低截獲MIMO探通一體化波形設計方法

董 菲,鐘 涵,張天賢*,田團偉

(1. 電子科技大學 信息與通信工程學院, 四川 成都 611731) (2. 河南大學 物理與電子學院, 河南 開封 475001)

0 引 言

在軍事領域,互相獨立的雷達和通信設備的堆積導致了許多問題,如系統體積大、能耗高、操作復雜等。同時具備目標探測和通信的雷達通信一體化系統已經引起了科學界的廣泛關注[1-5]。與此相關的是,現代戰爭依賴于電子信息對抗,低截獲概率(LPI)雷達應運而生[6-8],這種雷達將敵方接收機截獲雷達信號的概率降至較低。LPI技術的應用可以顯著提高雷達的生存能力和作戰能力。因此,優化雷達通信一體化系統的LPI性能可以顯著提高系統安全性[9-10],這對軍事現代化具有深遠意義。

實現雷達與通信一體化的關鍵是一體化波形具雷達探測和傳輸通信信息的能力。文獻[11]提出了一種基于分數階傅里葉變換(FrFT)的復用方案,將通信信息嵌入到線性調頻子載波中,但其通信速率并不理想。為了提高通信速率和雷達的最大探測距離,文獻[12-14]設計了一種將多輸入多輸出(MIMO)技術和正交頻分復用調制(OFDM)技術相結合的一體化波形設計方法。文獻[15]設計了一種低復雜度算法,在雷達和通信性能之間進行靈活權衡,使MIMO雷達可以在下行鏈路中與多個用戶進行通信。

對于LPI技術,文獻[16]全面分析了射頻隱身的關鍵技術,但很少提及指標體系。文獻[17]提供了一個評估通信系統LPI性能的指標體系,并詳細概述了影響LPI性能的因素。對于雷達通信一體化系統,文獻[18]通過控制系統總發射功率,提出了基于LPI的最優OFDM波形設計方法,有效提高了雷達通信一體化系統的LPI性能。

然而,上述大部分研究都只構建了優化問題來提高雷達通信一體化系統的通信性能和探測性能,并沒有太關注雷達通信一體化系統中LPI波形設計方法。眾所周知,MIMO雷達通信一體化技術是現代雷達提高LPI性能的有效技術之一[19-20],因此本文提出了一種MIMO雷達通信一體化系統的LPI波形設計方法。

本文提出了一種LPI雷達通信一體化波形設計方案,該波形可以同時執行目標探測與通信兩種功能。通過最小化多用戶干擾(MUI),本文構建了以LPI截獲因子為約束條件的LPI波形設計問題。將構建的優化問題歸類為典型的正交 Procrustes 問題(OPP)。具體來說,通過使用矩陣的跡,本文獲得了LPI波形的最優閉式解。最后,給出了仿真結果,驗證了LPI波形設計方法的有效性。

符號說明:(·)T和(·)H分別表示轉置和共軛轉置;M×N為包含M×N矩陣的復數集合;E(·)和var(·)分別表示取均值和取方差操作;|·|和‖·‖分別表示模運算和范數運算;tr(·)為矩陣的跡;CN(·,·)表示高斯分布。

1 系統模型

考慮一個MIMO雷達通信一體化系統,如圖1所示。該系統不僅可以探測雷達目標,還可以通過下行鏈路向多個通信用戶發送信息。該系統具有由M個天線組成的均勻線性陣列(ULA)。這些天線可以在與U個單天線通信用戶通信的同時,對雷達目標進行探測。

圖1 MIMO雷達通信一體化系統Fig.1 MIMO Radar-Communication integrated system

1.1 通信波形設計準則

在該系統中,第i個通信用戶處的接收信號可表示為

(1)

式中:hi,j是一體化系統中第j個天線和第i個通信用戶之間的信道增益;xj是第j個天線發射的通信信號;ni是第i個通信用戶處的噪聲。

由式(1)進一步得到U個通信用戶處的接收信號矩陣為

(2)

式中:R=[r1,r2,…,rL]∈M×L,是接收信號矩陣;Hc=[hc1,hc2,…,hcU]∈M×U,是一體化系統和通信用戶之間的信道矩陣,hci=[hi,1,hi,2,…,hi,M];X=[x1,x2,…,xL]∈M×L,是一體化系統發射的通信信號矩陣;N=[n1,n2,…,nL]∈U×L,是噪聲矩陣;L是雷達脈沖的長度。

對于數據,本文考慮了以下假設。

(1) 信道:信道He為瑞利平坦衰落信道,其信道狀態信息可以通過導頻信號被準確估計。

(2) 信號:通信信號X也可被用作為雷達探測信號。

給定發送給U個通信用戶的通信符號矩陣為Q=[q1,q2,…,qL]∈U×L,則第i個通信用戶處的接收信號可以寫為

ri=qi+wi+ni

(3)

其中,wi是第i個通信用戶處的MUI信號,可以寫為

(4)

進一步得到

(5)

對于第i個通信用戶,其信干噪比(SINR)可以寫為

(6)

假設Q中的元素都取自同一個星座圖,由于通信信號的功率E(|qi|2)是定值,因此最大化SINR等價于最小化MUI信號的能量。

MUI信號的能量被證明與下行鏈路的通信用戶可達和速率有關[21]。對于第i個通信用戶,ri和qi的互信息可以寫為

I(ri,qi)=H(qi)-H(qi|ri)=H(qi)-H(qi-ri|qi)≥

H(qi)-H(qi-ri)=H(qi)-H(wi+ni)=

lb(πeE(|qi|2))-H(wi+ni)≥

lb(πeE(|qi|2))-lb(πevar[wi+ni])

(7)

式中:H(x)表示連續變量x的微分熵。由于var[x]E[|x-E[x]|2],可以進一步得到

I(ri,qi)≥lb(πeE(|qi|2))-lb(πevar[wi+ni]≥

lb(πeE(|qi|2))-lb(πeE[|wi+ni|2])≥

lb(πeE(|qi|2))-lb(πe[E|wi|2+

E|n|2])≥lb(πeE(|qi|2))-

(8)

式中:lb(SINRi)是第i個通信用戶的可達速率。因此,通信用戶的可達和速率可以寫為

(9)

因此,最大化通信用戶可達和速率等價于最小化MUI信號的能量。

1.2 雷達波形設計準則

MIMO雷達通信一體化系統發射的雷達信號可以被設計為期望的發射波束圖,且雷達發射波束圖樣主要由波形協方差矩陣所決定[22]。位置為φ的目標處雷達信號的功率[23]可以寫為

P(φ)=aH(φ)Sa(φ)

(10)

其中,系統發射天線陣列的方向矢量a(φ)可以寫為

a(φ)=[ej2πf0τ1(φ),ej2πf0τ2(φ),…,ej2πf0τM(φ)]

(11)

式中:f0是雷達的載波頻率;τj(φ)是信號通過第j個天線發射到位于φ處的目標所需時間。式(10)中的空間譜為發射波束圖。設計雷達信號的協方差矩陣S等價于設計雷達波束圖[24],即

(12)

式中:S是一體化波形矩陣X的協方差矩陣。從數學角度來說,通過設計矩陣S,可以使一體化波形的探測性能達到期望值。

2 LPI最優波形設計準則

在本節中,首先,推導了LPI截獲因子的表達式;然后,提出了雷達通信一體化系統中LPI波形的最優閉式解。

2.1 LPI性能指標

本文選擇施里海爾提出的LPI截獲因子[25]作為評估LPI雷達隱身性能的有效指標。考慮一個雷達探測系統,如圖2所示。LPI截獲因子定義為無源探測系統的最大截獲距離與雷達的最大作用距離之比。

圖2 雷達、目標和截獲接收機的方位Fig.2 The geometry of radar, target, and intercept receiver

1) 對于雷達的最大作用距離Mr,雷達為了探測目標,先要在一定范圍內搜索,即

(13)

式中:λ為雷達波長;σ為目標反射截面積;Pt為雷達發射信號的峰值功率;Gt為雷達發射天線增益;Gr為雷達接收天線增益;Sr為雷達接收機靈敏度;Lr為雷達系統損耗。

2) 對于無源探測系統的偵察范圍Mes,考慮到系統損耗,即

(14)

式中:Gtes為雷達在截獲接收方向的天線增益;Ges為截獲接收機接收天線的增益;Ses為截獲接收機靈敏度;Les為截獲接收機系統損耗。

結合式(13)和式(14),LPI截獲因子的表達式可以寫為

(15)

當α<1時,雷達信號不易被截獲,這種雷達系統被稱為LPI雷達。當α>1時,則表示截獲接收機更具有優勢,雷達可能被干擾甚至摧毀;當α=1時,則處于臨界狀態。在電子對抗中,LPI截獲因子越小,LPI雷達的隱身性能越好。

2.2 最優波形設計準則

本文旨在雷達通信一體化系統中的LPI波形設計。因此,要考慮的第一個問題是在給定LPI截獲因子閾值的約束下設計雷達波束圖。

假設MIMO對目標并無先驗知識,則MIMO雷達將發射全向正交波形,該信號在任何位置都提供恒定的功率。對于全向波束圖樣,發射波形矩陣X必須滿足正交性[22],對應的協方差矩陣必須是單位矩陣,即

(16)

式中:IM是M×M維單位矩陣。

從數學角度來說,提高MIMO雷達通信一體化系統LPI性能的設計算法可以表述為在保證一定的LPI性能的前提下,最小化MUI信號的能量。對于全向波束圖樣,其優化問題可描述為

(17)

式中:αmax是給定的LPI截獲因子的閾值。式(17)被歸類為OPP問題[26],可以通過矩陣的跡來求解此類優化問題,即

(18)

將上述目標函數進一步擴展如下

(19)

根據式(19)可以看出,該優化問題等價于最大化tr(QXHHc)。HcQ的奇異值分解(SVD)如下

HcQ=UΣVH

(20)

式中:U∈M×M,Σ∈M×L是對角矩陣,V∈L×L。因此,可以得到其閉式解

(21)

式中:IM×L是由M×M維單位矩陣和M×(L-M)維零矩陣組成。

3 仿真結果與分析

3.1 參數設定

本文通過仿真實驗驗證LPI波形設計的有效性。假設U=6,L=36,使用“全向”和“定向”來表示全向波形設計和定向波形設計。設置信道增益為hi,j～CN(0,1),并且通信符號矩陣Q中所有元素取單位功率。其他仿真參數設置見表1,表中參數對應取值在可接受的范圍內,參數設定參照文獻[27-28]。

表1 系統參數Tab.1 Systems parameters

3.2 結果和分析

首先,本節研究了在不同的虛警概率Pfa下,LPI截獲因子α對雷達檢測概率Pd的影響。Pd與α的關系如圖3所示。可以看出,Pd隨著α的增加單調遞增,且當α<1時,LPI雷達具備實際應用條件。

圖3 不同α下的檢測概率Fig.3 Detection probability versus various α

然后,我們研究了α對符號誤碼率(SER)與通信用戶可達和速率的影響,并將其與不存在MUI信號時的情況進行了對比。從圖4和圖5可以看出,在天線數量M=8、M=16和M=32的情況下,全向波形設計的通信性能總是優于定向波形設計。此外,MIMO雷達通信一體化系統的通信性能隨著M的增加而提高,并能夠逐漸逼近不存在MUI信號時的通信性能。

圖4 不同波形設計方案的誤碼率比較Fig.4 Symbol error rate comparison of different waveforms

圖5 不同波形設計方案的通信和速率比較Fig.5 Sum-rate comparison of different waveforms

如圖6所示,本節研究了定向波形設計方案下的雷達波束圖樣。本文假設多個雷達目標具有不同的位置關系,并利用最小二乘法來設計波形協方差矩陣。可以看出,與非LPI一體化波束圖樣相比,本文提出的LPI一體化波束圖樣的峰值旁瓣比更高。

圖6 雷達波束圖樣(M=20,α=0.5)Fig.6 Radar beampatterns under M=20,α=0.5

此外,從天線增益角度來看,由圖6展示的波束圖樣表明,本文所設計的探通一體化波形達到了設計目標,即保證了雷達的良好性能[15]。

4 結束語

本文研究了MIMO雷達通信一體化系統的LPI波形設計。首先,構建了LPI截獲因子約束下MUI信號能量最小化模型。然后,將優化模型歸類為OPP問題,獲得了LPI波形的最優閉式解。最后,仿真實驗表明,在MIMO雷達通信一體化系統中,所設計LPI波形在保證一定的通信性能前提下提升了自身的射頻隱身能力。