不怕錯(cuò) 要有措
——“等可能條件下的概率”常見錯(cuò)誤剖析及應(yīng)對(duì)措施

文／陳俊

同學(xué)們只有對(duì)“等可能條件下的概率”的概念理解透徹，才能正確解決與之有關(guān)的實(shí)際問題。現(xiàn)舉例剖析，希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、理清事件發(fā)生的隨機(jī)性

例1判斷：在做拋擲一枚硬幣試驗(yàn)時(shí)，小麗連續(xù)拋了20 次，發(fā)現(xiàn)硬幣落地后共有7 次正面（國徽）朝上。小麗說：“我可以確定硬幣落地后正面朝上的概率是。”

【錯(cuò)解】正確。

【剖析】“連續(xù)拋了20 次，發(fā)現(xiàn)硬幣落地后共有7 次正面（國徽）朝上。”這只能說明本次試驗(yàn)正面朝上的頻率為。只有當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，頻率值才趨近于概率值。正面朝上和反面朝上是等可能出現(xiàn)的。大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，正反面朝上的概率各占。故小麗的說法錯(cuò)誤。

例2如果某種獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為，那么買1000 張獎(jiǎng)券一定能中獎(jiǎng)嗎？

【錯(cuò)解】因?yàn)楠?jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為，那么買1000 張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為，所以買1000 張獎(jiǎng)券必有一張中獎(jiǎng)。

【剖析】因?yàn)橘I1000 張獎(jiǎng)券相當(dāng)于做1000 次試驗(yàn)，而每次試驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，即每張獎(jiǎng)券可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)。由概率的意義可知，只有當(dāng)買的獎(jiǎng)券足夠多時(shí)，中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券數(shù)與買的獎(jiǎng)券的總張數(shù)之比才在左右擺動(dòng)。因此，1000 張獎(jiǎng)券中可能沒有一張中獎(jiǎng)，也可能有一張、兩張甚至多張中獎(jiǎng)。故買1000張獎(jiǎng)券不一定能中獎(jiǎng)。

二、弄清事件發(fā)生的等可能性

例3小明、小強(qiáng)和小文三人做游戲：拋兩枚硬幣，若出現(xiàn)的結(jié)果都是正面朝上，則小明贏；出現(xiàn)的結(jié)果都是反面朝上，則小強(qiáng)贏；出現(xiàn)一正一反朝上，則小文贏。這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？為什么？

【錯(cuò)解】公平。因?yàn)榻Y(jié)果要么都是正面朝上，要么都是反面朝上，要么就是一正一反朝上，所以三人贏的概率均為。

【剖析】拋擲兩枚硬幣，朝上的面共有4 種等可能的結(jié)果。其中，一正一反朝上的概率要比兩正朝上和兩反朝上的概率大。畫樹狀圖便可一目了然，如下圖：

由樹狀圖可知，P（兩正）=P（兩反）=；P（一正一反）=。所以小文贏的概率較大，此游戲不公平。

三、看清題目中條件的重要性

例4在一個(gè)不透明的口袋里有四個(gè)完全相同的小球，把它們分別貼上標(biāo)號(hào)1、2、3、4。小明隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下標(biāo)號(hào)，然后不放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下標(biāo)號(hào)。兩次摸出的球的標(biāo)號(hào)之和小于5的概率是多少？

【錯(cuò)解】用枚舉法分析，共有16 種等可能的結(jié)果，分別為（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）。其中標(biāo)號(hào)之和小于5的共有6種，概率為。

【剖析】本題要看清“不放回”這個(gè)關(guān)鍵詞，意味著兩次摸出的球不可能是同一個(gè)。用列表法分析如下：

由表格可知，共有12 種等可能的結(jié)果，其中標(biāo)號(hào)之和小于5 的結(jié)果共有4種，概率為

在解決概率問題時(shí)，我們?nèi)粢苊飧黝惓Ｒ婂e(cuò)誤的出現(xiàn)，就需要保持清晰的思考和正確的邏輯推理過程。只有認(rèn)真審題，理清思路，才能得出準(zhǔn)確、可靠的結(jié)論。