數(shù)形結(jié)合思想在解立體幾何題中綻放
——兼談2022年全國(guó)高考立體幾何解答題

洪昌強(qiáng)

(浙江省臺(tái)州市第一中學(xué),浙江 臺(tái)州 318000)

縱觀2022年全國(guó)各地高考立體幾何解答題,常以三棱錐、三棱柱等幾何體為背景, 如北京高考卷第17 題、 全國(guó)新高考Ⅰ卷第19題、2022年浙江高考卷第19題、全國(guó)高考乙卷理科第18題等.在處理這些空間問題時(shí),通過建立形與數(shù)的聯(lián)系,探索解決問題的思路.高考以此考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的能力,檢測(cè)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).下面以2022年全國(guó)各地高考立體幾何解答題部分試題為例,對(duì)解題思路進(jìn)行剖析.

1 由形定性,以性助數(shù)

例1(2022年北京高考卷第17題)如圖1,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BCC1B1為正方形,平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,AB=BC=2,M,N分別是A1B1,AC的中點(diǎn).

圖1 2022年北京高考卷第17題圖 圖2 例1解析圖(a)

(1)求證:MN∥平面BCC1B1;

(2)從以下兩個(gè)條件①AB⊥MN;②BM=MN中選一個(gè)作為已知,求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.

分析考查三棱柱ABC-A1B1C1的結(jié)構(gòu)特征:從側(cè)面BCC1B1為正方形得CB⊥BB1且CB=BB1,得知這個(gè)三棱柱的底面是等腰三角形,一個(gè)側(cè)面是正方形.條件“平面BCC1B1⊥平面ABB1A1”有何作用?此時(shí)自然想到平面與平面垂直的性質(zhì).并由此得∠CBA=90°.又因?yàn)锳B=BC=2,所以底面CBA是等腰直角三角形.表明三棱柱ABC-A1B1C1雖然還沒有確定,但可以將三棱柱ABC-A1B1C1視為由等腰Rt△CBA和等腰Rt△C1B1A1分別沿BC和B1C1翻折而成,如圖2,并且三棱柱隨二面角C1-CB-A的平面角∠B1BA大小而變動(dòng).

對(duì)于第(1)問,雖然三棱柱還沒確定,但幾何體的一些特征可以確定, 取AB中點(diǎn)為O,因?yàn)镹為AC中點(diǎn),M為A1B1中點(diǎn),則MO∥BB1,NO∥BC.因此,平面MNO∥平面BCC1B1,即得MN∥平面BCC1B1.

圖3 例1解析圖(b)

評(píng)注一個(gè)幾何體的特征,常常在點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系中體現(xiàn),而點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系必定存在相對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系.本題的關(guān)鍵是由條件“側(cè)面BCC1B1為正方形,平面BCC1B1⊥平面ABB1A1”和平面與平面垂直的性質(zhì)定理推斷出“∠CBA=90°”.由條件“AB⊥MN(或BM=MN)”推斷出“∠ABB1=90°”.由形得數(shù)的過程,就是從觀察幾何圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系著手,尋找?guī)缀翁匦?從中挖掘有價(jià)值的數(shù)量關(guān)系,然后將各個(gè)信息聯(lián)合在一起,通過邏輯推理,推斷出有價(jià)值的結(jié)論.

2 以數(shù)養(yǎng)性,以性定形

圖4 2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷第19題圖 圖5 例2解析圖

(1)求A到平面A1BC的距離;

(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn),AA1=AB,平面A1BC⊥ 平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值．

3 數(shù)形互化,以性制勝

例3(2022年浙江高考數(shù)學(xué)第19題)如圖6,已知梯形ABCD和CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角為60°．設(shè)M,N分別為AE,BC的中點(diǎn)．

圖6 2022年浙江高考數(shù)學(xué)第19題圖 圖7 例3解析圖

(1)證明:FN⊥AD;

(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.

評(píng)注利用幾何綜合法求直線與平面所成角大小,關(guān)鍵是尋找直線在平面上的射影.在研究比較復(fù)雜的幾何體時(shí),幾何體的一些重要幾何特征常被遮掩,導(dǎo)致解題思路受阻.本題條件給出的幾何體是一個(gè)五面體,點(diǎn)B在平面ADE上的投影點(diǎn)位置較難發(fā)現(xiàn).根據(jù)條件所提供的數(shù)量關(guān)系,通過數(shù)形結(jié)合思想,感知BM與平面ADE有特殊位置關(guān)系,由此獲得有價(jià)值的重要解題信息,被隱藏的直線與平面所成角才顯露出來.試題給學(xué)生提供了較大的思考空間,對(duì)知識(shí)之間的聯(lián)系、直觀想象等素養(yǎng)做了深入的考查,突出了對(duì)發(fā)散性思維和創(chuàng)新性思維的考查.

例4(2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)乙卷理科第18題)如圖8,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC中點(diǎn)．

圖8 2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)乙卷理科第18題圖 圖9 例4解析圖

(1) 證明:平面BED⊥ 平面ACD;

(2) 設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點(diǎn)F在BD上,當(dāng) △AFC的面積最小時(shí),求CF與平面ABD所成角的正弦值．

分析對(duì)于第(1)問, 以形定性,由AD=CD,∠ADB=∠BDC,得△ADB≌△CDB,四面體具有對(duì)稱性.又因?yàn)镋為AC中點(diǎn),AB=CB,所以,BE⊥AC,DE⊥AC,即AC⊥平面BDE,故平面BED⊥ 平面ACD.

評(píng)注本題的幾何體特征沒有直接給出,而是從條件所提供的有關(guān)各個(gè)數(shù)量關(guān)系中,發(fā)現(xiàn)幾何體中相關(guān)的點(diǎn)、線、面所處的位置有良好的特性,受這些特性的啟發(fā),激活了解題思路.在研究空間幾何體各種距離和角時(shí),如何找到平面垂線的合適位置,是解決問題的關(guān)鍵,而平面與平面垂直的性質(zhì)定理在找平面的垂線中可以發(fā)揮重要作用.在處理立體幾何一些問題中,以數(shù)定性、由性求數(shù)、數(shù)形互化,是解題常用的重要思想方法.

如何靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,提高空間想象能力?首先,需要扎實(shí)的幾何基本知識(shí).合理、有效的想象需要一定知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)積累支撐,幾何概念、公理、定理和性質(zhì)是想象的根基,也是直觀想象合法保障.具有扎實(shí)的幾何基本知識(shí),才能使幾何直觀想象有理有據(jù),使空間想象力合乎理性、有邏輯.其次, 準(zhǔn)確把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征.數(shù)量關(guān)系是空間結(jié)構(gòu)不可或缺的重要組成部分,無非是我們眼睛不能直視,需要我們進(jìn)行抽象概括,然后以純粹的形式進(jìn)行演算、推理與證明.因此,在解決立體幾何題時(shí),既要挖掘隱含在幾何體中的數(shù)量關(guān)系,又能從數(shù)量關(guān)系中推斷幾何特性.最后,重視從動(dòng)態(tài)思維審視幾何體.由于幾何圖形為了直觀性,圖形中數(shù)量有“失真”,其中的一些數(shù)量從表面上看與真實(shí)的數(shù)量并不相符,直接影響對(duì)幾何體的正確認(rèn)識(shí)和理解.可以通過“拆”解幾何體,將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形,為數(shù)形結(jié)合提供良好的環(huán)境[1].