010；余樂等，2013；郝曉峰等，2014）。X 射線法的基本原理是根據X 射線透過材料的強度衰減率與材料密度的正比關系，通過測量X 射線透過材料的衰減變化計算材料密度。利用X 射線儀測量木材密度時，可以選擇不同掃描步距（0.01～0.50 mm），步距越小，掃描頻率越高，獲取的密度分布越豐富。理論上，根據木材絕干前、后的密度分布可以計算木材含水率分布，然而由于木材在纖維飽和點以下會發生干縮濕脹，絕干后木材密度分布與絕干前木材密度分布并不在同一掃描步距內，故不能通過簡單計算得到含水率分布結果。Cai（2008）和郝曉峰等（2014）基于木材體積干縮和容積密度法推導出以纖維飽和點為分界線的含水率計算公式，公式中引入全干干縮率對木材體積變化進行補償，考慮了木材厚度方向的干縮，但未明確絕干后木材控制單元密度的計算方法，同時未對全干干縮率進行修正。李賢軍等（2009；2010）和余樂等（2013）假設干燥過程中木材厚度方向發生均勻干縮，將絕干前、后木材厚度劃分成若干等份，計算每一等份內木材密度，再利用含水率公式計算木材含水率分布，其計算方法清晰、可操作性強，得到了部分學者的應用（Wuet al.，2021；高志強，2019；夏捷等，2013），但木材厚度方向發生均勻干縮的假設會使含水率分布計算產生一定誤差。

為解決均勻干縮法計算含水率分布存在的誤差問題，實現X 射線法準確測算木材含水率分布的目標，本研究擬構建木材控制容積干縮模型，首先將絕干前木材沿厚度方向劃分為若干個控制容積，對所有控制容積的含水率賦初值，引入木材全干干縮率參數并依據木材干縮原理計算絕干后木材控制容積厚度，然后采用X 射線法測量木材絕干前、后的密度分布重新計算每個控制容積的含水率，該模型通過不斷迭代計算使含水率和絕干后木材控制容積厚度的結果收斂，并以絕干后木材實際厚度為約束條件修正全干干縮率。由于絕干前、后木材控制容積一一對應，分析和計算過程十分清晰，故可利用X 射線法測量的密度分布準確測算含水率分布，為科研和生產測定木材含水率及其分布提供技術支撐。

1 模型與算法

1.1 木材控制容積干縮模型構建

木材是一種多孔性、吸濕性和各向異性的天然高分子材料，在纖維飽和點（FSP）以下木材體積隨含水率降低發生干縮，木材各方向的干縮程度由干縮率決定（劉一星等，2012）。利用X 射線法測量木材密度分布時，X 射線沿木材厚度方向進行掃描，故考慮構建木材厚度方向控制容積干縮模型。控制容積是數值傳熱學和數值計算的重要概念，代表空間上的離散區域。一般地，將求解對象劃分為N個互不重疊的控制容積，用其內部節點代表控制容積，將偏微分方程轉變為控制容積的代數方程進行數值求解（陶文銓，2001；宇波等，2018）。如圖1 所示，在厚度方向建立一維坐標系OZ，假設絕干前木材的長度、寬度和厚度分別為l、w和h，沿厚度方向將木材劃分為N個控制容積，控制容積的邊界坐標分別為z1、z2、…、zN+1，控制容積厚度、含水率和密度分別為Δz、u和ρ；絕干后木材的長度、寬度和厚度分別為l′、w′和h′，控制容積與絕干前的控制容積相對應，由于木材發生干縮，控制容積的邊界坐標分別變換為z′1、z′2、…、，此時控制容積厚度、含水率和密度分別為Δz′、u′和ρ′。本模型中木材絕干后含水率為零，即u′=0。

圖1 木材控制容積干縮模型示意Fig.1 Diagram of shrinkage model of the wood control volume

本模型絕干前木材控制容積厚度為Δz、含水率為u，木材發生干縮的臨界含水率為ucritic。一般認為ucritic等于常溫下木材的纖維飽和點（FSP），由于木材干燥過程發生干縮的臨界條件與溫度無關，為敘述方便，本研究將FSP 視為木材發生干縮的臨界點，并假定FSP 恒為30%。假設木材含水率高于FSP 時控制容積厚度為Δzgreen，木材厚度方向干縮率為β，則根據干縮率（劉一星等，2012）的定義有：

式中：β 為木材厚度方向干縮率，無量綱；u為絕干前木材控制容積含水率，%；Δzgreen為木材含水率高于纖維飽和點時控制容積厚度，mm；Δz為絕干前木材控制容積厚度，mm。

為計算絕干后木材控制容積厚度Δz′，引入木材厚度方向全干干縮率βmax，根據《無疵小試樣木材物理力學性質試驗方法第6 部分: 干縮性測定》（GB/T 1927.6—2021）全干干縮率的定義有：

式中：βmax為木材厚度方向全干干縮率，無量綱；Δz′為絕干后木材控制容積厚度，mm。

木材含水率從濕材狀態干燥至纖維飽和點之間不發生干縮，而從纖維飽和點干燥至絕干狀態之間發生的干縮與含水率呈線性關系（劉一星等，2012），由此可得絕干前木材干縮率與全干干縮率的關系為：

聯立式（1）、（2）和（3），可得絕干后木材控制容積厚度與絕干前木材控制容積厚度及含水率關系的表達式為：

絕干前、后木材控制容積密度由X 射線法測量的密度分布求平均值獲得，即

式中：J、J′為絕干前、后木材控制容積內由X 射線法測量所得密度分布的數量（與控制容積厚度和X 射線儀掃描步距有關）；ρ、ρ′為絕干前、后木材控制容積密度，kg·m-3。

根據控制容積厚度和已獲取的長度、寬度以及密度，可計算控制容積質量：

式中：m、m′為絕干前、后木材質量，g；l、l′為絕干前、后木材長度，mm；w、w′為絕干前、后木材寬度，mm；Δz、Δz′為絕干前、后木材控制容積厚度，mm。

根據木材含水率定義，可求得控制容積含水率為：

為計算木材含水率分布，需獲取絕干后木材控制容積厚度和密度，而絕干后木材控制容積厚度依賴含水率和全干干縮率，密度則通過控制容積厚度和X 射線測量的密度分布共同確定。本模型若通過聯立上述方程組對逐個控制容積進行直接求解，工作量十分巨大，故考慮采用迭代運算方法求解。

1.2 木材含水率分布迭代算法

為開發計算木材含水率分布的迭代算法，需對X射線測量的密度分布與上述方程進行離散。假設X射線掃描步距為λ，絕干前木材的密度分布為ρ(Xk)，位置為f(Xk)；絕干后木材的密度分布為ρ′(Xk)，位置為f′(Xk) 。如圖1 所示，木材厚度被劃分為N個控制容積，第n個控制容積下邊界坐標為zn、上邊界坐標為zn+1，控制容積厚度為Δzn=zn+1-zn。假設絕干前木材控制容積下界面和上界面對應的X 射線密度分布位置分別為f j和f j+1，當二者不重合時取控制容積內最接近下邊界的密度分布，絕干前木材控制容積密度取該單元內密度分布均值：

式中：ρn為絕干前木材控制容積密度，kg·m-3；zn為絕干前木材控制容積下邊界坐標，mm；fj+1、f j為絕干前木材控制容積上、下界面對應的X 射線密度分布位置，mm；λ 為X 射線掃描步距，mm。

給含水率分布和全干干縮率分別賦初值un和βmax，對求解絕干后木材控制容積厚度的式（4）進行離散：

同樣地，絕干后木材厚度被劃分為N個控制容積，控制容積厚度由式（11）求得，控制容積下邊界坐標為、上邊界坐標為，假設絕干后木材控制容積下界面和上界面對應的X 射線密度分布位置分別為和，當二者不重合時取控制容積內最接近下邊界的密度分布，絕干后木材控制容積密度取該單元內密度分布均值：

利用X 射線測量木材密度分布時，需測量木材長度和寬度，假設所有控制容積長度、寬度均與木材長度、寬度尺寸一致，根據該假設對控制容積質量的求解公式（7）、（8）進行離散：

在獲取控制容積質量的基礎上，對含水率計算公式（9）進行離散：

由式（10）～式（15）組成的離散公式即為求解木材含水率分布的迭代算法，假設絕干前控制容積含水率和絕干后控制容積厚度的最新迭代計算值為和，設定收斂標準為前后2 次計算值小于相對誤差的0.01%，即：

最后，以絕干后木材實際厚度h′為約束條件，比較計算所得木材厚度與實際厚度，對木材厚度方向全干干縮率進行修正：

采用C 語言編制計算程序并在Matlab R2017b 軟件中運行，對木材含水率分布進行求解，同時可以獲得絕干后木材控制容積厚度和全干干縮率等變量的計算結果。

2 材料與方法

2.1 試驗材料

毛白楊（Populus tomentosa）采自河南省周口市（33.62°N，114.65°E），樹齡20 年，胸徑21.4 cm。毛白楊木材為散孔材至半散孔材，生長年輪寬度5～8 mm，早晚材、心邊材無明顯區別，管孔排列多為短徑列復管孔，管孔直徑60～83 μm。從截取的試材中鋸制長50 mm（順紋）×寬50 mm（徑向）×厚26 mm（弦向）徑切試件，從中選取6 組，每組3 個，共計18 個生長輪平直，無結疤、應力木和假年輪等缺陷，材性和密度相近的試件進行試驗。根據《無疵小試樣木材物理力學性質試驗方法第5 部分：密度測定》（GB/T 1927.5—2021）測定氣干密度為430～460 kg·m-3，試件初含水率約60%。

2.2 試驗儀器

X 射線剖面密度分布測定儀（意大利IMAL，DPX300-LTE）由X 射線發射與接收系統、數據采集系統、機械步進系統和計算機控制與數據處理系統4 部分構成。木材干燥使用恒溫干燥箱（上海一恒科技有限公司，BPS-250CL）和恒溫恒濕氣候箱（上海一恒科技有限公司，BPC100CL）。

2.3 試驗方法

干燥前選取其中1 組試件，測量尺寸和質量，再利用X 射線剖面密度分布測定儀測量試件厚度方向的剖面密度，掃描步長設為0.05 mm。其余試件以石蠟封涂端面和側面，置于恒溫恒濕氣候箱內（t= 45 ℃，φ = 36%）干燥，每隔一段時間從氣候箱內取出1 組試件，小心剔除石蠟，測量試件尺寸、質量和剖面密度。最后將所有試件置于溫度（103 ± 2） ℃的恒溫干燥箱內烘干，測量絕干試件尺寸、質量和剖面密度。以本研究方法測算各組試件的含水率分布，繪制不同干燥時間木材厚度方向的密度和含水率分布曲線，對比木材實際含水率（稱重法），并與均勻干縮法測算的含水率分布曲線進行比較。

本研究中，為模擬大尺寸板材的干燥過程，選用石蠟對試件進行封邊處理，避免試件水分向四周擴散，使試件長、寬方向水分分布均勻。石蠟熔點為58 ℃，遠低于本研究干燥試驗溫度，且石蠟刮涂容易，不會對試件造成損壞，不影響試件尺寸、質量和剖面密度測量，試驗過程中發現石蠟具有非常優良的密封效果。

3 結果與分析

表1 所示為t= 0 h，厚度0.5、1.0、1.5 和2.0 mm時控制容積密度和變異系數。設置厚度為0.5 和1.0 mm 時，控制容積內密度變異系數較小，均小于1.06%，密度無明顯波動。設置厚度為1.5 和2.0 mm時，控制容積內密度變異系數相對較大，密度波動較大。毛白楊早晚材、心邊材無明顯區別，木材絕干密度分布非常均勻，可見木材內部水分是引起其密度分布差異的主要因素。木材試件初始狀態及干燥過程中含水率分布不均勻，導致其密度分布也不均勻（圖2），控制容積厚度越大，變異系數越大，引起的計算誤差也越大。以0.5 和1.0 mm 的控制容積厚度測算所得密度分布相近，其相關系數高達0.99，但1.0 mm更具可操作性。此外，在均勻干縮法測算木材含水率分布的研究中，大多以1.0 mm 的控制容積厚度進行計算，所以本研究設定控制容積厚度為1.0 mm，以便于與以往研究進行對比。

表1 不同厚度時控制容積密度及變異系數Tab.1 Density and variation coefficient of control volume at different thickness

圖2 絕干前木材剖面密度分布Fig.2 Profile density distribution at different drying times

設置絕干前木材控制容積厚度為1.0 mm，通過計算各控制容積密度分布均值，獲取試件厚度方向的剖面密度分布如圖2 所示。根據本研究方法，由絕干前、后密度分布得到試件含水率分布如圖3 所示。可以看出，試件的密度分布和含水率分布曲線變化趨勢一致，隨著干燥時間延長，試件的密度和含水率均逐漸下降，且芯層密度和含水率降低幅度大于表層；隨著干燥時延長，試件厚度方向芯、表層含水率差逐漸降低，干燥0、15、21、45、69、134 h 后，其芯、表層含水率差分別為28.80%、22.21%、23.90%、22.61%、15.65%、5.58%。這是因為干燥過程中，木材水分蒸發首先發生在表層，表層含水率降低最快，隨著干燥時間延長，木材內部水分開始向表面遷移，厚度方向水分分布逐漸趨向均勻，芯、表層含水率差逐漸減小。毛白楊木材密度低，導管細胞壁腔比小，干燥過程中易發生皺縮和變形，為避免木材產生干燥缺陷，本研究采用溫和的低溫干燥工藝，干燥速率較小；同時，毛白楊木射線細窄，橫向水分通道減少，水分擴散非常緩慢，干燥過程中木材試件芯、表層含水率梯度大。

圖3 絕干前木材含水率分布Fig.3 Moisture content distribution at different drying times

為驗證本研究方法測算木材厚度方向含水率分布的可靠性，將其與用稱重法測量的含水率進行對比。由圖4 可知，不同干燥時間的試件，采用本研究方法測算的木材平均含水率與稱重法測量的木材平均含水率非常接近。表2 所示為不同干燥時間的試件采用本研究方法、均勻干縮法和稱重法的含水率測量值極其相關系數平方，可以看出，本研究方法和稱重法測算所得平均含水率非常接近，其相關系數平方（R2）在0.999 2 以上，絕對偏差基本在0.5%以下。

表2 3 種不同方法含水率測量值比較及其相關系數平方Tab.2 Comparison of moisture content measured by three different methods and its correlation coefficient square

圖4 本研究方法和稱重法含水率比較Fig.4 Comparison of moisture content between method of this study and weighing method

本研究方法引入全干干縮率，設定絕干前木材控制容積厚度，依據含水率、全干干縮率與控制容積之間的關系，準確計算絕干后木材控制容積對應厚度，避免了均勻干縮法因假設木材厚度方向上均勻干縮帶來的誤差。圖5 為含水率約20%（干燥時間t= 69 h）試件分別采用本研究方法和均勻干縮法測算所得絕干后木材控制容積厚度對比。2 種方法的絕干前控制容積厚度均為1.0 mm。均勻干縮法將絕干后試件沿厚度方向進行等分，控制容積厚度均為0.94 mm；本研究方法測算所得試件表層絕干后控制容積厚度較大、芯層絕干后控制容積厚度較小。出現這種現象與含水率分布有關，絕干前木材厚度方向芯層含水率較高、表層含水率較低，由式（4）可得，纖維飽和點以下，含水率增大木材絕干后控制容積厚度減小，故芯層含水率高，其絕干后木材控制容積厚度小，表層含水率低，其絕干后木材控制容積厚度大。

圖5 本研究方法與均勻干縮法絕干后控制容積厚度對比Fig.5 The thickness of control volume after oven drying is compared between method of this study and uniform shrinkage method

圖6 為不同干燥時間的試件分別采用本研究方法和均勻干縮法測算所得含水率分布對比。當試件平均含水率在纖維飽和點以上時，2 種方法測算的含水率分布曲線趨于重合，其含水率基本一致，且試件含水率越高，2 條曲線吻合越好；隨著干燥時間延長，木材試件平均含水率降低，2 種方法測算的含水率分布曲線逐漸出現偏差。干燥0 和15 h 時，試件表層和芯層含水率均在30%（FSP）以上，2 種方法測算的含水率分布一致；干燥21 h 時，試件表層含水率在30%（FSP）以下，2 種方法測算的含水率分布出現細微差別，其相對偏差為1.99%。當試件平均含水率在纖維飽和點以下時，2 種方法測算的含水率分布曲線出現明顯差別。試件表層，均勻干縮法的含水率相對較高；試件芯層，本研究方法的含水率相對較高，且本研究方法測算的含水率分布其芯、表層含水率梯度更大。干燥45、69和134 h 時，2 種方法測算的含水率絕對偏差分別為4.55%、4.14%和1.34%，本研究方法的芯、表層含水率梯度分別為22.61%、15.65%、5.58%，均勻干縮法的芯、表層含水率梯度分別為18.06%、11.51%、4.27%。相比均勻干縮法，在干燥時間為45、69 和134 h 時，本研究方法測算的木材含水率分布其精度分別提高3.80%、6.00%和4.04%。出現這種現象的主要原因為：纖維飽和點以上，含水率對木材干縮無影響，故2 種方法測算結果一致；纖維飽和點以下，相比均勻干縮法，本研究方法測算的芯層絕干后木材控制容積厚度較小，表層絕干后木材控制容積厚度較大，根據含水率公式（7）至（9）可得，絕干后控制容積厚度減小，含水率增大，故芯層含水率較高，表層含水率較低，相比均勻干縮法試件芯、表層含水率梯度增大。如圖6 中干燥時間t= 69 h 的含水率分布曲線，試件芯層，本研究方法測算所得絕干后木材控制容積厚度小于均勻干縮法，根據式（7）～（9）可得，絕干后木材控制容積厚度較小，其含水率反而較大；同理，試件表層，本研究方法測算所得絕干后木材控制容積厚度大于均勻干縮法，其含水率則相對較小。

圖6 不同干燥時間試件采用本研究方法與均勻干縮法測算所得含水率分布對比Fig.6 Comparison of wood moisture content distribution of samples with different drying time calculated by method of this study and uniform shrinkage method

4 結論

木材含水率及其分布是木材傳熱傳質理論研究及木材干燥過程中干燥工藝調整和控制的重要依據，木材含水率分布的快速、高精度、寬范圍檢測是木材科學與技術研究領域的難點。本研究將絕干前木材沿厚度方向劃分控制容積，引入木材全干干縮率參數并依據木材干縮原理計算絕干后木材控制容積厚度，利用木材剖面密度確定控制容積密度，完整構建求解絕干前木材控制容積含水率計算模型，得到主要結論如下：

1） 采用本研究方法測算不同干燥時間的試件，其含水率和密度均隨干燥時間延長而降低，芯、表層含水率梯度也隨之降低；對比木材實際含水率（稱重法），其相關系數平方在0.999 2 以上。

2） 與均勻干縮法測算所得木材含水率分布相比，纖維飽和點以上，2 種方法測算結果一致；纖維飽和點以下，本研究方法測算的試件表層絕干后控制容積厚度較大、含水率較低，芯層絕干后控制容積厚度較小、含水率較高，芯、表層含水率梯度增大；干燥時間為45、69 和134 h 時，本研究方法測算的木材含水率分布其精度分別提高3.80%、6.00%和4.04%。

3） 本研究構建的控制容積干縮模型充分考慮含水率分布引起的非均勻干縮，可彌補均勻干縮法假設木材均勻干縮的不足，提高木材含水率分布測算精度，為木材含水率分布的動態檢測提供一種有效的技術手段。