真正理解 遠離錯誤

文／韓志琴

了解數據的集中趨勢和離散程度，可以更加有效地運用數據解決問題。數據的集中趨勢可用平均數、中位數、眾數來刻畫，離散程度常用極差、方差來表達。如果對各統計量的實際意義不明晰或算理不清晰，便會在答題過程中出錯。

一、理解統計量的算理

例1若一組數據x1，x2，…，x10的平均數為2，方差是3，那么另一組數據2x1-1，2x2-1，…，2x10-1 的平均數和方差分別為（ ）。

【解析】本題將一組數據的每個數據都擴大2 倍并減1，得到一組新數據，求新數據的平均數和方差。由平均數計算公式：，通過加法交換律、結合律以及分配律，可得如下結論：一組數據的每一個數據都加（減）同一個數，或都擴大（縮小）相同倍數，則平均數隨之加（減）相同的數，擴大（縮小）相同倍數。同理，由方差計算公式：s2=結合前述結論和運算定律，可以得到結論：一組數據同時加（減）同一個數，方差不變；同時擴大（縮小）相同倍數，方差隨之擴大（縮小）相同倍數的平方。這可以簡潔地表達為：設一組數據x1，x2，…，xn的平均數為，方差是s2，那么數據ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數和方差分別為。弄清算理，不難得到正確答案為選項C。對上述算理不清楚，是選擇其他錯誤選項的根本原因。

二、提高讀圖能力

例2小明的爸爸準備購買一輛新能源汽車，在爸爸的預算范圍內，小明收集了A、B、C 三款汽車在2022 年9 月至2023 年3 月期間的國內銷售量和網友對車輛的外觀造型、舒適程度、操控性能、售后服務等四項的評分數據，統計如下：

（1）數據分析：

①求B 款新能源汽車在2022 年9 月至2023 年3 月期間的月銷售量的中位數；

②若將車輛的外觀造型、舒適程度、操控性能、售后服務等四項評分數據按照比例2∶3∶3∶2 統計，求A 款新能源汽車四項評分數據的平均數。

（2）合理建議：

請按你認為的各項“重要程度”設計四項評分數據的比例，并結合銷售量給小明的爸爸提出建議，說說你的理由。

【解析】本題首先考查閱讀統計圖的能力，其次考查中位數和加權平均數在實際生活中的運用。

第（1）問中，折線統計圖表示的是三種車型在2022年9月至2023年3月期間月銷售量情況，由圖可知B 型車銷售量依次為3457、4667、5188、8840、1725、2254、8153，按從小到大排序，可知銷售量的中位數是4667。根據條形統計圖可知網友對三種車型在外觀造型、舒適程度、操控性能、售后服務4 個方面的評分數據，A 型車對應的數據分別為72、70、67、64，按2∶3∶3∶2的比例可得-x=（72×2+70×3+67×3+64×2）÷（2+3+3+2）=68.3（分）。

第（2）問以開放的形式體現加權平均數在實際生活中的運用，購買者對所購買車型在四項中的期望值給出比例，比如1∶2∶1∶2，計算出A、B、C三種車型評分的加權平均數分別為67.8分、69.7分、65.7分，結合折線統計圖，可知B款車整體銷售情況良好，且后期有上升趨勢，可選B款。

讀不懂統計圖，是不能正確解決問題的首要原因。此外，確定一組數據的中位數之前沒有排序，對“權”的意義理解不透徹也會導致出錯。數據來源于生活，理解統計量的意義，理解算理，提高讀圖能力既是解決問題的需要，也是適應時代發展的需要。