低軌衛星導航SNAP 信號間歇跟蹤算法及性能分析

劉吉洋，唐小妹，袁木子，王飛雪

( 國防科技大學電子科學學院, 長沙 410073 )

0 引言

GNSS 能夠為用戶提供精確的位置、速度、時間等信息服務，已被廣泛應用[1]. 然而室內和偏遠地區信號仍存在強度弱、易受干擾和定位精度有限等問題.低地球軌道(low earth orbit, LEO)衛星由于距離地面較近，在提升信號強度、精度上表現良好，基于低軌星座的導航增強技術已成為研究重點[2]. 近年來，國家綜合導航定位授時已將低軌星座納入建設體系，旨在全面增強我國北斗衛星導航系統(BeiDou Navigation Satellite System, BDS)的精度、可用性、連續性等[3].

LEO 衛星系統過境速度快且衛星信號載波頻率高，在進行信號認證時，需要面對高多普勒頻移和高多普勒頻移變化率的動態場景，同時也需要考慮用戶在多個衛星間頻繁切換和認證安全性保證的問題. 因此，如何實現高動態場景下的信號快速安全認證是LEO 衛星系統能否大規模部署的關鍵問題[4].

基于密碼學的GNSS 信號認證是解決上述問題的有效途徑，其基本理論是設計和檢測一系列不可預測的符號，并將不可偽造的信息附加到可認證信號的一個或多個元素上[5-7]. 其中，文獻[8]提到的擴頻碼和導航電文(spreading code and navigation data based authentication proposal，SNAP)認證方案是一種基于衛星通信和導航電文的安全認證和授權方案. 在該認證方案中，采用擴頻碼加密技術可以保證信號認證的安全性和高動態性能，同時利用碼位移鍵控(code shift keying, CSK)調制的靈活性實現多星快速認證.然而，該認證方案的時分復用結構要求接收機進行間歇跟蹤，會造成一定的性能損失[9].

本文聚焦LEO 衛星通導一體化信號認證背景，選擇SNAP 時分復用認證結構為分析對象，在低軌信號功率和多普勒動態條件下對其間歇跟蹤環路進行性能分析與評估，旨在得到性能損失的解析表達式，并為接收機系統參數設計提供理論參考.

1 低軌SNAP 信號模型

LEO 衛星系統以高速通過地面，運動速度快. 由于相對運動而產生的多普勒頻移和變化率比中高軌衛星更大，在信號認證方面提出了更高的要求. 本節首先介紹了低軌高動態場景下的多普勒分析與仿真，接著討論了SNAP 認證方案下的信號模型.

1.1 動態場景

為評估低軌衛星動態多普勒的影響，進行了基于MATLAB 平臺的仿真實驗，設置不同高度的低軌衛星92 顆、中圓地球軌道(medium earth orbit, MEO)衛星11 顆，假設接收機固定在地面，衛星繞地球勻速圓周運動. 表1 示出了仿真場景參數，圖1 展示了中低軌衛星多普勒頻移與過境時間關系.

圖1 中低軌衛星多普勒頻移對比

表1 仿真參數

由圖1 可知，與MEO 衛星的數小時過境時間相比，LEO 衛星過境時間均在20 min 以內，導致的多普勒頻移增大了300%~500%. LEO 衛星不僅會引起較高的多普勒頻移，還會導致高多普勒頻移變化率. 選取衛星高度為h=1×103km 的LEO 衛星和高度為H=2×104km 的MEO 衛星進行多普勒頻移變化率的對比分析，具體結果如圖2 所示.

圖2 中低軌衛星多普勒頻移變化率對比圖

從圖2 中可以看出，隨著LEO 衛星相對接收機速度逐漸增加，其最高多普勒頻移變化率可達145 Hz/s.由于MEO 衛星運行速度較低，基本未造成較大多普勒頻移變化率. 因此，傳統方案無法適應LEO 衛星的高動態性能需求，需要設計更為靈活且響應速度更快的認證方案，本文選擇SNAP 認證方案并對其進行性能分析.

1.2 SNAP 信號模型

如圖3 所示，為實現導航電文與擴頻碼的高速聯合認證，SNAP 認證方案使用 CSK 調制方式攜帶認證信息，并在傳統二進制相移鍵控(binary phase shift keying, BPSK)信號電文中傳輸CSK 解調所必需的序列種子[9]. 在信號結構上，上述CSK 調制部分與BPSK 調制部分采用時分復用的方式插入. 在BPSK周期，導航電文與擴頻碼相乘后采用BPSK 調制到載波上進行發送. CSK周期對擴頻碼進行CSK 移位后再通過BPSK 調制到載波上進行發送.

圖3 時分復用示意圖

因此，輸入跟蹤環路中的數字中頻信號為：

式中：r(t1) 為t1時刻接收到的BPSK 周期信號；r(t2)為t2時刻接收到的CSK 周期信號；C為信號總功率；d(t1)為導航電文符號；c(t1)為周期擴頻碼；c(t2)為經CSK 調制后的擴頻碼；fi為接收信號頻率，單位為Hz；θi為信號的載波相位；nw(t1) 和nw(t2)為加性高斯白噪聲；功率譜密度為N0.

接收機收可根據插入在擴頻碼中的CSK 認證信息進行雙重認證，其中第一步認證可快速判斷接收到的來自不同衛星信號的一致性，第二步認證可根據BPSK 電文中的解碼種子進行穩健的后驗驗證，從而有效提升認證效率和安全性，滿足低軌衛星認證需求.

2 信號環路跟蹤算法

導航接收機對不同衛星信號進行跟蹤處理的目的是為了獲得各顆衛星的觀測信息，本節首先介紹針對SNAP 認證方案跟蹤要求，然后介紹本文間歇跟蹤過程.

2.1 間歇跟蹤

通過1.2 節對SNAP 認證的特性分析可知，SNAP認證結構對CSK 周期的擴頻碼進行了CSK 調制，c(t1)和c(t2)的擴頻碼相位不再具有連續性，c(t2)的相位不再具有跟蹤的意義.

為實現對此類“非連續”信號的跟蹤，需采用間歇跟蹤結構，即載波環和碼環只對r(t1)進行跟蹤，并輸出載波相位和碼相位估計值，下一個BPSK 周期開始時沿用的上一個BPSK 周期結束時的相位估計值進行信號的解調. 由于CSK 周期不更新環路會形成跟蹤誤差的累積，因此間歇跟蹤下會造成一定的環路性能損失.

2.2 跟蹤環路結構

本文選取跟蹤環路結構如圖4 所示，由載波環和碼環共同組成，與傳統跟蹤環路的區別為該載波環路間歇性地更新環路狀態，鑒相器僅在BPSK 周期內更新載波環相位誤差和碼環相位誤差，首先介紹本文跟蹤鑒相原理[10].

圖4 跟蹤環路結構圖

2.2.1 載波環

在BPSK 正常更新周期內，載波環復制信號為：

式中，f0和 θ0分別為復制信號和載波頻率. 輸入信號首先經I、Q解調，進行下變頻和低通濾波后得到：

式中，fe和 θe分別為輸入信號與復制信號的載波頻率差異和初相位差異，即fe=fi-f0，θe=θi-θ0. 上面的結果是對噪聲功率譜密度N0的歸一化結果，在經歷相干積分時間Tcoh后，此時噪聲分量nI、nQ~N(0,1/Tcoh).

同相信號和正交信號包含相位差異，即

由上式得到BPSK 結束時的載波環相位誤差 ?e.每隔一個環路更新周期，由高階環路濾波器輸出的頻率差異和相位差異等參量將用來調節載波環數控振蕩器的輸出頻率，以此來對齊相位，實現載波環的跟蹤.

2.2.2 碼環

在接收信號進行載波分離后，I、Q支路上的混頻結果再分別與超前、即時、滯后復制擴頻碼進行相關運算，這里以即時碼為例，相關結果可以表示為[11]：

式中： τP為即時復制碼與接收碼之間的相位差異；R(·)表示最大值為1 的碼自相關函數；?e為上文所定義的載波相位差異. 在經歷了Tcoh的相干積分時間后，此時噪聲分量nI、nQ~N(0,1/Tcoh). 經第k個更新周期后，滯后、即時和超前自相關幅值分別為[12]：

選用鑒相器為

式中， τE和 τL分別為滯后和超前復制碼與接收碼之間的相位差異，由此得到BPSK 周期結束時碼相位差異 δe. 此時噪聲分量nE、nP和nL~N(0,1/Tcoh). 每隔一個環路更新周期，由高階環路濾波器輸出的碼相位差異等參量將用來調節碼環數控振蕩器的輸出頻率，以此來對齊相位，實現碼環的跟蹤.

3 環路性能分析與比較

導航信號的跟蹤難免存在誤差，跟蹤性能的好壞體現為跟蹤誤差的大小，本節全面分析了載波環和碼環在BPSK 和CSK 周期跟蹤誤差，然后進行了仿真驗證.

3.1 載波環BPSK 跟蹤誤差

載波環的相位測量誤差源包括相位抖動和動態應力誤差，其中相位抖動誤差主要有熱噪聲均方差，機械顫動和艾爾蘭均方差組成，動態應力誤差主要由衛星與接收機的相對運動造成.

3.1.1 相位抖動誤差

本文理論推導過程中將相位抖動誤差近似為熱噪聲均方差，其估算公式為[13]

式中：σi單位為弧度(rad)；Tcoh為相干積分時間；BPLL為載波環噪聲帶寬. 式(14)表明，減小BPLL有利于降低熱噪聲均方差 σi，但會影響到環路的動態性能.

3.1.2 動態應力誤差

對于動態應力誤差 τe，N階鎖相環穩態跟蹤誤差計算公式為[13]

式中：τe的單位為rad；λ為載波波長；R為衛星與接收機之間的連線距離. 上式表明，特征頻率 ωn越大，誤差越小.

綜上，載波環在BPSK 周期結束時相位測量總誤差服從如下參數的高斯分布

3.2 載波環CSK 誤差累積

間歇跟蹤結構下，載波環BPSK 周期正常更新，存在頻率誤差和相位誤差；CSK 周期不更新環路，采用BPSK 周期結束時的頻率估計值，因此在CSK 周期內跟蹤相位誤差的累積將由頻率誤差對時間積分得到. 與相位誤差類似，頻率抖動誤差也由熱噪聲誤差和動態應力誤差組成，可分別表示為：

因此，BPSK 周期結束時的頻率誤差為服從如下參數的高斯分布

由于衛星與接收機之間存在相對運動，多普勒頻移處于時刻變化之中，假設多普勒頻移變化率為α，在較短的相干積分時間內本文將多普勒頻移變化率近似為常量. 因此，在CSK 周期內，由多普勒頻移造成的頻率誤差可由下式確定：

由式(20)可得在CSK 周期結束時，由于環路不更新導致的相位誤差累積為

綜上，CSK 周期結束時相位誤差累積服從參數的高斯分布

由式(22)可知，載波環間歇跟蹤相位誤差累積服從高斯分布，其均值由多普勒頻移變化率和相干積分時間確定；在相干積分時間和噪聲帶寬確定的情況下，相位誤差均值與多普勒頻移成正比，均方差累積可等價為載噪比(carrie noise ratio, CNR)的損失.

3.3 碼環BPSK 跟蹤誤差

在不考慮多路徑和其他干擾的情況下，碼環的測量誤差源主要包括由熱噪所導致的碼相位抖動和動態應力誤差兩部分.

3.3.1 相位抖動誤差

對于非相干前減后功率法，以碼片為單位的相位抖動誤差 σt的值可用式(23)估算[14]：

3.3.2 動態應力誤差

碼環所受到的動態應力誤差由式(24)給出[14]：

式中：Re單位為碼片(chips)；c為電磁波在真空中的傳播速度；fc為碼頻率.

綜上，連續碼環相位測量總誤差服從高斯分布

3.4 碼環CSK 誤差累積

由于偽碼調制在載波上，其頻率誤差隨載波頻率誤差變化，因此在BPSK 周期結束時的碼頻率誤差為服從如下參數的高斯分布：

式中，fL載波頻率，在較短的相干積分時間內將多普勒頻移變化率近似為常量. 因此，在CSK 周期內，由多普勒頻移造成的碼頻率誤差可由式(27)確定：

由此可得CSK 周期結束時，由于環路不更新導致的碼相位誤差累積為

綜上，CSK 周期結束時碼環間歇跟蹤相位誤差服從如下參數的高斯分布：

由式(29)可知，碼環間歇跟蹤相位誤差累積與載波環分布類似，在相干時間和噪聲帶寬確定的情況下，其均值與多普勒頻移變化率成正比，均方差累積可等價為CNR 的損失，但還受碼頻率和載波頻率影響，由于碼頻率一般遠小于載波頻率，因此碼環受多普勒影響較小.

3.5 仿真驗證

為驗證SNAP 信號間歇跟蹤性能分析的正確性，本小節進行了蒙特卡洛仿真驗證. 選用圖2 中LEO衛星場景，表2 給出了仿真信號參數設置. 仿真中通過改變多普勒頻移變化率，探究性能損失和多普勒頻移變化率的關系，圖5 展示了載波環性能損失.

圖5 載波環性能損失

表2 仿真參數

由圖5 可知，仿真與理論結果基本吻合. 誤差均值累積與多普勒頻移變化率α 成正比，在α 大于20 Hz/s后進入線性增加狀態，其斜率與相干時間以及環路參數相關. 誤差均方差累積可等價為由于多普勒頻移導致的信噪比的損失，同時還與噪聲帶寬和相干時間相關. 進一步了驗證碼環理論分析正確性，圖6 展示了碼環性能損失.

圖6 碼環性能損失

從圖中可以看出，理論與仿真結果基本吻合，由于碼頻率遠小于載波頻率，因此碼環性能損失受多普勒頻移變化影響較小. 綜上，由于LEO 衛星相對移動導致的最大多普勒頻移變化率約為145 Hz/s，此時載波環相位誤差增加約0.07 rad，碼環誤差增加約0.005 chips，均滿足動態跟蹤要求.

4 結束語

本文針對低軌衛星動態多普勒場景下的快速認證需求，首先定量分析了低軌衛星多普勒頻移及多普勒頻移變化率α，然后對SANP 認證方案的間歇跟蹤結構進行了性能分析，并推導出間歇跟蹤下的誤差累積解析表達式. 結果表明：跟蹤誤差均值與α 成正比，增加噪聲帶寬有助于提升跟蹤環路的動態性能，但會帶來更多的熱噪聲誤差，碼環受多普勒變化影響較小. 數值結果證明了理論分析的正確性. 本文的分析結果為接收機系統參數的設計提供了重要理論參考.