方格紙中發現勾股定理

趙維坤 整理

據《周髀算經》記載，公元前11 世紀，我們的祖輩就在生產實踐中發現了“勾三股四弦五”的結論，這種結論用數學語言可以表述為：如果取勾的長度為3 個單位，股的長度為4 個單位，連結勾股兩端的這條“弦”的長度恰好為5 個單位，那么勾、股兩條邊一定相互垂直。這就是我們常說的“商高定理”（其實是勾股定理的逆定理）。

古人利用這個結論制造出了標準的測量工具——“矩”。有了“矩”，我們就能進行準確的測量。

今天，我們利用方格紙來重新發現勾股定理。

我們記下列圖形中每個小方格的邊長都為1。

首先，我們在方格紙中畫出2 條直角邊長分別為1、2 的直角三角形（如圖1）。通過計算圖中3 個正方形的面積，我們能發現，直角三角形（陰影部分）的兩直角邊a、b和斜邊c之間的關系：c2=2ab+1及a2+b2=c2。

繼續畫直角三角形（圖2—圖4），這兩個結論還成立嗎？

圖3

圖4

圖5

要說明這兩個結論正確與否，我們還要進行一般化證明。

把上圖中的小方格背景撤去，并且隱去a、b的具體數值，在一般的直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，a2+b2=c2是否同樣成立？（可以利用剛才計算斜邊上正方形面積的方法證明這一命題的正確性。）