基于灰色系統理論的筒子紗卷繞密度測量誤差預測

周其洪, 韓偉龍, 陳 鵬, 洪 巍, 岑均豪

(1.東華大學 紡織裝備教育部工程研究中心, 上海 201620; 2.東華大學 機械工程學院, 上海 201620;3.廣州盛原成自動化科技有限公司, 廣東 廣州 511400)

筒子紗卷繞密度是影響筒子紗染色質量的關鍵因素[1]。當筒子紗卷繞密度過小時,紗線太松,容易重疊且相互糾纏,成形不好難以染色[2];當筒子紗卷繞密度過大時,染液流體對筒子紗的滲透性較差,染色后的筒子紗內外色差較大[3]。因此,提升筒子紗卷繞密度的測量精度具有重要應用價值。

目前筒子紗卷繞密度的測量主要采用人工法和儀器法。人工法主要是使用游標卡尺等測量工具手動測量筒子紗的外形參數,運用數學公式和筒子紗的質量計算卷繞密度[4]。該方法存在測量精度差,效率低等問題。儀器法包括接觸式儀器法和非接觸式儀器法。接觸式儀器法主要是將硬度測試儀的探針插入到筒子紗內部,通過測量各層紗線的硬度來間接估測卷繞密度[5]。這種測量方法會對筒子紗的紗線結構造成一定的破壞,測量精度不高。非接觸式儀器法主要有機器視覺法和激光掃描建模法。機器視覺法主要是利用工業相機獲取筒子紗的側面輪廓,通過圖像分析計算筒子紗的體積,再配合紗線的質量計算筒子紗的卷繞密度[6]。該方法具有測量效率高和保持筒子紗紗線結構完整的優點,但當筒子紗表面輪廓存在凹凸不平的特征時,測量精度將會降低。激光掃描建模法主要是使用激光傳感器采集筒子紗的外形輪廓和質量傳感器采集紗線的質量,通過數據處理計算筒子紗的卷繞密度[7]。激光掃描建模具有測量效率高和測量精度穩定的優點,符合當下高質量生產的需求。在實際生產中,使用激光掃描建模的筒子紗卷繞密度測量方法其采樣周期和步進電動機的脈沖頻率要根據需求進行調整,導致無法直接了解新的采樣周期和脈沖頻率對測量精度的影響。為進一步提高該方法的測量精度,需通過分析測量參數與測量誤差之間的關系,并采用合適的預測模型對測量誤差進行預測。

考慮到測量參數和測量誤差之間存在較大的復雜性和不確定性,可視為數據信息不全面的灰色系統。適合本研究的模型主要有灰色預測模型和BP神經網絡預測模型。灰色系統理論是一種研究小數據、貧信息不確定性問題的方法[8],通過對部分已知的信息進行分析,推測出未知部分的信息。BP神經網絡方法需要的數據量較大,計算量也更大[9],不是很適合本研究,因此,本文選擇灰色系統模型對卷繞密度的測量誤差進行預測。經典的灰色系統模型為GM(1,1),該模型主要針對單一變量進行分析[10];對于包含多因素變化的灰色系統需要建立GM(1,N)模型進行系統關聯預測[11],以提高預測精度。多變量GM(1,N)模型在短期預測中表現出較強的預測精度[12-13],結合實際應用情景對模型做出相應修改以達到更優的預測效果。

本文利用灰色關聯分析測量參數來滿足灰色建模要求,結合實際建模參數間的非線性關系,提出使用經過背景值優化和分數階累加生成優化的多變量GM(1,N)冪模型進行建模和預測,再引入粒子群算法優化求解冪模型的最優冪指數,得到擬合效果最佳的建模參數。在經典多變量GM(1,N)模型中引入冪指數使影響因子變量對主行為變量序列產生非線性的影響,使用線性結構的背景值優化方法使模型的擬合精度提高,使用分數階累加生成優化使模型的預測精度得到進一步提高。

1 多變量灰色GM(1,N)冪模型

1.1 GM(1,N)冪模型的基本形式

(1)

式中:a為系統發展系數;bi為驅動系數;λi為影響因子變量的冪指數。令:

(2)

(3)

1.2 GM(1,N)冪模型的缺點分析

在實際使用傳統多變量灰色GM(1,N)冪模型建模和預測的過程中發現,該模型只針對理想條件下的數據預測精度高,并不具有普適性,存在如下 2方面不足。

為解決傳統多變量GM(1,N)冪模型存在的缺陷,本研究在優化的GM(1,N)冪模型中引入線性結構優化的背景值來重新推導時間響應式,引入分數階累加生成來解決區間預測缺少前置條件的問題,引入粒子群優化算法進行冪指數自適應尋優;并將基于粒子群優化算法求解優化GM(1,N)冪模型記為PSGM(1,N)冪模型。

2 多變量PSGM(1,N)冪模型優化

2.1 模型灰色關聯度分析

灰色關聯分析法是通過分析樣本參數中蘊含的規律,用樣本參數中規律的趨向度來評判參數間的關系度[14]。如果關系度值大于0.5,那么說明參數間具有較強的灰色關聯性,適合用于灰色建模[15]。

以實際測量計算得到的卷繞密度測量誤差數據為主行為變量序列x1=(x1(1),x1(2),…,x1(n)),影響測量誤差的各個因素,如激光傳感器的采樣周期、步進電動機的脈沖頻率等作為影響因子變量序列xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n)),i=2,3,…,m。其中:m-1為影響因子變量的數量;n為主行為變量序列的數量。

Li(k)=

(4)

式中:k=1,2,…,n;i=2,3,…,m;ρ為灰關聯系數的辨別值,取0.5。

利用計算得到的灰關聯系數Li(k),通過式(5)獲取灰色關聯度值Ri。

(5)

式中,Ri代表影響因子變量序列xi對主行為變量序列x1的相關程度,值越大說明影響因子變量序列對主行為變量序列影響程度越大。通過灰色關聯分析,判斷采樣周期、脈沖頻率和參數K對卷繞密度測量誤差的影響程度。

2.2 模型背景值優化

在實際應用過程中,影響因子變量序列的變化幅度存在較大的情況,如繼續使用式(2)進行建模,將會大大降低預測精度。為解決這種情況帶來的誤差,使用式(6)的線性結構對傳統的背景值生成方式進行優化。

(6)

式中,γ為待定系數。

將線性結構優化生成的背景值代入GM(1,N)冪模型式(1)中得:

(7)

對式(7)進行求解得到優化GM(1,N)冪模型的時間響應式:

(8)

2.3 模型分數階累加生成優化

r階整數累加算子式為

X(r)(k)=

(9)

式中,k=1,2,…,n。

為適應區間內預測,采取將r階整數累加算子式優化為r階分數累加算子式生成數據序列區間內的新序列。具體通過使用Gamma函數Γ(n)來實現:

(10)

2.4 冪模型參數優化

考慮到冪指數的取值與擬合結果之間沒有確切的函數關系,將最小平均絕對相對誤差作為評價模型擬合效果好壞的標準。通過這種方式,將求解模型最優參數轉化為求解最優非線性優化模型,并在評價模型擬合效果的過程中計算出冪指數和灰參數。評價模型擬合效果的適應度函數核心式為

(11)

(12)

式中:t為迭代次數;w為慣性系數;c1和c2為加速系數;r1和r2為[0,1]區間內的2個隨機數。

使用PSO算法進行最優冪指數求解,步驟如下。

步驟1 按粒子群規模初始化種群,明確優化目標為求解最優冪指數,用冪指數設定迭代條件,設定最大迭代次數M,并對所有粒子屬性初始化。

步驟2 根據式(12)對每個粒子的速度和位置進行迭代更新。

步驟4 把每個粒子當前位置的適應度值與個體最優位置的適應度值進行比較,以此獲取當前種群最優的適應度值。

步驟5 當達到循環終止條件時停止循環,并輸出最優結果,否則轉到步驟2繼續迭代更新。

粒子群優化算法求解優化GM(1,N)冪模型具體求解流程圖如圖1所示。

圖1 粒子群算法優化GM(1,N)冪模型Fig.1 Particle swarm optimization GM (1, N) power model

3 筒子紗卷繞密度測量誤差預測

3.1 灰色建模前處理

在使用激光掃描建模測量筒子紗卷繞密度時,影響測量精度的因素包括2個數據采集裝置上的外部參數和1個數據處理程序中的內部參數,分別為:激光傳感器的采樣周期、步進電動機的脈沖頻率和重合點自動剔除算法中的累加參數K。激光傳感器的采樣周期和步進電動機的脈沖頻率共同決定了采集到的筒子紗外部輪廓數據點的數量和點與點之間的距離,數據點的特征決定了筒子紗外部輪廓的擬合效果,直接影響到數據處理結果;重合點自動剔除算法中的累加參數K決定了數據降噪處理后噪聲點的剔除效果,影響數學建模時卷繞密度的計算。

本文研究選取了3種不同密度規格的筒子紗:卷繞密度標準值為0.381 g/cm3的筒子紗A,卷繞密度標準值為0.411 g/cm3的筒子紗B和卷繞密度標準值為0.361 g/cm3的筒子紗C。在標準實驗環境中分別采集了10組原始數據,如表1所示。將前7組數據作為建模數據,后3組數據作為預測數據。筒子紗A的平均直徑為200 mm,質量為1 591 g,筒子紗中紗線平均高度為148 mm,筒管的質量為 128 g, 筒管的直徑為66 mm;筒子紗B的平均直徑為188 mm,質量為1 584 g,筒子紗中紗線平均高度為 157 mm, 筒管的質量為124 g,筒管的直徑為 66 mm; 筒子紗C的平均直徑為205 mm,質量為 1 590 g, 筒子紗中紗線平均高度為 148 mm, 筒管的質量為124 g,筒管的直徑為66 mm。

表1 筒子紗卷繞密度測量誤差及相關影響因素Tab.1 Measurement error and related influencing factors of bobbin winding density

為分析各影響因素和測量誤差的相關性強弱,對建模數據進行灰色關聯度分析,結果如表2所示。各影響因素都對測量誤差存在著較強的相關性,灰色關聯度值均大于0.5,滿足灰色建模的前提條件,因此,選取脈沖頻率、采樣周期和參數K這3個因素研究測量誤差具有合理性。

表2 灰色關聯度值Tab.2 Gray associativity value

3.2 灰色預測模型建立

為對比分析,本文將分別建立經典多變量GM(1,N) 模型、傳統多變量GM(1,N)冪模型和多變量PSGM(1,N)冪模型對3種不同規格筒子紗的卷繞密度測量誤差進行預測,分析比較這3種模型的建模精度和預測精度。基于表1中的建模數據分別建立 3種灰色模型,通過對建模數據進行訓練得出8～10組預測數據,與表1中后3組實測數據進行對比驗證,得到3種模型的誤差分析結果,如表3所示。

表3 3種多變量灰色模型對卷繞密度測量誤差的模擬和預測結果Tab.3 Simulation and prediction results of winding density measurement error by three multivariable grey models

通過模型的定義,分別求解得到3種灰色預測模型的建模參數和時間響應函數。

1) 經典多變量GM(1,N)模型。

A:a=0.174 962,b2=-0.515 936,b3=0.503 788,b4=0.334 878。

B:a=0.262 218,b2=-0.318 934,b3=0.465 395,b4=0.241 033。

C:a=0.164 061,b2=-0.468 142,b3=0.462 881,b4=0.305 006。

2) 傳統多變量GM(1,N)冪模型。

A:a=-0.240 608,b2=-10.227 26,b3=12.331 97,b4=-1.514 65,λ2=-0.952 416,λ3=-0.939 594,λ4=-2.471 19。

B:a=-0.234 294,b2=-11.667 2,b3=13.683 9,b4=-1.237 249,λ2=-0.824 079,λ3=-0.771 271,λ4=-0.852 936。

C:a=-0.240 562,b2=-24.651 02,b3=24.555 22,b4=0.436 428,λ2=-1.364 39,λ3=-1.404 708,λ4=-1.628 032。

3) 多變量PSGM(1,N)冪模型。

A:a=0.057 236,b2=-0.987 618,b3=0.325 170,b4=1.162 383,λ2=-7.181 310,λ3=3.113 668,λ4=0.053 126。

B:a=0.010 864,b2=-1.077 918,b3=1.548 953,b4=0.829 195,λ2=-0.999 157,λ3=1.209 710,λ4=1.571 737。

C:a=-0.018 98,b2=-0.815 084,b3=0.172 959,b4=1.244 397,λ2=-5.416 54,λ3=3.754 956,λ4=-0.041 565。

從表3可看出,在建模精度方面,筒子紗A、筒子紗B和筒子紗C的經典多變量GM(1,N)模型的平均相對誤差分別為28.45%、23.06%和30.15%;使用傳統多變量GM(1,N)冪模型得到的平均相對誤差分別降為2.15%、2.49%和2.16%;使用經過粒子群算法優化后的多變量PSGM(1,N)冪模型的預測平均相對誤差進一步降為2.05%、0.40%和0.74%,建模精度顯著提高。

從表3還可看出,在模型預測方面,優化后的多變量PSGM(1,N)冪模型的預測精度明顯高于另外2種模型。筒子紗A、筒子紗B和筒子紗C的多變量PSGM(1,N)冪模型的預測平均相對誤差分別為2.78%、2.26%和2.44%,經典多變量GM(1,N)模型的預測平均相對誤差分別為14.98%、6.94%和17.40%,傳統多變量GM(1,N)冪模型的預測平均相對誤差分別為5.28%、4.58%和4.70%。多變量PSGM(1,N)冪模型、經典多變量GM(1,N)模型和傳統多變量GM(1,N)冪模型的預測平均誤差分別為2.49%、13.11%和4.85%;相比于經典多變量GM(1,N)模型,多變量PSGM(1,N)冪模型和傳統多變量GM(1,N)冪模型的預測精度分別提升了81.0%和48.6%。

綜上所述,經過粒子群算法優化后的多變量PSGM(1,N)冪模型,在建模精度與預測精度方面都優于另外2種模型,表明優化后的模型具有更高的實際應用價值,更適合筒子紗卷繞密度測量誤差的預測。

3.3 密度測量誤差校正

為保證激光掃描建模的筒子紗卷繞密度測量方法在采樣周期、脈沖頻率和參數K改變后的測量精度,提出使用密度測量誤差校正的方法提高密度測量的準確性。密度測量誤差校正方法是在卷繞密度測量值y的基礎上加上密度測量誤差預測值e,得到校正后更精確的卷繞密度值y′。

采用多變量PSGM(1,N)冪模型分別對表1筒子紗A、B和C中數據序號為8、9、10的3組數據進行測量誤差預測,求解得到的密度測量誤差預測值分別為:筒子紗A,e8=0.039 179 g/cm3,e9=0.043 626 g/cm3,e10=0.048 827 g/cm3;筒子紗B,e8=0.043 367 g/cm3,e9=0.048 187 g/cm3,e10=0.054 181 g/cm3; 筒子紗C,e8=0.038 212 g/cm3,e9=0.042 981 g/cm3,e10=0.048 133 g/cm3。結合卷繞密度測量值y利用密度測量誤差校正法,求解得到卷繞密度測量誤差校正結果,如表4所示。表中精度提高率計算方法為:卷繞密度校正值與卷繞密度測量值的絕對誤差除以卷繞密度精確值。

表4 卷繞密度測量誤差校正結果Tab.4 Winding density measurement error correction results

通過卷繞密度測量誤差校正后筒子紗A、筒子紗B和筒子紗C的平均測量精度分別提高了11.5%、11.8%、11.9%,平均提高11.7%。

4 結 論

針對筒子紗卷繞密度測量誤差預測過程中具有實際建模系統為非線性結構和影響因子序列中元素存在變化幅度較大的特征,提出使用經過粒子群算法優化的非線性多變量PSGM(1,N)冪模型來進行建模和預測,得到如下結論。

1) 引入多變量PSGM(1,N)冪模型可更精確地描述實際建模系統的非線性結構特征,減小由于影響因子序列中元素變化幅度較大帶來的建模誤差影響,同時也提高了數據序列區間內的預測精度。

2) 使用粒子群優化算法對冪模型中最優冪指數進行求解,既提高了模型精度,又提升了建模效率。粒子群優化算法具備全局優化的特性,能夠同時方便快速地計算出多個參數的最優值。

3) 相比于傳統多變量GM(1,N)冪模型和經典多變量GM(1,N)模型,多變量PSGM(1,N)冪模型的預測精度分別提升了48.6%、81.0%。證明此模型在筒子紗卷繞密度測量誤差預測方面具有良好的應用價值。

4) 采用測量誤差校正方法來優化卷繞密度測量值,其平均測量精度提高了11.7%。