多自由度混聯(lián)Ⅰ型慣容減震系統(tǒng)地震響應(yīng)分析

李創(chuàng)第, 王瑞勃, 江麗富, 葛新廣

(1. 廣西科技大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,廣西 柳州 545006;2. 柳州工學(xué)院 土木建筑學(xué)院,廣西 柳州 545616)

近年來(lái),消能減震技術(shù)在建筑結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)抗震中得到廣泛應(yīng)用[1-2],該技術(shù)通過(guò)在建筑結(jié)構(gòu)的部分位置設(shè)置耗能裝置,使其在外部激勵(lì)作用下產(chǎn)生摩擦或剪切滯回變形等方式來(lái)消耗地震能量,從而達(dá)到降低結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的目的[3]。為此,眾多學(xué)者[4-6]對(duì)已有耗能裝置的改進(jìn)及新型耗能裝置的開(kāi)發(fā)進(jìn)行了大量研究。20世紀(jì)末,“inerter”(慣容)[7]作為一種新型被動(dòng)控制裝置被提出,慣容與傳統(tǒng)耗能裝置不同,它是兩端點(diǎn)的慣性元件,所產(chǎn)生的慣性力可表示為同質(zhì)量量綱一致的慣容系數(shù)與兩端加速度的乘積。Ikago等[8]提出了以滾珠絲杠作為表觀質(zhì)量放大器的調(diào)諧黏性質(zhì)量阻尼器(tuned viscous mass damper,TVMD),并首次將TVMD應(yīng)用于單自由度結(jié)構(gòu)中,研究發(fā)現(xiàn),TVMD相對(duì)黏滯質(zhì)量阻尼器(viscous mass damper,VMD)、黏滯阻尼器(viscous damper,VD)的減震效果更為顯著。Wang等[9]研究了慣容在建筑懸架系統(tǒng)(即垂直基礎(chǔ)隔振)中的性能優(yōu)勢(shì),結(jié)果表明,慣容可以有效減小建筑系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。在工程應(yīng)用中,為進(jìn)一步提高慣容的減震效果,常將慣容、彈簧以及耗能元件連接共同工作,三種元件連接所形成的動(dòng)力系統(tǒng)稱之為慣容減震系統(tǒng)。根據(jù)三種元件的連接方式將慣容減震系統(tǒng)分為串聯(lián)型慣容系統(tǒng)、混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)和混聯(lián)Ⅱ型慣容系統(tǒng)[10-12]。串聯(lián)型慣容系統(tǒng)由慣容、彈簧、耗能元件三者串聯(lián)組成;混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)由彈簧、耗能元件并聯(lián)后再與慣容進(jìn)行串聯(lián)形成;混聯(lián)Ⅱ型慣容系統(tǒng)由耗能元件、慣容并聯(lián)后再與彈簧串聯(lián)組成。Pan等[13]以結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的減緩率為設(shè)計(jì)指標(biāo),提出三種慣容減震系統(tǒng)的單自由度結(jié)構(gòu)基于白噪聲激勵(lì)的設(shè)計(jì)方法,該方法在給定響應(yīng)減緩率的情形下可快速獲得單自由度慣容系統(tǒng)的關(guān)鍵參數(shù),但所用白噪聲激勵(lì)與實(shí)際地震過(guò)程差異較大。Zhang等[14]發(fā)現(xiàn)并證明了阻尼增效現(xiàn)象的理論實(shí)質(zhì),基于阻尼增效方程提出了慣容減震系統(tǒng)通用的設(shè)計(jì)原理,運(yùn)用實(shí)例對(duì)所提的方法及原理進(jìn)行了驗(yàn)證。Lazar等[15]將混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)應(yīng)用到多層建筑結(jié)構(gòu),研究了慣容系統(tǒng)的減震性能,結(jié)果表明,慣容系統(tǒng)不僅可降低調(diào)諧質(zhì)量、減小結(jié)構(gòu)響應(yīng)而且具有實(shí)現(xiàn)輕量化的優(yōu)勢(shì),但在結(jié)構(gòu)每層都設(shè)置慣容系統(tǒng)會(huì)使工程造價(jià)較高。潘超等[16]將結(jié)構(gòu)減震性能、成本控制同時(shí)作為設(shè)計(jì)控制目標(biāo),分析了單自由度結(jié)構(gòu)慣容系統(tǒng)結(jié)構(gòu)響應(yīng)解析式,在隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)解析解的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了簡(jiǎn)潔適用的參數(shù)設(shè)計(jì)公式。

由于地震過(guò)程具有隨機(jī)性,國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出一系列隨機(jī)激勵(lì)模型擬合地震過(guò)程,如白噪聲模型[17]、過(guò)濾白噪聲模型[18-19]、胡聿賢模型[20]、李鴻晶模型[21]等。其中,李鴻晶模型不僅考慮了基巖的低頻成分而且消減和控制了基巖的高頻成分,該模型不僅可以描述地震的寬帶特征亦可以描述窄帶特性,是一種普適性強(qiáng)的隨機(jī)激勵(lì)模型。為深入研究地震激勵(lì)對(duì)建筑結(jié)構(gòu)的影響,需對(duì)結(jié)構(gòu)基于隨機(jī)地震模型下的響應(yīng)進(jìn)行分析,常用方法為時(shí)域法及頻域法。時(shí)域法[22-23]以求解響應(yīng)協(xié)方差為主,需求解激勵(lì)的協(xié)方差;頻域法[24-25]以建立響應(yīng)和激勵(lì)功率譜之間的代數(shù)關(guān)系為主。相比白噪聲模型及過(guò)濾白噪聲模型而言,李鴻晶模型以功率譜函數(shù)的形式存在,且功率譜函數(shù)較為復(fù)雜,運(yùn)用時(shí)域法分析較為繁瑣,頻域法分析較容易。虛擬激勵(lì)法[26]是頻域法中典型的分析方法,該方法將平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)諧過(guò)程,簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程,但該方法在求解譜矩時(shí)尚需相當(dāng)繁復(fù)的數(shù)值積分。針對(duì)以上不足,Ge等[27]在此基礎(chǔ)上,提出了譜矩簡(jiǎn)明封閉解的計(jì)算方法,該方法通過(guò)求解響應(yīng)功率譜的二次分解式(圓頻率和模態(tài)復(fù)特征值平方和倒數(shù)的線性組合形式)將譜矩轉(zhuǎn)化為模態(tài)參數(shù)與激勵(lì)參數(shù)的線性組合,消除了復(fù)雜的積分運(yùn)算且提高了計(jì)算精度。

目前針對(duì)慣容系統(tǒng)的研究多數(shù)基于單自由度結(jié)構(gòu)展開(kāi),在多自由度結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用及具體布置方案的研究較少。針對(duì)這一問(wèn)題,本文運(yùn)用文獻(xiàn)[28]所提出的計(jì)算方法,分析混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)在多自由度結(jié)構(gòu)中的地震動(dòng)響應(yīng),同時(shí)從性能和經(jīng)濟(jì)性角度出發(fā),對(duì)慣容系統(tǒng)在多自由度中的布置方案進(jìn)行研究。首先,求解多自由度結(jié)構(gòu)部分層設(shè)置混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)基于隨機(jī)激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)方程,并依據(jù)慣容系統(tǒng)的計(jì)算簡(jiǎn)圖推導(dǎo)其微分型本構(gòu)關(guān)系?；诖?重構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程,并運(yùn)用復(fù)模態(tài)理論及虛擬激勵(lì)法求解結(jié)構(gòu)絕對(duì)位移、層間位移、層間位移角等系列響應(yīng)的統(tǒng)一解。其次,對(duì)結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)功率譜進(jìn)行了二次分解,獲得響應(yīng)0～2階譜矩的簡(jiǎn)明封閉解。最后,在響應(yīng)譜矩封閉解的基礎(chǔ)上,通過(guò)數(shù)值算例對(duì)比驗(yàn)證了所求譜矩的正確性;分析了復(fù)振型個(gè)數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜矩計(jì)算精度的影響;確定并驗(yàn)證了慣容系統(tǒng)布置方案的有效性。

1 重構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

在n層結(jié)構(gòu)的部分層設(shè)置混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)共l個(gè)(1≤l≤n)構(gòu)成耗能結(jié)構(gòu),計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 耗能結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic diagram of the energy-consuming structure

(1)

當(dāng)結(jié)構(gòu)第1層設(shè)置第1個(gè)混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)時(shí),計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2(a)所示;當(dāng)結(jié)構(gòu)第i層(當(dāng)i>1)設(shè)置第h個(gè)(1≤h≤l)混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)時(shí),計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2(b)所示。由圖2(a)和圖2(b)可知,存在以下力學(xué)關(guān)系

圖2 混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)的布置簡(jiǎn)圖Fig.2 Diagram of the arrangement of series-parallel layout Ⅰ inerter system

(2)

(3)

由式(2)、式(3)可知,所設(shè)l個(gè)慣容系統(tǒng)的力學(xué)關(guān)系為

(4)

(5)

聯(lián)立式(4)、式(5),可得慣容系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)之間的微分型本構(gòu)關(guān)系為

(6)

引入狀態(tài)變量X,聯(lián)立式(1)、式(4)～式(6)得到狀態(tài)方程為

(7)

(8)

式中:α=[-MIo4o5o4]T,“T”為轉(zhuǎn)置矩陣;o1為n×n階元素為零的矩陣;o2為n×l階元素為零的矩陣;o3為l×l階元素為零的矩陣;o4為l×1階元素為零的矩陣;o5為n×1階元素為零的矩陣;M0,K0分別為

2 結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)的統(tǒng)一解

2.1 復(fù)模態(tài)解耦

運(yùn)用復(fù)模態(tài)法對(duì)式(8)進(jìn)行解耦,式(8)中存在復(fù)特征值矩陣p及左、右特征向量V,U,滿足

p=(VTM0U)-1VTK0U

(9)

引入復(fù)模態(tài)變換

X=Uz

(10)

式中,z為模態(tài)廣義變量。

聯(lián)立式(8)～式(10)可得

(11)

式中,η=VTα/(VTM0U)。

式(11)的分量形式為

(12)

式中:zk為響應(yīng)分量;pk為復(fù)特征值;ηk為模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)。

由虛擬激勵(lì)法獲得響應(yīng)分量zk(ω)的頻域解為

(13)

2.2 響應(yīng)的頻域統(tǒng)一解

聯(lián)立式(7)、式(8)、式(13),獲得結(jié)構(gòu)第i層絕對(duì)位移和絕對(duì)速度的頻域解分別為

(14)

(15)

結(jié)構(gòu)第i層的層間位移和層間速度頻域解分別為

(16)

(17)

結(jié)構(gòu)第i層的層間剪力為

(18)

(19)

結(jié)構(gòu)第i層的層間位移角為

(20)

(21)

由式(14)～式(21)可知,結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)的頻域解可統(tǒng)一表示為

(22)

式中:Y(ω)為結(jié)構(gòu)分量zk(ω)的頻域統(tǒng)一解;κk為響應(yīng)分量的模態(tài)系數(shù),具體值由式(14)～式(21)確定。

3 響應(yīng)功率譜及譜矩計(jì)算

3.1 結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)功率譜的二次分解式

根據(jù)虛擬激勵(lì)法,結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)功率譜為

(23)

將式(13)代入式(23)可得

(24)

頻率響應(yīng)特征值函數(shù)HY(ω)的具體表達(dá)式為

(25)

(26)

式中:S0為譜強(qiáng)度系數(shù);ωg,ξg分別為巖土層的特征頻率和阻尼比;ωs,ωh分別為基巖擾動(dòng)下的低頻以及高頻控制參數(shù)。

為便于求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜矩,將式(26)進(jìn)行簡(jiǎn)化,得到李鴻晶譜二次分解形式為

(27)

其中,

Δ1=-1-4iωsα; Δ2=-1+4iωsα。

根據(jù)代數(shù)運(yùn)算將式(25)化簡(jiǎn)為

(28)

將式(27)、式(28)代入式(24),獲得結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)功率譜SY(ω)的二次分解式

(29)

經(jīng)上文分析可知,SY(ω)為響應(yīng)分量對(duì)應(yīng)的模態(tài)系數(shù)κk、復(fù)特征值pk、模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)ηk、模態(tài)響應(yīng)功率譜Aj(ω)的線性組合。

3.2 結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜矩的封閉解

隨機(jī)振動(dòng)理論定義譜矩為

(30)

將SY(ω)的表達(dá)式(29)代入式(30),令q=0,q=1得到0階、1階譜矩,具體表達(dá)式為

(31)

(32)

(33)

由于2階譜矩是位移變化率的0階譜矩,可有位移0階譜矩進(jìn)行表示,具體表達(dá)式為

(34)

4 算例分析

一棟18層的混凝土結(jié)構(gòu),抗震設(shè)防烈度為8度,場(chǎng)地類別為Ⅱ類場(chǎng)地,場(chǎng)地土為中等土。1層為門(mén)廳和服務(wù)中心,2～3層用于養(yǎng)育托管管理配套等功能,其余樓層用于住宅。1層層高4.5 m,2～3層層高4 m,4～18層層高3 m;1層質(zhì)量m1=6.5×105kg,2～3層質(zhì)量m2=m3=4.9×105kg,4～18層質(zhì)量為3×105kg;1層抗側(cè)剛度k1=3×108N/m,2～3層的抗側(cè)剛度k2=k3=2.15×108N/m,4～18層抗側(cè)剛度為1.63×108N/m;結(jié)構(gòu)阻尼比?為0.05,主體結(jié)構(gòu)的阻尼依據(jù)Rayleigh阻尼分析,即C=aM+bK,其中a,b為Rayleigh阻尼常數(shù)。

式中,ω1和ω2分別為結(jié)構(gòu)的第一自振頻率和第二自振頻率,ω1=2.079 7 rad/s,ω2=6.105 5 rad/s。

混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)的主要參數(shù)依據(jù)式(35)～式(37)確定

μ=md/m

(35)

κ=kd/k

(36)

(37)

式中:μ,κ,ξ分別為慣容系統(tǒng)的慣質(zhì)比、剛度比以及名義阻尼比;md,cd,kd分別為慣容系統(tǒng)的慣容系數(shù)、阻尼系數(shù)、剛度系數(shù);m,c,k分別為主體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼、剛度;ω0為結(jié)構(gòu)的自振圓頻率。

為同時(shí)滿足結(jié)構(gòu)的減震性能和成本要求,需合理擬合慣容減震系統(tǒng)的參數(shù)。潘超等研究了單自由度結(jié)構(gòu)中慣容系統(tǒng)同時(shí)滿足成本和性能的參數(shù)設(shè)計(jì)方法,利用所提公式及設(shè)計(jì)流程確定了混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)滿足成本和性能的優(yōu)化參數(shù)值。由于多自由度慣容系統(tǒng)的性能-成本參數(shù)優(yōu)化文獻(xiàn)較少,故本文選取潘超等研究中的表1(混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)的主要設(shè)計(jì)參數(shù)值),以目標(biāo)阻尼比為0.04確定μ=0.085 1,κ=0.041 7,ξ=0.020 9。

表1 結(jié)構(gòu)響應(yīng)模態(tài)復(fù)特征值Tab.1 Modal complex eigenvalues of response of the structure

通過(guò)式(35)～式(37)求得md=2.553×104kg,kd=6.797 1×104N/m,cd=2.923×104N·s/m。

4.1 封閉解的正確性驗(yàn)證

以1層、2層、4層、8層、14層、16層設(shè)置慣容系統(tǒng)為例,驗(yàn)證本文所求耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜矩封閉解式(31)～式(34)的正確性。由于虛擬激勵(lì)法是結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分析中典型的計(jì)算方法,故將本文方法所得譜矩與虛擬激勵(lì)法所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

由附錄A中式(A.9)可知,虛擬激勵(lì)法求解響應(yīng)譜矩需要對(duì)響應(yīng)功率譜Sx(ω)在[0,∞]內(nèi)進(jìn)行積分運(yùn)算,為獲得穩(wěn)定且精確的譜矩值,經(jīng)試算積分區(qū)間取[0,500]rad/s,積分步長(zhǎng)Δω依次取2.0 rad/s,1.0 rad/s,0.5 rad/s,0.1 rad/s。本文方法與虛擬激勵(lì)法在4種不同積分步長(zhǎng)下的譜矩對(duì)比,如圖3所示。

圖3 響應(yīng)譜矩對(duì)比Fig.3 Comparison of response spectral moments

由圖3可知,本文方法直接獲得結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)的譜矩,所得結(jié)果唯一、計(jì)算精確較高。虛擬激勵(lì)法所求譜矩的精確度受積分步長(zhǎng)取值的影響較大。當(dāng)積分步長(zhǎng)Δω≥1.0 rad/s時(shí),各樓層譜矩的誤差較大;當(dāng)Δω≤0.5 rad/s時(shí),各樓層的譜矩值逐漸趨于穩(wěn)定,最終越來(lái)越接近本文方法所求結(jié)果;且當(dāng)Δω=0.1 rad/s時(shí),兩種方法所得結(jié)果誤差率小于3%。經(jīng)上述分析可知,本文方法所求多自由度混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)系列響應(yīng)譜矩的封閉解正確有效,在推導(dǎo)過(guò)程中不僅簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程而且提高了計(jì)算精度。

4.2 復(fù)振型個(gè)數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)精度的影響

由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)可知,多自由度實(shí)模態(tài)分析中前若干振型對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響顯著,而其他高階振型的影響較小可忽略不計(jì)。本文方法所求的振動(dòng)特征值和振型為復(fù)參數(shù),一對(duì)復(fù)共軛振動(dòng)特征值和振型由歐拉變換可轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)特征值和實(shí)振型。為滿足結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的精度要求,并進(jìn)一步提高本文方法的計(jì)算效率,將分析復(fù)振型對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)精度的影響。

由式(31)可知,本文所求譜矩值是復(fù)振動(dòng)特征值與其他相關(guān)參數(shù)的線性組合。將以結(jié)構(gòu)1層、2層、4層、8層、14層、16層設(shè)慣容系統(tǒng)為例,分析不同復(fù)振型下的響應(yīng)值。表1為結(jié)構(gòu)響應(yīng)的模態(tài)復(fù)特征值pk,按照從小到大進(jìn)行排序,將pk代入式(13),并依據(jù)式(14)～式(21)得到絕對(duì)位移、絕對(duì)速度等響應(yīng)值,具體結(jié)果如圖4所示。

圖4 復(fù)振型對(duì)響應(yīng)精度的影響Fig.4 Effect of mode shape on response calculation

由圖4可知,只考慮1階復(fù)振型時(shí),所得位移、速度、層間位移角及層間剪力(所有樓層取平均值)依次占全振型的88.3%,78.0%,68.6%,60.0%;考慮前2階復(fù)振型所得以上方差平均依次占全振型的98.9%,93.2%,89.9%,88.6%;考慮前3階復(fù)振型所得以上響應(yīng)方差平均依次占全振型的100.0%,98.5%,97.4%,96.2%。由此得出,復(fù)振型個(gè)數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)位移的影響不明顯,但對(duì)結(jié)構(gòu)的層間位移角等響應(yīng)影響較為突出,且對(duì)剪力的影響最大。高階復(fù)振型對(duì)于較低樓層的動(dòng)力響應(yīng)影響較小,且前3階復(fù)振型貢獻(xiàn)率都超過(guò)95%。故在結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析過(guò)程中,為保證計(jì)算精度、減少計(jì)算量、提高計(jì)算效率可只考慮前3階復(fù)振型。

在考慮前3階復(fù)振型的情形下,本文方法求解動(dòng)力響應(yīng)方差所用時(shí)間為0.094 8 s,運(yùn)用傳統(tǒng)方法計(jì)算所需時(shí)間為15.47 s,即考慮前3階復(fù)振型具有較高的計(jì)算效率。

4.3 慣容系統(tǒng)布置方案的研究

在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中,層間位移及層間位移角決定了結(jié)構(gòu)內(nèi)力和附屬結(jié)構(gòu)的安全。當(dāng)層間位移或?qū)娱g位移角過(guò)大時(shí),可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的開(kāi)裂或損壞,從而影響結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和舒適度。為滿足結(jié)構(gòu)的抗震性能和經(jīng)濟(jì)要求,以減小結(jié)構(gòu)的層間位移或?qū)娱g位移角為目標(biāo),分析慣容系統(tǒng)的布置方案。依據(jù)式(16)、式(17)、式(20)、式(21)對(duì)無(wú)控結(jié)構(gòu)的層間位移、層間位移角進(jìn)行了計(jì)算,具體結(jié)果如圖5所示。

圖5 無(wú)控結(jié)構(gòu)的層間位移及層間位移角Fig.5 Interstory displacement and Interstory displacement angle of uncontrolled structure

由圖5可知,在2層、4層、14層結(jié)構(gòu)的層間位移、層間位移角同時(shí)出現(xiàn)峰值,此時(shí)對(duì)結(jié)構(gòu)性能極為不利。依據(jù)層間位移、層間位移角峰值所在樓層,分別考慮其上、下層確定慣容系統(tǒng)在多自由度結(jié)構(gòu)中的布置方案。具體方案1為1層、2層、4層、14層設(shè)置慣容系統(tǒng);方案2為1層、2層、3層、4層、13層、14層、15層設(shè)置慣容系統(tǒng);方案3為每層都設(shè)慣容系統(tǒng)。

依據(jù)式(14)～式(21)、式(31)～式(33)對(duì)各方案的位移、層間位移、層間位移角及層間剪力進(jìn)行了對(duì)比計(jì)算,具體結(jié)果如圖6～圖9所示。

圖6 布置方案的層間位移角對(duì)比Fig.6 Comparison of interlayer displacement angles of each program

圖7 各布置方案的層間剪力對(duì)比Fig.7 Comparison of interstory shear force for each program

圖8 各布置方案的絕對(duì)位移0～2階譜矩對(duì)比Fig.8 Comparison of absolute displacement 0-2nd spectral moments of each program

圖9 各布置方案的層間位移0～2階譜矩對(duì)比Fig.9 Comparison of 0-2nd spectral moments of inter-story displacement of each program

由圖6～圖9可知,方案3結(jié)構(gòu)每層都設(shè)置慣容系統(tǒng)的減震效果最為明顯,當(dāng)結(jié)構(gòu)中所設(shè)的慣容系統(tǒng)數(shù)量足夠多時(shí),結(jié)構(gòu)的性能總能達(dá)到抗震設(shè)計(jì)要求,但這種做法從經(jīng)濟(jì)角度考慮是不可取的。

為更準(zhǔn)確分析三種方案的可行性,對(duì)各方案在層間位移、層間位移角出現(xiàn)峰值樓層(2層、4層、14層)的減震效果進(jìn)行分析,具體結(jié)果如表2所示。由表2可知:方案1對(duì)絕對(duì)位移、絕對(duì)速度、層間剪力、層間位移角、層間位移的最大減震率分別為27.3%,28.5%,34.3%,18.9%,30.9%;方案2對(duì)上述系列響應(yīng)的最大減震率分別為33%,36.5%,48.3%,31.9%,46%。

表2 各布置方案的減震效果分析Tab.2 Analysis of vibration damping effect of each program 單位:%

經(jīng)上述分析可知:方案3的減震效果最好,但所需成本較高;方案2的減震效果較方案1更加明顯,且平均減震率在35%以上,能夠有效降低結(jié)構(gòu)層間位移和層間位移角。

5 結(jié) 論

本文將混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)應(yīng)用于多自由度結(jié)構(gòu)的消能減震中,運(yùn)用功率譜二次分解法給出了結(jié)構(gòu)系列響應(yīng)譜矩的封閉解,在結(jié)構(gòu)響應(yīng)0～2階譜矩封閉解的基礎(chǔ)上,對(duì)慣容系統(tǒng)在多自由度結(jié)構(gòu)中的布置方案進(jìn)行研究。為減小計(jì)算量、提高計(jì)算效率,本文分析了不同復(fù)振型對(duì)高層結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算精度的影響。所得結(jié)論有:

(1) 本文在n層結(jié)構(gòu)中設(shè)置l(1≤l≤n)個(gè)混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng),將位移、速度、層間位移角等響應(yīng)的0～2階譜矩簡(jiǎn)化為模態(tài)譜矩、復(fù)特征值及其他參數(shù)的線性組合,運(yùn)用數(shù)值算例驗(yàn)證了本文方法所求的譜矩正確適用。

(2) 獲得多自由度結(jié)構(gòu)混聯(lián)Ⅰ型慣容系統(tǒng)的位移、速度等系列響應(yīng)的頻域解和0～2階譜矩,對(duì)分析實(shí)際工程中結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度如超過(guò)結(jié)構(gòu)性能要求界限的平均率,首次破壞的時(shí)間及頻率分布等具有一定的工程意義。

(3) 高階復(fù)振型對(duì)位移的影響較不明顯,但對(duì)速度、層間位移角、層間剪力等響應(yīng)的影響較為顯著。為準(zhǔn)確分析和預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的抗震性能,高階復(fù)振型的影響不能忽略。前3階復(fù)振型對(duì)各響應(yīng)的影響都在95%以上,故為簡(jiǎn)化計(jì)算量,提高計(jì)算效率建議考慮前3階復(fù)振型。

(4) 本文在結(jié)構(gòu)響應(yīng)0～2階譜矩封閉解的基礎(chǔ)上,確定了慣容系統(tǒng)的布置方案。研究發(fā)現(xiàn)方案3減震效果最好,但整體造價(jià)較高;方案2相對(duì)方案1的減震效果較為顯著,有效降低了層間位移和層間位移角,且該方案相對(duì)方案3降低了工程造價(jià)。為滿足結(jié)構(gòu)性能和經(jīng)濟(jì)要求,建議將慣容系統(tǒng)以方案2進(jìn)行布置。

附錄A:耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜矩的虛擬激勵(lì)法

對(duì)式(1)、式(4)、式(5)進(jìn)行傅里葉變換

(A.1)

(A.2)

(A.3)

由式(A.2)、式(A.3)得到

(A.4)

(A.5)

把式(A.4)和式(A.5)代入式(A.2)則

(A.6)

將式(A.6)代入式(A.1)得到結(jié)構(gòu)絕對(duì)位移為

(A.7)

式中,Hx(ω)=-Mω2+iωC+K+I1DFS(ω)。

結(jié)構(gòu)層間位移為

Δxi(ω)=xi(ω)-xi-1(ω),i=2～n

(A.8)

式中, Δx1(ω)=x1(ω)。

結(jié)構(gòu)層間剪力為

V1(ω)=k1x1(ω)

(A.9)

Vi(ω)=ki[xi(ω)-xi-1(ω)],i=2～n

(A.10)

結(jié)構(gòu)層間位移角為

(A.11)

(A.12)

結(jié)構(gòu)位移的功率譜為

(A.13)

速度的功率譜為

(A.14)

層間剪力、層間位移角等響應(yīng)可依據(jù)位移及速度的功率譜進(jìn)行求解。

將(A.7)代入譜矩計(jì)算公式,得到絕對(duì)位移0～2階譜矩為

(A.15)