氣液兩相流中液滴識別及體積計算

蘇明,裴世紅

(沈陽化工大學 化學工程學院,遼寧 沈陽 110142)

氣液兩相流研究對多個領域具有重要意義,而液滴識別和體積計算則是氣液兩相流研究的重要問題。液滴體積是液滴的重要物理屬性之一,在數值模擬中具有重要意義。它可以幫助研究人員更準確地預測液滴的行為,包括液滴的形態、運動、分離和融合等。通過計算液滴體積,還可以了解液滴的大小、形狀、表面張力和內部流體壓力等參數,以便更好地設計和優化液滴相關的工藝和應用。因此,在液滴相關研究和應用中,計算液滴體積是不可或缺的一部分,具有重要意義。

液滴的形態受到多種條件的影響,其中包括兩相性質、氣流和壁面等,這導致構成液滴的微觀離散粒子與液滴之間的關系不清晰,并使得在空間上識別和計算液滴體積變得非常困難。為了解決這些問題,提出一種結合帶有噪聲的基于密度的空間聚類算法(Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise,簡稱DBSCAN算法)和光滑粒子流體動力學方法(Smooth Particle Hydrodynamics Method,簡稱SPH方法)的新方法來解決氣液兩相流中液滴的識別和體積計算問題,該方法能夠應對復雜的液滴分布結構和形態,并具有良好的可行性和較高的準確性。

1 計算方法

1.1 液滴識別

DBSCAN算法是由Ester等[1]開發的聚類算法,Tian等[2]應用該算法于氣固兩相流中顆粒團簇的識別,并驗證了該方法在微小粒子間的識別方面的有效性。該算法通過輸入離散粒子的位置信息和指定DBSCAN模型參數來快速準確地識別液滴,其可適用于各種形態的液滴。以下是對該算法相關概念和實現步驟的簡要介紹。

1.1.1 相關概論

DBSCAN算法是一種基于密度的可表示聚類識別方法。它將聚類定義為按密度連接的最大點集,該算法可以發現任意形狀和大小的聚類。算法有兩個關鍵的輸入參數,第一個參數是搜索半徑eps,它定義了離散粒子搜索鄰域粒子的搜索半徑大小,第二個參數是密度閾值MinPts,MinPts是屬于所謂核心點的相鄰點的最小數量,eps和MinPts通常由人為指定大小。為了準確描述該算法,給出以下定義:

eps鄰域:一個樣本數據p,p的鄰域用Neps(p)來表示,以數據p為中心eps為半徑的區域內,即:

Neps(p)={q∈D|dist(p,q)eps}

(1)

其中,D為數據集;dist(p,q)表示D中兩個數據對象p和q之間的距離;Neps(p)包含了數據集D中與對象p距離不大于eps的所有對象。

核心點和邊界點:若點p的鄰域粒子數大于設定的最小點數閾值,則點p為核心點,若小于設定的最小點數閾值且在某個核心點的鄰域內,則為邊界點。

直接密度可達:給定樣本數據p、q,滿足p∈Neps(q)且|Neps(q)|≥MinPts,則稱對象p是從對象q密度直達的。

密度可達:若數據集D中存在對象p1,p2,…pn,存在0

密度相連:若對象p、q、r同屬一個數據集D且對象p和q是通過r密度可達,則稱對象p和q密度相連。該過程是對稱的。

聚類和噪聲:由任意一個核心點對象開始,從該對象密度可達的所有對象構成一個聚類,如果p的閾值密度小于MinPts,并且p的eps鄰域中的所有點都是邊界點,則點p是噪聲點。

DBSCAN算法根據以下內容建立聚類:首先,如果|Neps(p)|≥MinPts,則點p將作為核心點,并將創建一個新的集群。接下來,新的聚類被從p密度可達的點不斷展開。重復此過程直到找不到新的聚類。另一方面,如果|Neps(p)|≤MinPts,則點p將是一個噪聲,但是如果這個離散點從某個核心點密度可達,則它可以包含在另一個聚類中。如圖1所示,給定距離eps和參數MinPts=3,紅色點表示核心粒子,因為在尺寸為eps的殼層內至少存在3個相鄰粒子。紅色點由雙向箭頭連接,表示它們是相互連接的核心粒子。紅點構成了聚類的核心。點B、C和D不是核心粒子,但可以從至少一個紅點直接到達(如單向箭頭所示)。它們形成了團聚的邊界。紅圈所覆蓋的區域被視為一個簇,因為其中的粒子要么屬于簇核,要么可以從簇核直接到達。點N是一個異常值,即噪聲點。

圖1 DBSCAN方法的示意圖[2]

1.1.2 實現過程

對于三維空間中的離散粒子,本文使用歐幾里得距離作為距離度量標準,對于給定的數據庫中的數據集,任意兩個離散粒子之間距離的大小,反映了其是否可以被識別到同一個液滴中。本文使用DBSCAN算法識別液滴的步驟如下:

1) 解析樣本數據文件;

2) 計算每個粒子與其鄰域27個網格內所有粒子之間的歐幾里得距離;

3) 計算每個粒子的k-距離值,并對所有粒子的k-距離集合進行升序排序,輸出排序后的k-距離值;

4) 根據給定的MinPts、eps,計算得到所有核心粒子,并建立核心粒子與到核心粒子距離小于半徑eps的點的映射;

5) 根據得到的核心粒子集合,以及半徑eps的值,計算能夠連通的核心粒子,并得到離群粒子;

6) 將能夠連通的每一組核心粒子以及到核心粒子距離小于半徑eps的粒子,都放到一起形成一個液滴。

1.2 液滴體積計算

由離散粒子構成的液滴在三維空間中的大小無法估計,表面形狀更是復雜,這就導致使用一般方法計算液滴體積異常困難。為了解決該問題,在此引入SPH方法[3],該方法是一種基于粒子的模擬方法,與傳統的模擬方法不同,它無需網格計算空間導數。相反,它基于分析插值微分公式的原理,能夠解析地表達空間導數項,從而將動量方程和能量方程轉化為一系列常微分方程。由于SPH方法不依賴網格,因此可以避免在處理具有大變形自由表面的問題中出現的網格纏結和扭曲問題。理論上可以處理任意邊界大變形問題,因此非常適合用于液滴體積問題的計算。

在SPH方法中,位置為xi的物理量Ai可以根據其鄰域粒子進行核插值得到,即

(2)

其中,N是支持域內鄰域粒子數,xij=xi-xj,mj為粒子質量,W為緊支域半徑為h的光滑核函數。

所以根據式(2),可得粒子i的密度為:

(3)

SPH離散方程嚴格滿足質量守恒定律,則由式(3)可進一步推導出粒子i的體積為:

(4)

式(2)中光滑核函數W(xij,h)的選取非常重要,它與粒子的支持域尺寸和函數近似息息相關,還決定了核近似和粒子近似的一致性和精確性。許多科研人員對光滑核進行了研究,并提出光滑核函數應滿足如下要求[4-7]:

1)在支持域時進行積分時滿足正則化條件(歸一性):

(5)

2)緊致性。SPH方法中通常認為只有支持域內的粒子對給定粒子有影響因此核函數必須具備緊支性條件,即:

W(x-x′)=0,|x-x′|>κh

(6)

式中,κ為比例因子,h為光滑長度。

3)非負性:

W(x-x′)0

(7)

4)狄拉克函數條件:

limW(x-x′)=δ(x-x′)

(8)

5)偶函數、遞減性及充分光滑性質。

理論上,同時具備上述5個條件的函數都可以被用來當做SPH方法的光滑核函數。目前常見的核函數有以下幾種:高斯型核函數、鐘型核函數、三次樣條核函數、二次核函數及五次樣條核函數[8],其中三次樣條核函數[9-10]是現有SPH文獻中應用最為廣泛的光滑函數。因此選取三次樣條核函數作為光滑函數計算液滴體積,其形式如下:

(9)

其中s=|x-x'|/h,αd是與維度d相關的歸一化因子,在三維中αd=15/62πh3。

2 結果與分析

2.1 計算方法驗證

2.1.1 算例設計

為了驗證結合方法的正確性,使用具有不同數量粒子的三個不同離散體來進行實例計算。這些離散體包括粒子數為29 147個的橢球體(參見圖2a)、粒子數為17 093個的環面體(參見圖2b)和粒子數為104 630個的圓錐半球體(參見圖2c)。橢球體、環面體及圓錐半球體的方程和體積計算公式如下:

(a)橢球體;(b)環面體;(c)圓錐半球體。

2.1.1.1 橢球體

曲面方程:

(10)

體積計算公式:

(11)

其中a=20,b=15,c=10。

2.1.1.2 環面體

曲面方程:

(12)

體積計算公式:

V=2π2Rr2

(13)

其中R=15,r=5。

2.1.1.3 圓錐半球體

曲面方程:

(14)

體積計算公式:

(15)

上述離散粒子集中,粒子粒徑dp=0.85,因此在結合算法中設置eps=2dp,MinPts=1,光滑長度h=0.85。

2.1.2 驗證結果與分析

在使用結合方法計算2.1.1中生成的離散粒子集后,經識別得出空間中存在3種液滴。液滴數量以及每個液滴的粒子數與2.1.1中的初始設置完全一致:第一種液滴包含29 147個粒子,第二種液滴包含17093個粒子,而第三種液滴包含104 630個粒子。

為了驗證使用SPH方法計算液滴體積的準確性,這里使用公式法和體素計算法做對比驗證。如下是體素方法計算液滴體積的簡單流程:

1)首先需要將待計算的液滴數據集置于一個最大包圍盒中;

2)將該包圍盒分割成若干個體素,體素的大小要與液滴粒子直徑相同(即體素邊長e=dp=0.85);

3)遍歷所有體素,若該體素內有粒子,則將該體素的體積加和,最終得到液滴的體積。

使用2.1.1中公式、SPH方法及體素計算法分別對識別的橢球體、環面體和圓錐半球體計算體積,計算統計結果如表1所示:

表1 三種方法體積計算對比表

通過公式法計算得到的體積為標準體積。表1表明SPH方法與公式法關于三種形體體積計算的相對誤差分別為橢球體2.1%、環面體1.5%和圓錐半球體2.1%,而體素方法與公式法在三種形體體積計算的相對誤差分別為20.3%,23.1%和21.3%。通過對比,可以發現相較于體素方法而言,SPH方法計算得到的體積與標準體積的相對誤差僅在2%左右,并且對計算形體不敏感。因此,SPH方法不僅精度高,而且更具有普適性。

2.2 橫向射流霧化過程液滴識別及體積計算

航空發動機加力燃燒室、沖壓發動機燃燒室和超燃沖壓發動機燃燒室,通常使用射流將液態燃料噴入橫向氣流中實現摻混過程。這種方式會使得液態燃料發生破碎霧化,從而獲得小尺寸的液滴并大幅增加液體燃料的表面積。這些效應可以顯著提高點火能力、拓展燃燒范圍,并減少廢氣排放與污染物。

液體從橫向射流出口噴出到完全霧化需要經歷兩個過程:液柱變成大液滴為一次霧化,接著大液滴進一步破碎變成小液滴為二次霧化。圖3展示了這一過程。下面使用液滴識別及體積計算方法對液體橫向射流霧化結果進行計算,得到霧化后液滴群的粒徑分布,并分析液體破碎的霧化程度和霧化效果,展示其應用場景。

圖3 橫向氣流中射流破碎霧化過程[11]

2.2.1 計算設置

圖4展示的為橫向射流霧化結果圖,計算區域的范圍是850×500×150(無量綱)的長方體,粒子總數為N=332 674,粒子粒徑dp=0.85。因此本次計算的參數設置如表2所示:

表2 計算參數設置

圖4 橫向射流霧化結果圖

2.2.2 計算結果與分析

霧化的目的是使液體破碎成多而小且滴徑均勻的小液滴,但是現實中液滴的大小并不相同,為了方便研究問題,這里使用假想的均勻尺寸液滴來代替現實中不均勻尺寸的液滴。因此引入索特爾平均直徑(Sauter Mean Diameter,簡稱SMD)[12]來表示液滴的平均直徑,表達式為:

(16)

其中,di為液滴的等體積直徑,ni為粒徑是di的液滴數。

在橫向氣流速度下,計算得到沿X軸方向的液體破碎后液滴群的SMD變化如圖5所示:

圖5 液滴平均SMD沿X方向的變化

由圖5可以發現,噴口后的一小段距離內,在橫向氣流的作用下液滴群的SMD減小較為迅速,此時液柱破碎為大液滴,隨著氣流的進一步沖擊,液滴群的SMD也隨著向前推進而逐漸變小,說明霧化程度也在逐步加深,直到SMD維持在5(無量綱)左右,霧化過程完畢。

從上述分析中可知,可以通過液滴群的SMD變化得到液體破碎后的霧化程度,而霧化效果則可通過各粒徑液滴數百分比分布得到。如圖6所示,液體破碎霧化后極小液滴(粒徑在1～2(無量綱)左右)數占液滴群總數的93%左右,小液滴(粒徑在2～3(無量綱)左右)數占據液滴群總數的6%左右,說明液體破碎后的液滴主要以極小液滴和小液滴為主,反應總體的霧化效果較好。

圖6 各粒徑液滴數百分比分布

3 結論

本文將DBSCAN算法和SPH方法結合,可用于解決氣液兩相流中液滴識別及體積計算問題。通過實例計算分析可知,即使對不同形體,該結合方法也可正確識別液滴個數及每個液滴的粒子數,并且計算得到的液滴體積與其真實值相近。使用液滴識別及體積計算方法對橫向射流霧化結果進行計算,計算結果表明,該方法可得到液體破碎后液滴群的粒徑分布,可用于分析液體破碎的霧化程度和霧化效果。綜上所述,本文的結合方法可以用于氣液兩相流中液滴識別及體積計算。