自適應(yīng)蒙特卡洛法評(píng)定全站儀測(cè)距不確定度

仇躍鑫，朱進(jìn)，王瑛輝*

（1.浙江省計(jì)量科學(xué)研究院， 浙江 杭州 310018；2.浙江省數(shù)字精密測(cè)量技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310018）

0 引言

全站儀被廣泛應(yīng)用于精密測(cè)量、機(jī)械制造和大地測(cè)量領(lǐng)域，本質(zhì)是由一個(gè)經(jīng)緯儀和一個(gè)電子測(cè)距儀共同組成，這二者的精度直接決定了全站儀的精度。全站儀的角度測(cè)量系統(tǒng)通常在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)校準(zhǔn)［1］，測(cè)距則需要在野外基線場(chǎng)進(jìn)行校準(zhǔn)，由于野外環(huán)境不可控和氣象條件波動(dòng)劇烈［2］，因此通過評(píng)定測(cè)量不確定度來(lái)判斷測(cè)量結(jié)果的可靠程度具有重要意義。

Lauryna ?iaudinyte 使用平面角校準(zhǔn)方法對(duì)全站儀的豎直角度測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行不確定度評(píng)定［3］，并使用測(cè)量不確定度表示指南（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，GUM）對(duì)全站儀豎直角度校準(zhǔn)的三角法進(jìn)行了不確定度評(píng)定［4］。José L.García-Balboa 使用GUM 對(duì)全站儀對(duì)中的不確定度進(jìn)行了評(píng)定［5］。范春艷針對(duì)GUM 評(píng)定測(cè)量不確定度時(shí)存在的問題，使用蒙特卡洛法（Monte Carlo Method，MCM）對(duì)全站儀空間測(cè)量不確定度進(jìn)行評(píng)定，著重分析樣本數(shù)量對(duì)仿真效率和準(zhǔn)確性的影響［6］。劉勝林使用GUM 對(duì)全站儀（測(cè)距儀）測(cè)尺頻率和周期誤差振幅的測(cè)量不確定度進(jìn)行評(píng)定［7-8］。江洪波使用GUM 對(duì)全站儀測(cè)距綜合標(biāo)準(zhǔn)差的測(cè)量不確定度評(píng)定和使用全站儀進(jìn)行短基線測(cè)量的精度評(píng)定［9-10］。時(shí)振偉對(duì)全站儀加、乘常數(shù)檢定精度的影響因素及對(duì)策進(jìn)行了分析［11］。

上述研究?jī)?nèi)容主要針對(duì)全站儀的豎直角測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)量不確定度評(píng)定或者針對(duì)測(cè)距不確定度來(lái)源中的部分誤差源進(jìn)行不確定度評(píng)定，沒有針對(duì)全站儀測(cè)距不確定度進(jìn)行綜合分析。

相比于使用GUM 評(píng)定測(cè)量不確定度，MCM 更適用于解決模型非線性和輸入量強(qiáng)相關(guān)的問題［12-15］，隨著樣本數(shù)量的增加，MCM 的輸出量也會(huì)更加精確，但相應(yīng)地也需要更多的計(jì)算時(shí)間，自適應(yīng)蒙特卡洛法（Adaptive Monte Carlo Method，AMCM）是在MCM 的基礎(chǔ)上通過輸出量達(dá)到統(tǒng)計(jì)意義上的穩(wěn)定來(lái)平衡輸出量的準(zhǔn)確度和樣本計(jì)算時(shí)間的矛盾［16-18］。

綜上所述，本文根據(jù)全站儀測(cè)距原理，分析全站儀測(cè)距過程中的不確定度來(lái)源，建立不確定度評(píng)定模型，基于AMCM 進(jìn)行測(cè)距不確定度評(píng)定，并與GUM 評(píng)定的測(cè)量不確定度進(jìn)行比較，相互驗(yàn)證了二者的可靠程度。

1 不確定度評(píng)定模型

全站儀在測(cè)量基線邊的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度Di0時(shí)，測(cè)量結(jié)果D的計(jì)算公式為［19］

式中：Di0為基線溯源值，Di為經(jīng)過頻率、氣象、傾斜等修正后的觀測(cè)值，Kc為儀器和棱鏡的組合常數(shù)，R為儀器乘常數(shù)。

對(duì)全站儀測(cè)距進(jìn)行測(cè)量不確定度分析，其主要誤差源包括：標(biāo)準(zhǔn)基線的測(cè)量誤差、基線漂移、全站儀安裝誤差、棱鏡安裝誤差、環(huán)境參數(shù)變化誤差、全站儀量化誤差、頻率漂移、測(cè)距傾斜修正誤差和隨機(jī)測(cè)量誤差。從而得到基于自適應(yīng)蒙特卡洛法的全站儀測(cè)距不確定度評(píng)定模型為

式中：ΔD0為基線參考值引入的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度ΔDi0變化量；ets為全站儀安裝誤差引入的測(cè)距變化量；ep為棱鏡安裝誤差引入的測(cè)距變化量；ΔDenv為環(huán)境參數(shù)變化引入的測(cè)距變化量；σK為儀器和棱鏡的組合常數(shù)測(cè)量隨機(jī)誤差引入的Kc變化量，ΔDe為量化誤差引入的測(cè)距變化量，ΔDf為頻率漂移引入的測(cè)距變化量，ΔDtc為傾斜修正引入的測(cè)距變化量，σ為隨機(jī)測(cè)量誤差引入的Di變化量。

1）基線參考值引入的測(cè)量不確定度分量

基線參考值引入的測(cè)量不確定度主要來(lái)源于基線邊標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的測(cè)量不確定度和基線間的距離漂移。基線邊標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的擴(kuò)展測(cè)量不確定度為1 mm/km（k= 2），故基線邊標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的測(cè)量不確定度引入的測(cè)距變化量ΔDref服從正態(tài)分布N（0，0.5 mm/km）。基線間距離漂移引入的測(cè)距變化量ΔDdrf通過基線穩(wěn)定性指標(biāo)表征，基線穩(wěn)定性指標(biāo)優(yōu)于1.4 mm/km（k= 2），故ΔDdrf服從正態(tài)分布N（0，0.7 mm/km）。故由基線參考值引入的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度變化量ΔD0計(jì)算公式為

2）安裝誤差引入的測(cè)量不確定度分量

全站儀安裝誤差包括：定位桿偏心、基座偏心和儀器整平誤差［20］。全站儀定位桿安裝時(shí)配合間隙導(dǎo)致的偏心優(yōu)于0.01 mm，認(rèn)為全站儀定位桿偏心引入的測(cè)距變化量ets1在0.005 mm 的區(qū)間半寬內(nèi)服從正態(tài)分布N（0，0.005 mm）。全站儀基座對(duì)中時(shí)配合間隙導(dǎo)致的偏心優(yōu)于0.14 mm，認(rèn)為全站儀基座偏心引入的測(cè)距變化量ets2在0.07 mm 的區(qū)間半寬內(nèi)服從正態(tài)分布N（0，0.07 mm）。全站儀豎軸未完全垂直于水平面時(shí)產(chǎn)生的儀器整平誤差優(yōu)于0.01 mm，認(rèn)為儀器整平誤差引入的測(cè)距變化量ets3在0.005 mm的區(qū)間半寬內(nèi)服從正態(tài)分布N（0，0.005 mm）。故全站儀安裝誤差引入的測(cè)距變化量ets計(jì)算公式為

棱鏡安裝誤差包括：定位桿偏心和儀器整平誤差。棱鏡定位桿的偏心優(yōu)于0.01 mm，認(rèn)為定位桿偏心引入的測(cè)距變化量ep1在0.005 mm 的區(qū)間半寬內(nèi)服從正態(tài)分布N（0，0.005 mm）。棱鏡的整平誤差優(yōu)于0.03 mm，認(rèn)為儀器整平誤差引入的測(cè)距變化量ep2在0.015 mm 的區(qū)間半寬內(nèi)服從正態(tài)分布N（0，0.015 mm）。故棱鏡安裝誤差引入的測(cè)距變化量ep為

3）環(huán)境參數(shù)引入的測(cè)量不確定度分量

環(huán)境參數(shù)變化引入的測(cè)量不確定度表現(xiàn)為溫度、濕度和氣壓的變化導(dǎo)致空氣折射率發(fā)生變化，使光波在大氣中的傳播速度發(fā)生變化，從而影響全站儀測(cè)距結(jié)果。由氣象修正公式可知溫度每變化±1 ℃，大氣改正數(shù)變化±1 mm/km；氣壓每變化±3.3 hPa，大氣改正數(shù)變化±1 mm/km；濕度每變化±60% RH，大氣改正數(shù)變化±0.5 mm/km。儀器和棱鏡的組合常數(shù)在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)進(jìn)行測(cè)量，兩次測(cè)量期間的環(huán)境溫度的變化值小于0.2 ℃，且最長(zhǎng)測(cè)量距離為18 m，因此環(huán)境參數(shù)變化引入的測(cè)量不確定度極小，忽略不計(jì)。

在乘常數(shù)標(biāo)定和實(shí)際測(cè)量過程中環(huán)境溫度變化不超過±1 ℃，氣壓變化不超過±1 hPa，濕度變化不超過±10% RH，故由溫度變化引入的測(cè)距變化量ΔDt優(yōu)于±1 mm/km，并在1 mm/km 的區(qū)間半寬內(nèi)服從均勻分布；由濕度變化引入的測(cè)距變化量ΔDh優(yōu)于±0.08 mm/km，并在0.08 mm/km 的區(qū)間半寬內(nèi)服從均勻分布；由氣壓變化引入的測(cè)距變化量ΔDp優(yōu)于±0.3 mm/km，并在0.3 mm/km的區(qū)間半寬服從均勻分布。故由環(huán)境參數(shù)變化引入的測(cè)距變化量ΔDenv為

4）儀器參數(shù)引入的測(cè)量不確定度

全站儀參數(shù)變化引入的測(cè)量誤差包括量化誤差和頻率漂移的影響。TC2003 型全站儀的分辨力為0.1 mm，認(rèn)為量化誤差引入的測(cè)距變化量ΔDe在0.05 mm的區(qū)間半寬內(nèi)服從均勻分布。儀器標(biāo)稱頻率為50 MHz，在開機(jī)30 min 后的測(cè)距精測(cè)頻率變化量不超過±5 Hz，由頻率漂移引入的測(cè)距變化量ΔDf不大于±0.1 mm/km，認(rèn)為ΔDf在0.1 mm/km的區(qū)間半寬內(nèi)服從均勻分布。

距離測(cè)量值傾斜修正引入的測(cè)量誤差包括標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度基線場(chǎng)各觀測(cè)墩之間的高度誤差和儀器安裝的高度誤差影響。各觀測(cè)墩之間的高度誤差不超過2 cm，測(cè)量使用的合作目標(biāo)是徠卡專用精密棱鏡組，棱鏡中心高與儀器高之差可以忽略不計(jì)。按測(cè)量的最短距離為48 m 來(lái)計(jì)算，由其引入的傾斜修正誤差ΔDtc不超過±0.09 mm/km，并服從均勻分布。

5）儀器隨機(jī)測(cè)量誤差引入的測(cè)量不確定度

測(cè)量過程中的儀器隨機(jī)測(cè)量誤差引入的測(cè)量誤差中的乘常數(shù)隨機(jī)測(cè)量誤差通過全站儀觀測(cè)值的重復(fù)性指標(biāo)給出，通過實(shí)驗(yàn)評(píng)定得到全站儀的測(cè)量重復(fù)性σ優(yōu)于0.16 mm。認(rèn)為σ服從正態(tài)分布N（0，0.16 mm）。

儀器和棱鏡的組合常數(shù)在室內(nèi)短基線上單獨(dú)進(jìn)行校準(zhǔn)，并用于補(bǔ)償全站儀測(cè)量基線邊標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度時(shí)的觀測(cè)值，因此儀器和棱鏡的組合常數(shù)的隨機(jī)測(cè)量誤差σK通過該常數(shù)測(cè)量過程中的測(cè)量重復(fù)性指標(biāo)給出，測(cè)量重復(fù)性優(yōu)于0.25 mm，故認(rèn)為σK服從正態(tài)分布N（0，0.25 mm）。

綜上所述，將各項(xiàng)誤差源匯總?cè)绫?所示。

表1 誤差源匯總表Tab.1 Summary of error sources

2 測(cè)量不確定度評(píng)定

2.1 自適應(yīng)蒙特卡洛法

AMCM 對(duì)輸入量按相應(yīng)的概率密度函數(shù)進(jìn)行離散抽樣，通過測(cè)量不確定度評(píng)定模型傳遞輸入量分布和計(jì)算得到輸出量，進(jìn)一步獲得輸出量的最佳估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)不確定度度和包含區(qū)間。使用AMCM 評(píng)定全站儀測(cè)距測(cè)量不確定度的試驗(yàn)過程如圖1所示。

圖1 AMCM評(píng)定測(cè)量不確定度程序流程圖Fig.1 Flowchart of measurement uncertainty evaluation by AMCM

1）初始化：包括設(shè)置單組試驗(yàn)樣本數(shù)量M、數(shù)值容差δ和試驗(yàn)次數(shù)h= 1。M通過式（7）進(jìn)行設(shè)置

式中：J為大于或等于100 /（1-p）的最小整數(shù)，當(dāng)p取99.9%時(shí)，J= 105，即單組試驗(yàn)樣本數(shù)量M= 105。

數(shù)值容差δ與全站儀標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度的有效位數(shù)相關(guān)，將全站儀的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度表示為c× 10l，即可通過式（8）得到δ。

2）樣本抽取：根據(jù)各輸入量的概率分布情況抽取M個(gè)樣本數(shù)據(jù)。

3）蒙特卡洛試驗(yàn)：抽取的樣本根據(jù)不確定度評(píng)定模型進(jìn)行計(jì)算，并輸出當(dāng)前試驗(yàn)組數(shù)據(jù)。

4）第h組試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算：包括輸出量估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度和概率p的包含區(qū)間的左右端點(diǎn)。

5）h組試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算：包括輸出量估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度和概率p的包含區(qū)間的左右端點(diǎn)的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

6）穩(wěn)定性判斷：判斷輸出量估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度和概率p的包含區(qū)間的左右端點(diǎn)的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是否小于數(shù)值容差δ，若不成立則繼續(xù)進(jìn)行h+ 1組試驗(yàn)。

7）結(jié)果輸出：使用h×M個(gè)模型輸出值計(jì)算得到輸出量估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量不確定度和概率p的包含區(qū)間。

由于MCM 所需樣本數(shù)量M的大小與輸出量的概率密度函數(shù)和包含概率相關(guān)，M= 106通常會(huì)為輸出量提供95%的包含區(qū)間，但由于MCM 缺少對(duì)結(jié)果的驗(yàn)證，無(wú)法保證樣本數(shù)量是否足夠，所以一般需要大量樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬保證輸出量準(zhǔn)確，樣本數(shù)據(jù)計(jì)算時(shí)間隨著樣本數(shù)量的增加而增加。而AMCM 在輸出結(jié)果前增加了穩(wěn)定性判斷這一步驟，可以實(shí)時(shí)調(diào)整樣本數(shù)量，采用更少的樣本數(shù)據(jù)即可得到準(zhǔn)確可靠的輸出量，因此使用AMCM可以解決輸出量的準(zhǔn)確度和樣本計(jì)算時(shí)間的矛盾。

2.2 測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果

基于不確定度評(píng)定模型，得到基線邊長(zhǎng)度分別為72、216、432、624、1 176 m 時(shí)，全站儀觀測(cè)值的不確定度評(píng)定結(jié)果如表2所示。

表2 不確定度評(píng)定結(jié)果Tab.2 Uncertainty evaluation results

表2中，ΔD0為基線邊長(zhǎng)度；E為不同測(cè)距長(zhǎng)度下全站儀觀測(cè)值的最佳估計(jì)值；U為不同測(cè)距長(zhǎng)度下全站儀觀測(cè)值的擴(kuò)展不確定度，包含因子k= 2；［c1，c2］為95%置信概率的包含區(qū)間的左右端點(diǎn)。

該過程中試驗(yàn)次數(shù)h= 3，即樣本數(shù)量M= 3 ×105時(shí)，結(jié)果已經(jīng)趨于統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定，相比蒙特卡洛法的樣本數(shù)量M至少需要106個(gè)減少了70%的樣本數(shù)量，且二者的不確定度評(píng)定結(jié)果相同，基線邊長(zhǎng)度分別為72、216、432、624、1 176 m 時(shí)測(cè)量結(jié)果分布分別如圖2 ～ 6所示。

圖2 72 m測(cè)量結(jié)果分布Fig.2 Distribution of 72 m measurement results

圖3 216 m測(cè)量結(jié)果分布Fig.3 Distribution of 216 m measurement results

圖5 624 m測(cè)量結(jié)果分布Fig.5 Distribution of 624 m measurement results

圖6 1 176 m測(cè)量結(jié)果分布Fig.6 Distribution of 1 176 m measurement results

3 評(píng)定結(jié)果驗(yàn)證

3.1 GUM評(píng)定結(jié)果

全國(guó)測(cè)距儀校準(zhǔn)能力計(jì)量比對(duì)試驗(yàn)在中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院昌平基地標(biāo)準(zhǔn)基線上進(jìn)行，采用“固定地點(diǎn)”比對(duì)方式，比對(duì)的基線邊長(zhǎng)度分別為72、216、432、624、1 176 m。測(cè)量結(jié)果如表3 所示，使用GUM 評(píng)定全站儀測(cè)距的擴(kuò)展測(cè)量不確定度為0.5 mm + 1.87 mm/km ×D（k= 2）。

表3 測(cè)量結(jié)果Tab.3 Measurement results

表3 中，D為全站儀經(jīng)過頻率、氣象、傾斜和乘常數(shù)修正后的觀測(cè)結(jié)果；dev為全站儀觀測(cè)結(jié)果與參考值比較的等效結(jié)果，每段基線共測(cè)量10次，每次測(cè)量同步記錄主導(dǎo)實(shí)驗(yàn)室提供的實(shí)時(shí)環(huán)境參數(shù)數(shù)據(jù)，經(jīng)環(huán)境參數(shù)補(bǔ)償后，取平均值作為每段基線邊長(zhǎng)度的觀測(cè)結(jié)果；UGUM為通過GUM 評(píng)定的各基線邊標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的擴(kuò)展測(cè)量不確定度。

3.2 結(jié)果對(duì)比

由2.2 節(jié)AMCM 測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果和3.1節(jié)GUM 評(píng)定結(jié)果可以看出：在測(cè)距距離較短時(shí)，二者的測(cè)量不確定度接近，如測(cè)距距離為72 m 時(shí)，二者的測(cè)量不確定度相同；在測(cè)距距離較長(zhǎng)時(shí)，AMCM 的測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果小于GUM，如測(cè)距距離為216 m時(shí)，AMCM的測(cè)量不確定度比GUM小0.2 mm，距離為1 176 m 時(shí)，AMCM 的測(cè)量不確定度比GUM 小0.4 mm，AMCM 和GUM 兩種不確定度評(píng)定方法評(píng)定的擴(kuò)展不確定度對(duì)比如圖7 所示。其中偏差為0 的黑線為基線邊長(zhǎng)度的參考值，從圖7中可以看出，兩種不確定度評(píng)定方法的測(cè)量結(jié)果均在合理預(yù)期之內(nèi)。

圖7 GUM和AMCM評(píng)定不確定度結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of uncertainty evaluation results between GUM and AMCM

造成AMCM在測(cè)距距離較長(zhǎng)時(shí)的擴(kuò)展不確定度小于GUM 的原因是：GUM 假設(shè)各誤差源之間互不相關(guān)，而儀器隨機(jī)測(cè)量誤差引入的測(cè)量不確定度分量中包含了基線參考值、環(huán)境參數(shù)和儀器參數(shù)引入的部分測(cè)量不確定度分量，且隨著測(cè)距距離的增加，該部分引入的不確定度分量也隨之增加，導(dǎo)致GUM評(píng)定的擴(kuò)展不確定度可能被保守估計(jì)。

4 結(jié)論

全站儀測(cè)距不確定度模型具有誤差來(lái)源復(fù)雜和非線性的特點(diǎn)，本文基于AMCM 評(píng)定全站儀測(cè)距不確定度不僅有效應(yīng)對(duì)了上述問題，避免了求解靈敏系數(shù)的繁瑣過程，且使用AMCM 具有如下優(yōu)點(diǎn)：

1）借助大量數(shù)據(jù)樣本的優(yōu)勢(shì)，相比于GUM 對(duì)各誤差源引入的不確定度分量評(píng)估更為全面，在95%置信概率下，得到的擴(kuò)展不確定度包含區(qū)間更窄。

2）借助自適應(yīng)優(yōu)化仿真次數(shù)的優(yōu)勢(shì)，相比于MCM，在不影響不確定度的評(píng)定結(jié)果的前提下，需要的樣本數(shù)量更少，可以提高計(jì)算效率，節(jié)省運(yùn)算時(shí)間。