實際情境引思考 核心素養再提升
——以探究西紅柿某施肥量與產量增量的關系為例

北京市第五十七中學 李倩倩

北京市海淀區教師進修學校 張 鶴

北京市第五十七中學 孟 偉

一、教學內容分析

（一）指導思想

高中數學課程標準中的必修課程包括五大主題：預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動。函數與實際生活息息相關，與其他學科內容聯系緊密，是貫穿于整個數學課程的一條主線，起著承上啟下的作用，是五大主題中非常重要的一部分，因此，對高中函數的教學研究具有重要意義（見圖1）。

圖1 高中數學課程內容結構

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》，數學建模活動與數學探究活動中提出：“數學建模活動是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學方法構建模型解決問題的過程。主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、構建模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。數學建模活動是基于數學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數學課程的重要內容。”

本節課從生活中的實際情境出發，通過討論影響西紅柿產量的主要因素，進一步確定研究對象，運用指數函數、對數函數、冪函數等函數的性質與圖象特點，建立數學模型，把握數學內容的本質，最終解決實際問題，解釋科學現象與社會規律。

（二）教材分析

高中階段函數主線圍繞以下幾個內容展開，理解一般的函數概念，學會研究函數的性質；掌握一批具體函數模型（函數類）；了解函數應用問題，學會運用函數解決這些問題；掌握研究函數的思想方法；通過函數學習和應用，提升數學核心素養。數學建模是高中數學的一條主線，數學探究是數學知識在數學內部的聯系和應用；數學建模是數學知識在數學外部的聯系和應用。

本章內容對應的是課程標準中必修 “主題二函數”的第二個單元 “冪函數、指數函數、對數函數”以及第四個單元“函數應用”的部分內容（函數模型）。本單元的學習，可以幫助學生學會用函數圖象和代數運算的方法研究這些函數的性質；理解這些函數中所蘊含的運算規律；運用這些函數建立模型，選擇合適的模型，解決簡單的實際問題，體會這些函數在解決實際問題中的作用。

本節課的探究對培養學生數學抽象、數據分析、數學建模等數學核心素養是非常重要的。本節內容之前學生先學習了函數的性質以及基本初等函數，本節課通過學生去北京市通州區某蔬菜大棚進行調研，讓學生體驗提出問題、分析問題、解決問題的過程，研究函數模型的應用。知識內容上，本質是模型參數原理的探究；思想方法上，是數學建模核心素養的進一步鞏固和深化。

對于實際生活中的問題，要培養學生用數學視角發現，用數學方法探究、并解決的能力。本節課的設計從實際的西紅柿相關問題出發，讓學生探索解決問題的途徑，學生可發散想法，從多個角度尋找數學關系，通過小組討論的形式，建立數學模型，解釋模型參數確定的方法，進一步進行模型選擇，預測，最終運用數學建模的結論和思想闡釋科學規律和社會現象。

二、學情分析

本節課選取現實的生活情境，學生已經學習了函數的定義，基本初等函數：指數函數、對數函數、冪函數，學生能否將現實生活中的情境問題抽象出數學問題，并解決問題是關鍵。本節課通過教師引導，學生將抽象的知識學習轉變為具有開放性的學習實踐，并體驗發現問題、大膽猜想、提出質疑、解決問題的過程，拓展學生的數學生活經驗，感悟數學與現實之間的關聯。本節課授課的學生為本年級實驗班，學生基本知識功底較強，但應用其解決實際生活中問題的能力還有待提升。

三、教學目標

（1）理解函數模型參數確定的方法；（2）初步掌握解決數學問題的數學思想：抽象、推理、模型；（3）學會解決具體數學問題的方法：取對數，進行運算的降級。

教學重點：選擇函數模型解決實際問題。

教學難點：理解函數模型參數確定的方法。

四、教學流程設計

教學流程設計參見圖2。

圖2

五、教學過程設計

（一）情境引入

西紅柿屬于常見蔬果，不僅美味，而且營養豐富，它的產量與什么有關系呢？我們對此產生了好奇，同學們利用周末時間對北京市通州區某蔬菜大棚進行了調研，對種植園主進行了訪談（見圖3）。

圖3 調研訪談

得到西紅柿產量的增加量y（kg）與使用某種肥料的質量x（kg）之間的對應數據如下（見表1）。

表1 西紅柿產量的增加量與使用肥料的質量之間的對應數據

【設計意圖】使學生發現生活中的數學問題

（二）問題解決

探究一：分析數據，畫散點圖

問題1：觀察數據，你怎么理解？數據有變化，可以看作變量嗎？它們有什么關系？

問題2：這是什么函數？誰是自變量，誰是函數？可以畫圖嗎？

學生：

1.第一行數據依次增加5，第二行數據增長的先快后慢，再降低，這里有兩個變量x，y，隨著自變量x的增加，函數y增長得先快，后慢，再降低。

2．散點圖（見圖4）

圖4 西紅柿散點圖

【設計意圖】學生實地考察后，發現問題，收集數據，觀察數據，找到變化，把兩組數據看作兩個變量，描述變量之間的關系。

探究二：模型建立，參數確定

問題3：觀察散點圖，根據你學過的函數的性質與圖象，你能否用函數關系表示上述關系，并說明選擇這個函數的原因。

學生：

（1）線性函數：一次函數y＝kx＋b，因為它是最簡單的函數。

（2）對數類型函數：因為通過散點圖觀察，y隨x增大的越來越慢。

（3）冪函數類型函數：y＝xα，當α＜1時，y隨x增大的越來越慢。

（4）多項式函數：使用計算機excel擬合數據，發現散點與函數圖象比較接近。

（5）不可能是指數函數，因為指數函數呈現爆炸式增長，與散點圖不相符。

問題4：請寫出你的函數關系式，并說明確定參數的方法。

學生：

（1）線性：設y＝kx＋b。（見圖5）

圖5

法一：代入多個兩組數據，求k，b的值，再求平均值。

法二：excel擬合數據。

發現計算機與代入法求平均值得到的k，b的值有差別，計算機是怎么求k，b值的？

學生：

計算機的方法

若使關于k的二次函數最小，

（2）對數類型：設y＝alnx＋b。（見圖6）

圖6

法一：代入多個兩組數據，求a，b的值，再求平均值。

法二：excel擬合數據。

發現計算機與代入法求平均值得到的a，b的值有差別，計算機是怎么求a，b值的？

對數型函數是非線性的，比較復雜，我們可以轉化為線性問題。

設X＝lnx

則y＝ax＋b，化為線性的一次函數。

（3）冪函數類型：設y＝axb。（見圖7）

圖7

法一：代入多個兩組數據，求a，b的值，再求平均值。

法二：excel擬合數據。

冪函數是非線性的，比較復雜，我們可以轉化為線性問題。

取對數lny＝ln(axb)＝lna＋lnxb＝lna＋blnx，

設Y＝lny，A＝lna，X＝lnx；

則Y＝A＋bX。

因為A＝lna，

所以a＝eA。

（4）多項式函數：設y＝ax3＋bx2＋cx＋d。（見圖8）

圖8

追問：我們可以選擇多項式函數嗎？

學生：一般不選擇，因為多項式函數會過度擬合數據。

【設計意圖】使學生根據已有的知識，回顧已學的函數的性質和圖象，分析哪個函數更適合數據的變化；并追尋函數模型參數確定的方法，掌握數學本質；體會解決生活中問題的數學思想，數學方法。

探究三：模型選擇

問題5：如何評價你們得出的函數關系模型哪個擬合數據更好，擬合系數一定越接近1越好嗎？

學生：

所以

R2越接近1越好，R2≤1。

【設計意圖】使學生學會考慮實際生活情境，選擇合適的模型，進行預測，注意不要過度擬合。

預測：

（三）課堂小結

【設計意圖】了解數學建模的基本流程；理解模型參數確定的方法；掌握解決問題的數學思想：抽象、推理、模型；學會解決具體數學問題的方法：取對數，進行運算的降級。

（四）作業設計

探究八大行星圍繞太陽運行有什么規律，神舟十六號載人飛船的運行滿足這樣的規律嗎？

（五）板書設計（見圖9）

學法指導：對于生活中的問題，可以抽象出數學問題，按照發現問題、收集數據、分析數據、畫散點圖、模型建立、參數確定、模型選擇、預測的流程進行數學建模。對于復雜問題，可以轉化為簡單問題解決，陌生問題轉化為熟悉問題解決；取對數是一個運算降級的非常好的方法，伽利略曾說：“給我時間、空間及對數，我就可以創造一個宇宙！”

六、教學設計特色說明及教學反思

（一）情境探究，模型建立

本節課從生活中的情境出發，以不斷追問的形式激發學生學習的熱情，體現學生的主體地位。讓學生體驗從生活中的情境中提出問題、數學建模、尋求確定模型參數的方法，進而解決問題的過程；掌握解決生活中問題的數學思想及數學方法；啟發學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學語言表達世界，鼓勵學生擁有一雙善于發現生活中數學的眼睛；讓學生掌握基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，激發學生探索新知、運用新知的欲望，不斷培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

（二）分析數據，模型選擇

通過散點圖中數據增長趨勢的分析，根據學過函數的性質與圖像，多個小組建立多個數學模型，最后進行模型優化，選擇最優的模型，提升了學生數學抽象、數據分析、數學建模等核心素養。

（三）整體設計，體驗過程

本課時設計從整體上讓學生把握數學建模的流程，掌握研究生活中數學問題的思想方法，學會用取對數來進行數據處理。探究模型參數原理的過程中，也在為大學中的最小二乘法做鋪墊，有利于對學生的長遠培養。

（四）作業應用，提升素養

在本節課實施的過程中，不僅注意了整體課程發展的需要，也及時在學生表達自己想法時，給予了每個細節上的評價與肯定，提高了學生學習數學的興趣，建立了生活與數學的聯系。神舟十六號剛剛飛向太空，作業中先探究八大行星圍繞太陽運行有什么規律，進而研究神舟十六號載人飛船的運行是否滿足這樣的規律，進一步讓學生感受生活中的數學。