基于Excel的p控制圖的四種畫法

俞鐘行

1924年，美國貝爾實驗室的工程師休哈特畫出全世界第1張控制圖——p控制圖，從此開啟了SPC（統計過程控制）在全球的百年歷程。俄羅斯學者阿特列勒和施貝勒對這段歷史有一段精彩評價：“統計思維是在一個飽受易變性之害的世界里做出系統性決策的能力（引自《上海質量》文章《從統計思維到智能思維》）。”p控制圖即“不合格品率控制圖”，因其易懂、易用、靈活，而被廣泛應用，比如曾推行14年之久的國家質量工程師職業資格考試中，只有p控制圖和Xbar-R控制圖被要求達到“掌握”的程度。但是應用p控制圖也存在某些問題，本文從貼近企業實際應用的角度，介紹p控制圖的4種畫法，通過普及程度更高的Excel工具實現。

p控制圖的統計基礎是二項分布。二項分布只有一個參數，故p圖是單圖。計算平均不合格率的公式為：

P控制圖的3條線的計算公式為：

注意事項：選取樣本量n應充分大，使得np0≥1。一般情況下：

這里，P0：給定標準值；pbar：未給定標準值。

p圖第一種畫法[1]

如果ni變化不大（指ni變化在其目標值±25%以內）,采用單一的基于平均子組大小(nbar)的一組控制限。

例：山東某預制板企業，在國內外均設有工廠，統計部門把各廠采集的數據匯總到經營層。表1左起兩列是某廠某月每天的一等品（AA）和二等品（A）的具體數據。A等品相對于AA等品就是不合格品，因此可以畫p控制圖，這對于提質降本、改善經營有所裨益。

左起第3列n，是1、2列的和，就是樣本量。第4列A%相當于不合格品率p%。2至4列的倒數第2行，分別是∑di、∑ni和pbar值。n列最下面的數是nbar。于是可按pbar和本節公式得到表1的右邊3列。用Excel的折線圖就可畫出p控制圖，如圖1所示。從圖1可以看出，如果在月初的3、4天里質量控制得好些的話，這個月的A%可以更低、更平穩些。筆者在上海金山石化公司，也從控制圖看到生產剛開始時，產品質量相對差一些。“質量看得見”是控制圖的一項優勢。

圖1 山東某企預制板“A等品率”的控制圖

p圖第二種畫法[1]

當ni變化較大時，可采用標準化變量的方法，如點繪標準化Zi值：

這樣，中心線和控制限與子組大小無關，即：

例：上海某避雷器廠，生產的批量產品分大罐和小罐，見表2左起第2列，相當于樣本量ni。第3列是檢查出的不合格品數di，第4列是不合格品率pi。第2、3和4列最下面的數分別是∑di、∑ni和pbar值。于是，可按Zi公式得到表2的Zi列，用Excel的折線圖畫出p控制圖，如圖2所示。從圖2可以看出，第4批的不合格品率“鶴立雞群”，而且遠遠超出上控制限+3。其實，該批次不合格品率并未超出該廠的有關規定，但是如果有“持續改善”的質量之心，就應當查找這一批次遠遠超出其他17批次不合格品率的原因。控制圖就是可以幫助我們找到改善突破點的好工具。

圖2 避雷器p控制圖（以Zi描點）

表2 避雷器p控制圖（以Zi描點）的數據界面

p圖第三種畫法

當樣本量n i 太大時，前面兩種畫法都不好使了，原因是對照“注意事項”公式（3），應有n×p0＜5或n×p b ar ＜5的要求。比如表3所示的案例，是轉引自Motgomer y（2020）的案例，是某醫院在20周內發生錯誤的記錄。經計算，此例的nbar×pbar=2886.2×0.094848=273.7502976，并不符合＜5的一般要求。如果按照第二種方法畫p控制圖得到的圖3，難以反映真實情況。

圖3 醫院p控制圖（以Zi描點）

表3 醫院p控制圖的數據界面

Laney于2002年提出了當樣本量很大時畫p'控制圖的方法，被普遍接受，在Minitab軟件里也有這種方法的模塊。但是2022年美國質量協會《質量技術》雜志第3期刊登的可公開獲取的長文，基于the law of total expectation and the law of total variance（總期望定律和總方差定律）及數據模擬，證明了Laney的p'控制圖的不足，并給出了更精準科學的方法。要點是p控制圖的變差含有兩個普通原因的成份——樣本內和樣本間，而以前未考慮到“樣本間”這一成份。本文將新提出的p控制圖稱為“雙普p控制圖”。雖然本文無法介紹這一新方法在“破”和“立”上的諸多細節，但可以用Excel來實現它的最終成果，關鍵就是算出規定p控制限的σ。

根據文獻，這個σ的計算公式如下：

式中的m就是表3中的周數20；p0就是平均不合格品率，已從表3算得，為0.094848。表4左起第2列“分子左”只有是10項，當i=1時，第1項=（p2-p1）2=(0.0748-0.115)2=0.00161604，其余類推。這列倒數第2個數是上述10項之和，最下的數是除以20所得的商。“分子右”這一列里，先按公式[p0(1-p0)/ni]算出第1項，然后用拖拉的方式得到全部20項，倒數第2個數是平均值。“分母右”這一列的計算類似。于是，σ2=（分子左-分子右）/(1-分母右)=0.000362，σ=0.019034。

表4 計算σ2的數據界面

然后可以根據文章開始時給出的p控制圖3條線的基本公式畫出圖4，數據界面見表5。

圖4 醫院p控制圖（雙普p控制圖畫法）

表5 畫醫院p控制圖的數據界面

p圖第四種畫法[2]

根據文獻[2]，美國聰明方案公司總裁福萊斯（Forrest Breyfogle）在美國《質量進展》雜志2003年和2004年10期上，發表了關于控制圖的文章。福萊斯指出：“一個人可以把過程描繪成不受控的，但另一個人卻可以把同一過程描繪成受控的。”福萊斯舉了一個p圖的例子，原來是不受控的，用p圖的數據作成XmR圖，就受到良好的控制了。

在美國的SPC文獻里，類似作法絕非個案，可參見《上海統計》2000年第8期文章《應用控制圖分析交通事故死亡人數的實例》。本文對“醫院p控制圖”也嘗試使用該法，效果頗佳。XmR圖也是休哈特控制圖的一員，計算公式如下所示：

表6是XmR控制圖的數據界面。左起第1列和第2列將相同數據叉開一格，是為了在第3列計算移動極差mR，它=“前1個數減后1個數取絕對值”。第3列最下的數是mRbar。第4列就是mR圖的中心線。第5、6列是mR圖的上、下控制限。選取左起3～6列，用Excel的折線圖就得到mR圖（見圖5的上圖）。

圖5 醫院p控制圖（以XmR控制圖畫出）

表6 醫院p控制圖（以XmR控制圖畫出）的數據界面

表6右邊4列是畫X控制圖的。右4列最下的數是平均值，也就是右3列的值。右2、右1列是上、下控制限，根據公式（要用前面算得的mRbar）易得到。選取右4列，使用Excel折線圖可得到X圖（見圖5的下圖）。從數據和圖形看，X控制圖與“雙普p控制圖”很接近，但是前者顯然更容易。