在綜合與實(shí)踐中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——以 “探尋神奇的幻方”為例

江西省九江市同文中學(xué) 魏立珺

北京師范大學(xué) 阮珂怡

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育不僅僅是基礎(chǔ)知識與基本技能的積累，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生在教師組織的實(shí)踐活動中，學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界。在基于真實(shí)情境的學(xué)習(xí)中獲取知識、鍛煉思維、提升能力、體驗(yàn)成功，這和“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的教學(xué)目標(biāo) “培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)的知識與方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，積累學(xué)生的活動經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力”不謀而合。因此，“綜合與實(shí)踐”是數(shù)學(xué)教育教學(xué)中溝通知識學(xué)習(xí)和實(shí)踐應(yīng)用的橋梁，是實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)培育目標(biāo)的極佳載體。本文以北師大版第一冊 “綜合與實(shí)踐課”“探尋神奇的幻方”為例，就如何在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)分享一些收獲與體會。

一、合理選題，情境激趣，用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)問題

在明確 “綜合與實(shí)踐”主題內(nèi)容這一環(huán)節(jié)，教師不僅要根據(jù)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)背景選擇教學(xué)素材，保證教學(xué)內(nèi)容符合學(xué)生當(dāng)前的知識基礎(chǔ)與認(rèn)知水平，還要兼顧學(xué)生的興趣愛好，激發(fā)學(xué)生參與教學(xué)活動的積極性。在明確“綜合與實(shí)踐”主題內(nèi)容之后，教師在教學(xué)實(shí)踐中可以創(chuàng)設(shè)多種問題、故事、活動的實(shí)踐情境，找到教學(xué)內(nèi)容的切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入情境內(nèi)容，用數(shù)學(xué)眼光觀察問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生產(chǎn)生一種強(qiáng)烈的求知欲，給學(xué)生創(chuàng)造自主探索的空間，讓學(xué)生在探索中體會成功的喜悅和成就感，從而增強(qiáng)自信心，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科能力和素養(yǎng)。

“探尋神奇的幻方”是北師大版七年級上冊數(shù)學(xué)教材“綜合與實(shí)踐”部分的第一個課題。一方面，相較于傳統(tǒng)教學(xué)，綜合實(shí)踐活動對學(xué)生而言是新穎的，可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，而且學(xué)生對 “幻方”也有一定的了解；另一方面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了 “有理數(shù)及其運(yùn)算”與 “整式及其加減”，對于 “圖形的對稱性”也有初步認(rèn)識，具備了一定的數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗(yàn)。因此，筆者選定了 “幻方”這一實(shí)踐主題。

【教學(xué)片斷一】

師：同學(xué)們好！我們中華民族擁有上下五千多年的文明史，在這個歷史長河中，我們的祖先在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有許多神奇的發(fā)現(xiàn)。今天我們首先通過一個小視頻（介紹洛書），帶領(lǐng)大家穿越歷史，一起回到兩千多年前，探究數(shù)學(xué)的奧秘吧！

圖1

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察下，如果把這個洛書上的圖案分成九塊，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)這些圖案可以看成是數(shù)字。

師：嗯，這些圈圈點(diǎn)點(diǎn)可以看成我們熟悉的數(shù)字，分別對應(yīng)？

生：4 9 2，3 5 7，8 1 6。

師：好，那請同學(xué)們觀察這九個數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)哪些相等的數(shù)量關(guān)系？每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和分別是多少？

生：都是15。

師：好，那像這樣一個3行3列的正方形方格中，每一橫行、每一豎列和對角線上的數(shù)字和都相等，這樣的數(shù)字方陣稱為 “三階幻方”，其中這個數(shù)字和稱為 “幻和”……

師：我國對于 “幻方”的記載最早出現(xiàn)于公元前500年，而國外在公元130年，希臘人才第一次提起幻方，因此我國擁有幻方的發(fā)明權(quán)。古往今來，不少數(shù)學(xué)家對幻方進(jìn)行了深入研究，我們?yōu)樽嫦鹊某删透械阶院赖耐瑫r，更應(yīng)該繼承與發(fā)揚(yáng)先輩們追求真理、持續(xù)探索的科學(xué)精神。本節(jié)課我們也來研究幻方，并重點(diǎn)研究三階幻方。

在這部分教學(xué)中，筆者先以 “洛書”為引，向?qū)W生介紹了幻方的背景知識，激發(fā)學(xué)生對幻方的研究興趣，從而引入課題。接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察洛書，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)問題，引出 “三階幻方”的概念。在此基礎(chǔ)上，筆者還設(shè)置了4×4方格、5×5方格，引導(dǎo)學(xué)生計算與發(fā)現(xiàn)幻方的共性規(guī)律：“每一橫行、每一豎列和對角線上的數(shù)字和都相等”，進(jìn)而歸納總結(jié)出 “階幻方”的一般性定義。最后通過告訴同學(xué)們本節(jié)課重點(diǎn)——研究三階幻方，引入本節(jié)課的主要內(nèi)容，開啟三階幻方性質(zhì)和構(gòu)造方法的探究之旅。在教學(xué)過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與參與度較高，用幻方的文化背景作為課堂引入，不僅可以幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化，堅定民族自信，提高審美情趣，也可以激發(fā)學(xué)生的求知欲望與探究熱情，從被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向自主探究，在發(fā)現(xiàn)問題、探索規(guī)律的過程中欣賞數(shù)學(xué)之美。

二、設(shè)問質(zhì)疑，合作學(xué)習(xí)，用數(shù)學(xué)思維分析問題

數(shù)學(xué)是一門動態(tài)發(fā)展的科學(xué)，是一門以問題為驅(qū)動、不斷探索并發(fā)展的學(xué)科，“綜合與實(shí)踐”是從現(xiàn)實(shí)背景出發(fā)，以問題為載體、以學(xué)生為中心開展的活動課程，符合數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征。在綜合與實(shí)踐教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生圍繞核心問題的解決展開學(xué)習(xí)過程，通過自主參與、實(shí)踐探究、合作交流等方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，將數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科或日常生活實(shí)際建立起緊密聯(lián)系，鼓勵學(xué)生從情境中發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題，親歷思考、試誤、反思、調(diào)整的全過程，積累綜合運(yùn)用知識、技能、方法的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【教學(xué)片段二】

師：請同學(xué)們一起玩?zhèn)€填數(shù)游戲，請同學(xué)們六人為一小組合作：將1～9九個自然數(shù)填入下圖的九個方格里，使每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)的和都相等。請準(zhǔn)備好的小組派代表展示在黑板上。（教師進(jìn)入小組引導(dǎo)）。

生：小組展開熱烈討論，交流做法和想法。

對于該部分教學(xué)，筆者引導(dǎo)學(xué)生開展小組合作來填寫三階幻方，目的是以問題為驅(qū)動，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的初步實(shí)踐，推動實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)。基于問題解決的實(shí)踐經(jīng)歷是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中必不可少的活動，學(xué)生在探索開放性、挑戰(zhàn)性問題的過程中，對于真實(shí)情境中的背景知識進(jìn)行綜合分析、推理，將不同領(lǐng)域的知識之間建立聯(lián)系，產(chǎn)生富有創(chuàng)造性的想法。同時，學(xué)生在問題驅(qū)動的學(xué)習(xí)過程中，也能體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題的喜悅、迷茫和困惑，進(jìn)一步激發(fā)探究與交流的熱情。

【教學(xué)片段三】

教師集中展示已經(jīng)完成的成果，讓學(xué)生檢查驗(yàn)證，并將正確案例供大家參考研究。請學(xué)生從正確的案例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并進(jìn)行提煉和說明。

生1：發(fā)現(xiàn)“5”應(yīng)該填寫在最中間位置。

生2：角格上都是偶數(shù)，邊格上都是奇數(shù)。

生3：有 “成對的數(shù)”：4和6，9和1，2和8，7和3。

生4：可以將洛書那組數(shù)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到其他組數(shù)據(jù)。

師：基于以上的交流成果，或者你們小組的研討，你還能就以上的規(guī)律或結(jié)論給出怎樣合理的解釋？

生1：設(shè)三階幻方中的數(shù)字分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i，則（a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i）＋3e＝60，45＋3e＝60，解得e＝5。

生2：因?yàn)槠鏀?shù)奇數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)，如果 “5”不在中間位置將無法滿足題意。當(dāng)把“5”填入中間格時，如果4個角上填奇數(shù)，則其他4格填偶數(shù)，我們可以看到第一行、第三行、第一列、第三列的和都得偶數(shù)，而根據(jù)題目所求，3個數(shù)之和為15，15是奇數(shù)，所以與題意不符。如果4個角上填1對奇數(shù)1對偶數(shù)，則剩下的4個格中也應(yīng)該為1對奇數(shù)1對偶數(shù)，此時第一行、第三行的和都為偶數(shù)，同樣與題意不符。如果4個角上都填偶數(shù)，剩下的4個格填奇數(shù)則符合題意。

圖2

該部分教學(xué)，筆者先將學(xué)生的案例全部展示出來，要求學(xué)生從正確的案例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提取經(jīng)驗(yàn)，充分發(fā)揮學(xué)生在合作問題解決中的主體作用。學(xué)生小組之間相互闡述觀點(diǎn)，集思廣益，進(jìn)一步理解三階幻方的填寫方法，在動手操作中體驗(yàn)和發(fā)現(xiàn)三階幻方的對稱性特征，明晰數(shù)字5處于幻方最中間的原因。同時，筆者也鼓勵學(xué)生積極發(fā)表不同見解，肯定學(xué)生的正確想法，并鼓勵學(xué)生對于已經(jīng)獲得的結(jié)論進(jìn)行質(zhì)疑與驗(yàn)證，從不同角度思考并探尋新的解題策略。在輕松愉快的課堂氛圍中，學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)符號語言進(jìn)行交流與表達(dá)，體會 “從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，感悟數(shù)學(xué)探究的樂趣，增強(qiáng)應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識。在引導(dǎo)學(xué)生成功探索的基礎(chǔ)上，筆者深切體會到 “授之以漁”的重要性，正如錢偉長先生所言：“教師的教主要不是把知識教給學(xué)生，而是把處理知識的能力教給學(xué)生。”

三、反思提煉，拓展創(chuàng)新，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展有一個循序漸進(jìn)的過程，初中是基礎(chǔ)教育的重要階段，在學(xué)生發(fā)展中起著承上啟下的作用，初中教學(xué)對于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育具有重要意義。因此，教師在教學(xué)活動中應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，把握數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)思維，追求數(shù)學(xué)精神，注重真實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)，以問題解決為導(dǎo)向，為學(xué)生提供 “從做中學(xué)”的機(jī)會，要求學(xué)生打破思維定式，綜合運(yùn)用各種知識和技能進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生開展自主探究與合作來解決現(xiàn)實(shí)情境中的問題，為學(xué)生創(chuàng)造解決自主問題的空間，使學(xué)生成為知識建構(gòu)的主體，以落實(shí)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育目標(biāo)。

【教學(xué)片段四】

師：在下列方格中，從1～9中選擇合適的數(shù)填寫，使橫行、豎列及兩條對角線上三個數(shù)的和都相等。

生：答案不唯一，可以沿著對角線對稱。

師：如果我再給你一個數(shù)呢？已知這樣的三個數(shù)呢？寫出來的是唯一的幻方嗎？

生：唯一的。從上往下，從左往右分別填：7、9、1、4、3、8。

師：小結(jié)，整理所獲。

圖3

圖4

教師提示：（1）知道了什么是幻方；（2）弄清了三階幻方的本質(zhì)；（3）學(xué)會了構(gòu)造三階幻方。

生：經(jīng)過小組討論，很快形成思路，即第一步確定“中心數(shù)”，第二步配對，第三步分析奇偶性。教師追問“中心數(shù)”如何確定，學(xué)生加以補(bǔ)充，最終形成五步法：①計算九數(shù)之和；②計算幻和（÷3）；③確定 “中心數(shù)”（÷3÷3）；④配對；⑤定奇偶。

師：最少需要已知幾個數(shù)字，使得我們可以確定幻方中的其他數(shù)字呢？

師：以小組為單位，撰寫關(guān)于 “幻方”的研究報告。

成果要求：①嘗試解決問題；②需要利用代數(shù)式、方程等知識；③以小組為單位分工合作，手寫或用軟件等撰寫研究報告；④對于小組提出的個性化研究問題，可以在報告中闡述研究思路、研究過程與研究結(jié)論（選做作業(yè)）。

此部分教學(xué)，首先，通過運(yùn)用所學(xué)知識解決填數(shù)習(xí)題，檢驗(yàn)學(xué)生的研究成果、鞏固學(xué)生的研究方法，讓學(xué)生對構(gòu)造唯一的三階幻方所需條件有了初步的思考，也給學(xué)生創(chuàng)設(shè)遇到困難返回案例進(jìn)行規(guī)律再研究的機(jī)會。其次，讓學(xué)生思考本節(jié)課所獲，就是要學(xué)生摒棄小學(xué)時對幻方的機(jī)械記憶，在了解幻方實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上，形成自己對三階幻方性質(zhì)的認(rèn)識及構(gòu)造三階幻方的方法，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)創(chuàng)新能力。最后，撰寫關(guān)于 “幻方”的研究性報告，使得學(xué)生課后要對 “幻方”進(jìn)行更深入的研究，這一任務(wù)對學(xué)生 “用字母表示數(shù)”的應(yīng)用能力也有著更高要求，在撰寫中同學(xué)們會遇到各種困難和不理解，這就要求教師教授綜合與實(shí)踐課程時，除了安排好課前和課上的內(nèi)容，更不能忽視課后對學(xué)生的引導(dǎo)和幫助。這節(jié)課到此落下帷幕，但課后我們的探索還在繼續(xù)。荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾認(rèn)為，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣，不經(jīng)過親身體驗(yàn)，僅僅從書中靠聽講或觀察他人的演示是學(xué)不到的”。在真實(shí)情境中開展綜合與實(shí)踐活動已成為今后數(shù)學(xué)教學(xué)的趨勢，其意義不僅在于有效激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還在于讓學(xué)生在自主探究過程中加深對數(shù)學(xué)知識的理解，摒棄機(jī)械記憶與思維定式，學(xué)會知識的遷移與綜合運(yùn)用，進(jìn)而提升問題解決能力。因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活，嘗試用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)并提出問題，用數(shù)學(xué)方法思考并解決問題，讓數(shù)學(xué)教學(xué)過程脫離抽象符號與理論的桎梏，引導(dǎo)學(xué)生從 “做”中學(xué)，在親身實(shí)踐中體會數(shù)學(xué)知識的價值與數(shù)學(xué)文化的魅力，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，在現(xiàn)實(shí)問題解決過程中感悟數(shù)學(xué)之美。

發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的方式有很多，以上是筆者在教學(xué)實(shí)踐中的幾點(diǎn)收獲與體會。隨著教育理念的不斷更新，數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)歷了從 “雙基”到 “四基”，到現(xiàn)在的核心素養(yǎng)，而不管理念如何變化，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，教會學(xué)生思考，這是永遠(yuǎn)不會變的，抓住這一核心，并不斷提高教師自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，吃透教材，充分收集并利用各種教材資源，將自己的核心素養(yǎng)理念貫穿于教學(xué)策略中，相信在這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)一定會得到發(fā)展與提高。