論海底大地控制點GNSS/A 定位聯合平差方法的原理和應用(特邀文章)

王振杰，孫振，趙爽，聶志喜，張世美

( 中國石油大學(華東)海洋與空間信息學院, 山東 青島 266580 )

0 引言

海底大地控制網是海洋導航定位技術的基礎設施[1].目前，主要以GNSS 聲學(GNSS/Acoustic，GNSS/A)定位技術為主，根據非差/差分定位模型實現海底大地控制點的精確標定.由于復雜海洋環境的影響和水下測距技術的限制，海底大地控制點的精確標定需要發展更加完備且高精度的GNSS/A 定位數據處理方法[1].國際大地測量協會(International Association of Geodesy，IAG)于2019 年設立了海洋大地測量工作組，目的是推動海洋空間基準與水下定位技術的發展[2-3].

為了提高海底大地控制點應答器的定位精度，研究學者先后提出了航跡規劃、差分定位和附加深度約束等技術手段.航跡規劃通過增加觀測值的冗余性和幾何對稱性，提高海底應答器平面坐標的定位精度，但高程方向的定位精度還有待提高[4-5].歷元間差分能夠削弱觀測值的共模誤差，比如硬件延遲誤差和由海洋長周期誤差引起的聲速代表性誤差等，提高了海底應答器的定位精度，但無法消除由海洋短周期誤差引起的聲速代表性誤差[6-7].基于壓力傳感器提供的深度值，提出了深度差約束的水下定位方法，提高了海底應答器垂直方向的定位精度[8-11].但是，這些方法均是將海面換能器的位置作為沒有誤差的已知值，結合聲學測距來計算海底應答器的位置[12].海面換能器位置不可避免的存在定位誤差，由GNSS 定位提供的海面換能器位置在各個歷元具有不同的定位精度[13].因此，應精確評定由GNSS 定位提供的海面換能器位置精度信息，采用更為合理的數據處理模型來減弱聲學換能器位置誤差對海底大地控制點定位的影響.

1 傳統GNSS/A 定位平差方法

如圖1 所示，GNSS/A 定位技術通常借助海面平臺(如測量船)實施水下聲吶測距來反演海底大地控制點的位置.測量船上裝載了GNSS 接收機、姿態測量儀和聲學換能器等設備.通常采用GNSS 定位技術，如實時動態(real time kinematic，RTK)技術或者精密單點定位(precise point positioning，PPP)技術來獲取GNSS 天線位置，然后根據精密工程測量方法和船載姿態儀數據，將GNSS 天線位置歸算到換能器信標中心位置[14].聲學換能器向海底應答器發送聲學信號并記錄海底應答器的回波信息，可得到聲學換能器至海底應答器的傳播時間，根據聲速和傳播時間計算可得到聲學換能器至海底應答器的聲學距離.

圖1 GNSS/A 聲學定位系統示意圖

式中：i=1,2,···,n為觀測歷元；ρi=cti為海底應答器到換能器的觀測距離，c為聲速，ti為聲信號單向傳播時間；f(,Xr)為聲學換能器至海底應答器的幾何距離；為聲學換能器的坐標；Xr=[xr,yr,zr]T是海底應答器的坐標；εi為觀測誤差.

忽略海面換能器的位置誤差，將式(1)進行線性化，線性化觀測方程的向量表達式為

式中：A為設計矩陣；dXr=[dxr,dyr,dzr]T

根據最小二乘原理，由式(2)可得海底應答器的坐標為

式中，P1聲學觀測值的權陣.

傳統GNSS/A 定位方法是將海面換能器的位置當作沒有誤差的已知值，結合聲學測距來計算海底應答器的位置.然而，海面換能器GNSS 定位在各個歷元具有不同的精度，在平差過程中，海面換能器的位置誤差會傳遞給海底待估參數，降低海底大地控制點的定位精度.為了分析海面位置誤差對海底應答器定位精度的影響，將海面換能器和海底應答器的位置參數均作為待估參數，我們提出了GNSS/A 定位聯合平差(joint adjustment,JA)方法[13]，并采用模擬數據和淺水區實測數據進行了驗證，但是該方法存在優越性證明方面的不足和無深海數據驗證的問題.本文進一步闡述聯合平差方法的原理，給出了聯合平差方法嚴密的優越性證明和精度評定公式，并采用松花湖淺水數據和南海深水數據進行驗證.

2 顧及海面換能器位置誤差的GNSS/A聯合平差方法

2.1 GNSS/A 聯合平差的函數模型

將海面換能器位置和海底應答器位置均作為未知參數，將式(1)線性化可得

假設測量船圍繞海底應答器做走航運動，共采集了n個歷元的觀測數據，則線性化觀測方程的向量表達式為

L AdXrεdXs=[dxs,dys,dzs]T

式中： 、、、含義同上；為海面換能器的坐標改正數.

將海面換能器位置作為虛擬觀測，則虛擬觀測方程為

式中：Lxs為虛擬觀測值；E3n為3n×3n的塊對角矩陣，E3n=blkdiag(E,E,···,E)；E為3×3的單位陣；εxs為3n×1的虛擬觀測誤差.根據式(6)和式(8)，可建立GNSS/A 聯合平差的函數模型

2.2 GNSS/A 聯合平差的參數估計方法

根據最小二乘原理，由式(9)可得GNSS/A 聯合平差的法方程為

式中：P1含義同上；Pxs為虛擬觀測值的權陣，由換能器GNSS 定位的方差-協方差信息確定.

若根據式(10)直接進行求解，會面臨法矩陣計算量大的問題.假設海面調查船共采集了800 個歷元的觀測值，法矩陣維數為2403×2403，且法矩陣的維數隨著觀測歷元數而增加，將會占用很大的儲存空間和計算資源.相對于海面換能器的位置，我們更關注海底應答器的位置.為此，可將法方程進行等價轉換，消除海面換能器的位置參數[15].將式(10)第一式左乘以M=-ATP1B(BTP1B+Pxs)-1再與式(10)第二式相加，化簡可得

根據式(11)，可得到海底應答器的坐標改正數為

由式(12)可以發現，通過對法方程進行等價轉換，消除了海面換能器的位置參數，直接得到海底應答器的位置參數，解決了由于待估參數過多引起的計算量大的問題.

2.3 聯合平差優越性的證明

根據協方差傳播律[16]，結合式(4)，傳統GNSS/A定位方法計算得到的海底應答器的協方差陣DLS為

式中：S為觀測值向量；εl為誤差向量；的塊對角矩陣；P=blkdiagP1,Pxs.根據最小二乘原理，由式(14)可得GNSS/A 聯合平差的法方程為

式中：M11=GTPG；M12=GTPH；M21=HTPG；M22=HTPH；W1=GTPS；W2=HTPS.對式(15)做等價變換[15]，得：

式中： 0是零矩陣；E4n是4n×4n的單位陣；E3是3×3的單位陣.式(17)的第二式可表達為

令

則：

E4n-J是冪等矩陣， (E4n-J)TP是對稱矩陣.

根據式(23)~(25)，式(22)可改寫為

令

根據式(26)可得海底應答器的坐標改正數為

則海底應答器的坐標為

根據式(28)，聯合式(4)可得

由式(30)可以看出，由聯合平差計算得到的海底大地控制點坐標的方差-協方差矩陣的跡小于傳統的GNSS/A 方法.這表明在GNSS/A 定位中，聯合平差方法能夠提高傳統GNSS/A 定位方法的精度.這種證明方法將聯合平差問題轉化成了常規的間接平差問題，證明簡單，易于理解，不同于文獻[13]采用的拉格朗日極值證明方法.

另外，由式(28)可以看出，海底應答器的坐標改正數的計算公式和間接平差的計算公式形式上完全類似，這樣就把復雜的聯合平差問題轉化成了常規的間接平差問題，根據式(28)很容易得到嚴密的精度評定公式為[16]

3 實驗

3.1 松花湖數據測試

采用松花湖實測數據驗證新方法的有效性.測量船配備了康斯伯格Simrad EM3000 多波束系統、徠卡GNSS-1200 接收機、Seatex MRU-05 姿態測量裝置、AML 聲速計和壓力計等.圖2(a)給出了多波束測深數據，湖底平均深度約為60m.聲速剖面儀獲得的聲速結構如圖2(b)所示，表面聲速為1465.34m/s.采用分層等梯度射線追蹤法進行聲線改正.三個海底應答器放置在湖床中，走航船分別對三個海底應答器進行圓走航觀測，三個海底應答器編號為C02、C04 和C08.

圖2 湖底地形圖和聲速剖面圖

分別采用傳統GNSS/A 定位方法(簡寫為LS 方法)和聯合平差法(簡寫為JA方法)進行計算，結果如表1 所示.對于編號為C02、C04 和C08 的湖底應答器，傳統GNSS/A 定位方法東(east，E)、北(north，N)、天頂(up，U)三個方向的均方根(root mean square，RMS)分別為0.0241m、0.0223m 和0.0222m，聯合平差E、N、U 三個方向的RMS 分別為0.0232m、0.0146m 和0.0141m，可見傳統GNSS/A 方法的內符合精度低于聯合平差方法.這主要是因為該方法將海面換能器的位置作為沒有誤差的已知值，在平差過程中，海面換能器的位置誤差會傳遞給湖底待估參數，降低了湖底大地控制點的定位精度.將壓力傳感器提供的深度值作為真值來驗證兩種方法的外符合精度.傳統GNSS/A 定位方法U 方向的定位偏差分別為0.0291m，0.2642m 和0.1051m，聯合平差U 方向的定位偏差分別為0.0284m、0.2105m 和0.0823m，相比于傳統GNSS/A 定位方法，湖底大地控制點的高程定位精度分別提高了2%、20%和22%.由此可知，新方法的外符合精度優于傳統GNSS/A 定位方法.

表1 海底應答器定位結果與精度統計m

圖3 給出了三個湖底應答器平差后的聲學測距殘差值.從圖3 可以看出，聯合平差方法的聲學測距殘差比傳統GNSS/A 定位方法的殘差更集中.計算殘差的均方根誤差以評估湖底大地控制點的精度.對于編號為C02、C04 和C08 的湖底大地控制點，聯合平差方法殘差的RMS 分別為0.0846m、0.0711m 和0.0506m，傳統GNSS/A 定位方法的殘差RMS 分別為0.0982m、0.0834m 和0.0597m，新方法可以獲得更加穩定的解算結果.

圖3 兩種定位方法的殘差比較圖

3.2 南海數據測試

實驗區域海底地形平坦，水深約為2000m.在海底布設了1 個海底大地控制點，在實驗區域內以圓形航跡對海底大地控制點進行持續性觀測，如圖4(a)所示.測量期間進行了聲速剖面測量，如圖4(b)所示.嚴格測定船載聲學換能器、GNSS 天線在船體坐標系下的坐標，利用姿態測量設備獲得測量船姿態，進行坐標轉換獲取聲學換能器的位置.采用分層等梯度射線追蹤法進行聲線改正.

分別采用傳統GNSS/A 定位方法(簡寫為LS 方法)和聯合平差法(簡寫為JA方法)進行解算.表2給出了傳統GNSS/A 定位方法和聯合平差定位的計算結果及其精度統計表.由表2 可知，兩種方法在E 方向的定位差值為0.0392m，在N 方向的定位差值為0.0283m，在U 方向的定位差值為0.0830m.傳統方法三個方向RMS 的平方根為0.1816m，聯合平差方法三個方向RMS 的平方根為0.1341m，相對于傳統GNSS/A 定位方法，新方法的RMS 降低了26%.

表2 海底應答器定位結果及其精度統計表m

圖5 給出了兩種定位方法的殘差比較圖和殘差直方圖.殘差直方圖表明，兩種定位方法的聲測距殘差概率密度都服從正態分布.根據殘差直方圖和殘差比較圖可知，聯合平差方法中的聲學測距殘差值比傳統GNSS/A 定位方法的聲學測距殘差值更集中.計算殘差的RMS 來進一步評估海底大地控制點的定位精度.聯合平差方法聲學測距殘差的RMS 值為0.4959m，傳統的GNSS/A 方法聲學測距殘差的RMS 值為0.9016m，與傳統的GNSS/A 定位方法相比，聯合平差方法的聲學測距殘差RMS 值降低了45%.

圖5 兩種定位方法的殘差比較圖和殘差直方圖

4 結論

綜合本文的研究結果，可得到如下結論：

1)針對聯合平差方法優越性證明方面的不足和無深海數據驗證的問題，本文對顧及海面換能器位置誤差的GNSS/A 聯合平差方法的原理進行了深化和分析，給出了間接平差框架下的計算和精度評定公式，在間接平差框架下證明了新方法相比于傳統GNSS/A 定位方法能夠獲取更加穩定可靠的參數估計解.

2)通過松花湖實測數據和南海實測數據進行了驗證，結果表明，聯合平差方法考慮了海面換能器位置誤差對海底大地控制點定位精度的影響，相比于傳統GNSS/A 定位方法，定位精度提高了2%~26%，聲學測距殘差更聚集，驗證了聯合平差方法在湖區和深海區的應用效果.

致謝：特別感謝嶗山實驗室“問海計劃”項目組及深海試驗全體科研人員的合作與支持.