數(shù)學(xué)教學(xué)中從幾何空間創(chuàng)新理解向量數(shù)量積

摘 要：為引導(dǎo)學(xué)生全面深入地理解向量數(shù)量積概念，在幾何空間中構(gòu)造向量夾角，通過向量坐標(biāo)法與向量封閉回路法建立向量夾角余弦值的算法，對該算法做適當(dāng)修改后，以此為基礎(chǔ)，可引導(dǎo)學(xué)生從中推導(dǎo)向量數(shù)量積公式.據(jù)此，文章進(jìn)行了詳細(xì)研究.

關(guān)鍵詞：幾何空間；向量夾角；向量數(shù)量積；向量坐標(biāo)；封閉回路

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）31-0085-04

收稿日期：2023-08-25

作者簡介：胡乙（1982-），男，江蘇省南京人，碩士，講師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在數(shù)學(xué)中，向量數(shù)量積（內(nèi)積或點(diǎn)積）指：兩個(gè)向量a和b的模與它們夾角余弦的乘積［1］.向量夾角與數(shù)量積教學(xué)一直是向量教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).在教學(xué)實(shí)踐中，如何引導(dǎo)學(xué)生完整準(zhǔn)確地理解以上概念，中外學(xué)界對此一直未達(dá)成共識.

目前國內(nèi)教材普遍運(yùn)用物理學(xué)中恒力F做功的公式說明向量數(shù)量積概念，而從數(shù)學(xué)幾何出發(fā)講授向量數(shù)量積，其研究尚處于萌芽狀態(tài).程仕然認(rèn)為從物理學(xué)恒力F做功公式推導(dǎo)向量數(shù)量積公式有以下不足：一是學(xué)生尚不完全熟悉物理做功公式，二是物理學(xué)公式與數(shù)學(xué)公式描述的符號及說法上有不同，可能造成學(xué)生新的困擾［2］.據(jù)此，教師如果轉(zhuǎn)換思路，從求解向量夾角入手推導(dǎo)向量數(shù)量積公式，則可能彌補(bǔ)以上不足.陳文雅、江一鳴主張：將向量視為線段，從線段投影出發(fā)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將向量數(shù)量積視為向量間投影［3］.可見，若從幾何空間出發(fā)設(shè)計(jì)向量相關(guān)教學(xué)，則師生教學(xué)可能更為輕松.

國外學(xué)界傾向于從幾何空間出發(fā)，首先從笛卡爾坐標(biāo)定義向量數(shù)量積，再運(yùn)用向量封閉回路法構(gòu)造直角三角形證明向量數(shù)量積公式.如卡爾·P.西蒙等提出應(yīng)在幾何空間中運(yùn)用封閉回路構(gòu)造直角三角形，并運(yùn)用勾股定理推導(dǎo)向量數(shù)量積公式［4］.此觀點(diǎn)已經(jīng)涉及向量數(shù)量積的數(shù)學(xué)本質(zhì)，但不完整.完整的向量數(shù)量積教學(xué)應(yīng)包含兩方面，即從向量坐標(biāo)法與向量封閉回路法出發(fā)，全面講授向量數(shù)量積概念.

此外，通過調(diào)整相關(guān)概念教學(xué)順序，可能會提高教學(xué)效率.按觀察問題、解決問題的邏輯順序，學(xué)生應(yīng)首先認(rèn)識向量夾角，在計(jì)算向量夾角大小的過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生歸納出求解向量夾角余弦值的算法，對算法做適當(dāng)變換后，再引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)向量數(shù)量積概念.以上教學(xué)設(shè)計(jì)不僅有利于學(xué)生深入理解向量數(shù)量積的數(shù)學(xué)本質(zhì)，而且可培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問題中進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的能力.

據(jù)此，研究擬從數(shù)學(xué)幾何出發(fā)，首先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)笛卡爾平面中的向量夾角，并從向量坐標(biāo)法與向量封閉回路法兩種角度引導(dǎo)學(xué)生求解向量夾角余弦值，在此過程中，啟發(fā)學(xué)生歸納出求解向量夾角余弦值的公式，對公式做適當(dāng)變換后，教師可正式提出向量數(shù)量積概念.同時(shí)，因?yàn)橄蛄渴菧贤◣缀闻c代數(shù)的橋梁，為使學(xué)生深入理解以上概念，研究將從向量坐標(biāo)與封閉回路兩個(gè)角度，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量數(shù)量積公式，創(chuàng)新證明歐氏幾何直角三角形相關(guān)定理，使學(xué)生從多角度深入認(rèn)識向量的概念與作用，并學(xué)會在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等不同學(xué)科中，主動運(yùn)用以上知識分析相關(guān)數(shù)學(xué)模型，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，實(shí)現(xiàn)教學(xué)初衷.

1 向量夾角與向量數(shù)量積

與傳統(tǒng)教學(xué)不同，教師可在笛卡爾平面建立向量夾角，請學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)計(jì)算該夾角的余弦值，在此過程中，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)向量數(shù)量積公式.待學(xué)生熟練掌握后，教師可從向量封閉回路角度再次引導(dǎo)學(xué)生理解向量夾角與向量數(shù)量積.

1.1 從向量坐標(biāo)法理解向量夾角與向量數(shù)量積

1.2 從封閉回路理解向量夾角與向量數(shù)量積

1.3 向量數(shù)量積與勾股定理

1.4 向量數(shù)量積與直角三角形射影定理

2 總結(jié)

從數(shù)學(xué)幾何出發(fā)，教師可首先指導(dǎo)學(xué)生計(jì)算向量間夾角數(shù)值，在此過程中，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)向量數(shù)量積公式.教師應(yīng)從向量坐標(biāo)法與向量封閉回路法兩種角度完整講授向量夾角與向量數(shù)量積.運(yùn)用向量數(shù)量積，學(xué)生可創(chuàng)新證明歐式幾何中相關(guān)定理.限于篇幅，本研究并未詳細(xì)闡述向量數(shù)量積在立體幾何、解析幾何、不等式等教學(xué)內(nèi)容中的應(yīng)用.未來教學(xué)中，教師可嘗試運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)幾何法講授向量數(shù)量積及相關(guān)向量知識.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 吳靜.應(yīng)用數(shù)學(xué)［M］.第2版.廣州：中山大學(xué)出版社，2016：8.

［2］ 程仕然.平面向量數(shù)量積課堂教學(xué)的反思與重構(gòu)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（3）：9-11.

［3］ 陳文雅，江一鳴.核心素養(yǎng)視野下的問題導(dǎo)學(xué)：以平面向量數(shù)量積復(fù)習(xí)課為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（9）：14-15.

［4］ 西蒙，布魯姆.經(jīng)濟(jì)學(xué)中的數(shù)學(xué)［M］.第10版.楊介棒，何輝，譯.北京：中國人民大學(xué)出版社，2012：184-185.

［5］ 張景中，彭翕成.繞來繞去的向量法［M］.北京：科學(xué)出版社，2010：78.

［責(zé)任編輯：李 璟］