例析曲線公切線問題求解策略

摘 要：公切線是導數幾何意義的綜合應用，將曲線間的位置關系轉化為函數的單調性、凹凸性、極（最）值、零點等，考查轉化與化歸、推理與論證的能力.文章從常考的幾種類型探討公切線問題的應用策略.

關鍵詞：公切線;分離函數;凹凸翻轉

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）31-0009-03

收稿日期：2023-08-05

作者簡介：金保源（1980.5-），男，湖北省天門人，本科，中學一級教師， 從事高中數學教學研究.[FQ）]

切線問題是近幾年的高考熱點問題，考查導數的綜合運用，對考生有很好的區分度.如2016年全國Ⅲ卷文第16題、2017年全國Ⅰ卷文第14題、2018年全國Ⅰ卷文第6題、全國Ⅱ卷文第12題均考了與切線有關的題型.本文從常考的幾種類型探討公切線問題的應用策略，以供讀者參考.

1 切點相同的公切線

2 切點不同的公切線

3 存在公切線求參數范圍

4 利用公切線解決零點個數問題

點評 本題是已知函數的零點個數求參數范圍問題，將零點問題轉化為兩曲線交點個數問題是常見的求法.借由例1的求解過程，可先求兩曲線相切的臨界情形，由公切線求出參數的值，根據圖象變化特征即可得到參數的取值范圍.

5 利用公切線解決恒成立問題

公切線的實質是導數幾何意義的綜合應用，將曲線間的位置關系轉化為函數的單調性、凹凸性、極（最）值、零點等，考查轉化與化歸、推理與論證的能力.解決公切線可考慮從數與形兩方面著手，將問題轉化為兩個函數的圖象關系，由圖象凹凸反轉的特征，利用切線不等式放縮［1］.求解方法蘊含泰勒展開、函數逼近的背景，滲透著數形結合、動靜轉化的思想，是命題者難以抗拒的源泉.

參考文獻：

［1］武增明.兩函數圖象的公切線問題[J].數理化解題研究，2019（04）：24-27.

［責任編輯：李 璟］