面向多模式多元未知分布的協(xié)方差過程監(jiān)控

趙 宇 李艷婷 吳振宇 周 笛 胡 潔

1.上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院,上海,200240 2.東華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,上海,201620 3.上海通用五菱汽車股份有限公司,柳州,545007

0 引言

多元統(tǒng)計(jì)過程控制作為質(zhì)量管理的重要工具之一,受到越來越多的重視[1-3]。過程監(jiān)控能夠很好地提前發(fā)現(xiàn)工業(yè)生產(chǎn)過程的隱藏風(fēng)險(xiǎn),從而避免工業(yè)生產(chǎn)中因部件異常而導(dǎo)致的經(jīng)濟(jì)損失[4-6]。隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來,越來越多的質(zhì)量指標(biāo)被記錄下來,過程控制也向著多元化的方向發(fā)展。UEDA等[7]對多元控制圖的發(fā)展進(jìn)行了分類和總結(jié)。隨著市場需求的發(fā)展,工業(yè)過程的多模式生產(chǎn)可以適應(yīng)不同產(chǎn)品的制造過程以盈利[8]。同時(shí),復(fù)雜產(chǎn)品的生產(chǎn)過程往往由多模式過程組成,這也導(dǎo)致過程數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出多模式的特性[9]。因此,多模式過程監(jiān)控受到越來越多的重視[10]。

多模式條件下的控制圖大致可分為兩類。一是為每個(gè)子模式構(gòu)建單獨(dú)的數(shù)據(jù)模型,并分別監(jiān)視每個(gè)模式。MA等[11]基于局部鄰域標(biāo)準(zhǔn)化(local neighborhood standardization, LNS)數(shù)據(jù)預(yù)處理算法,將數(shù)據(jù)縮放為單個(gè)數(shù)據(jù),并提出了局部鄰域標(biāo)準(zhǔn)化主成分分析(local neighborhood standardization and principal component analysis,LNS-PCA)的在線檢測算法來解決多模式數(shù)據(jù)的故障檢測問題。LYU等[12]提出了一種基于多模式過程學(xué)習(xí)的自適應(yīng)監(jiān)測方法,其中,模式識別和故障檢測與自適應(yīng)閾值策略相結(jié)合。LI等[13]針對工業(yè)過程中常見的多模式不確定性,提出了一種基于分層模式分割和子空間分解的多模式過程監(jiān)控方法。郭金玉等[14]提出了基于概率密度和匹配系數(shù)的PCA多模式過程監(jiān)測算法。CHEN等[15]提出了一種改進(jìn)的即時(shí)學(xué)習(xí)(just-in-time learning,JITL)方法,用于自適應(yīng)學(xué)習(xí)工業(yè)過程的多模式數(shù)據(jù)。CAO等[16]提出了一種使用方差貝葉斯主成分分析和Kullback-Leibler(KL)方差的多模式過程監(jiān)測方法。

二是基于混合模型的在線監(jiān)控方法,例如基于高斯混合模型(Gaussian mixture model, GMM)的多模式控制圖[17]、基于隱馬爾可夫模型(hidden Markov model,HMM)的控制圖以及一些特定過程的模型控制圖。SAMMAKNEJAD等[18]假設(shè)每個(gè)子模式服從多元高斯分布并基于期望最大化(expectation-maximum,EM)算法來訓(xùn)練整體GMM模型。JI等[19]基于變量之間的Mahanobis距離構(gòu)建GMM混合模型,并監(jiān)控GMM中所有高斯分量的后驗(yàn)概率。JIANG等[20]利用GMM模型和典型相關(guān)分析(canonical correlation analysis,CCA)來監(jiān)控多模式過程。CHEN等[21]提出了一種基于時(shí)間約束的高斯混合模型方法,該方法可以通過考慮歷史數(shù)據(jù)以及在線數(shù)據(jù)的模式識別中的時(shí)間序列信息來減少頻繁模式轉(zhuǎn)換過程的誤報(bào)。CAO等[22]提出了一種基于高斯混合模型和貝葉斯主成分分析(Gaussian mixture model and Bayesian principal component analysis,GMM-VBPCA)的多模式在線監(jiān)測方法,其中VBPCA用于為每個(gè)子模式建立概率模型。上述兩類多模式控制圖主要用于檢測均值漂移,很少研究協(xié)方差矩陣的變化,且大多數(shù)現(xiàn)有的多模式控制圖很少研究模式之間的過渡狀態(tài)。

多元過程數(shù)據(jù)的可變性通常由數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣表征。LI等[23]設(shè)計(jì)了一種基于協(xié)方差矩陣L2距離的協(xié)方差監(jiān)測方案(LC控制圖)。CAI等[24]針對觀測數(shù)n小于變量數(shù)p的情況,設(shè)計(jì)了一種基于協(xié)方差矩陣L∞距離(CLX控制圖)的監(jiān)測方案。ZHU等[25]設(shè)計(jì)了基于稀疏主特征值檢驗(yàn)的協(xié)方差監(jiān)測方法(SLED控制圖)。KIM等[26]提出了一種可以有效檢測協(xié)方差變化的控制圖,并且該控制圖無需假設(shè)樣本量小于變量的數(shù)量。ALFARO等[27]針對控制圖檢測能力不足的問題,在多元指數(shù)加權(quán)均方誤差(multivariate exponentially weighted mean square error,MEWMS)控制圖的基礎(chǔ)上,提出了一種多變量加權(quán)協(xié)方差矩陣控制圖(multivariate exponentially weighted covariance matrix combined control chart,MEWCMC)。NING等[28]針對具有測量誤差的多變量質(zhì)量監(jiān)控問題,基于單個(gè)觀測值場景的協(xié)方差矩陣絕對偏差的平方根之和,設(shè)計(jì)了一種新的控制圖。EBADI等[29]系統(tǒng)總結(jié)了用于監(jiān)測過程協(xié)方差的控制圖并進(jìn)行了分類。WANG等[30]提出了一種魯棒性的非線性多模式過程監(jiān)測方案,基于魯棒核函數(shù)分解(robust decomposition of kernel function, RDKF)算法來檢測異常值,將分塊對角核函數(shù)矩陣與譜聚類相結(jié)合,設(shè)計(jì)了一種非線性模式識別方法。

目前關(guān)于多模式控制圖的研究較少,且研究方法仍有很多不足之處。基于混合模型的檢測方法要求數(shù)據(jù)服從一定的分布,這也限制了研究方法的通用性。同時(shí),目前多模式控制圖大多基于均值漂移模型的假設(shè),在多模式條件下協(xié)方差檢驗(yàn)控制圖的研究報(bào)道較少。此外,上述多模式控制圖對工業(yè)數(shù)據(jù)監(jiān)控過程中普遍存在的過渡狀態(tài)的研究甚少。

本文提出了一種針對多模式、高維和非正態(tài)數(shù)據(jù)的考慮模式過渡約束的協(xié)方差在線監(jiān)測方法(multi-mode sparse principal eigenvalues exponentially weighted moving average control chart,MSPEWMA控制圖)。首先使用基于交叉驗(yàn)證的線性收縮方法估計(jì)協(xié)方差矩陣;隨后設(shè)計(jì)了稀疏主特征值檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量;之后考慮模式過渡約束的條件下構(gòu)建了具有滑動(dòng)窗口的指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均(exponentially weighted moving average,EWMA)控制圖——MSPEWMA控制圖。MSPEWMA控制圖采取模式過渡約束參數(shù)的策略,能夠有效處理模式之間的過渡狀態(tài),并且對具有大漂移的多模式高維數(shù)據(jù)具有更好的監(jiān)控效果。同時(shí),MSPEWMA控制圖適用于多種數(shù)據(jù)分布的監(jiān)測,具有較好的通用性。

1 數(shù)據(jù)集介紹

風(fēng)力發(fā)電機(jī)是典型的物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備,其數(shù)據(jù)由(supervisory control and data acquistition,SCADA)系統(tǒng)收集,通過本地服務(wù)器進(jìn)行集成和處理,并通過互聯(lián)網(wǎng)上傳到云,以監(jiān)控和評估運(yùn)行狀態(tài)。本文所采用的SCADA數(shù)據(jù)集為時(shí)間區(qū)間2019年1月1日至2019年12月31日的10 min采樣間隔的全年風(fēng)電數(shù)據(jù),SCADA系統(tǒng)收集了風(fēng)電運(yùn)行過程中的溫度、風(fēng)速、功率、電流、電壓等指標(biāo),包括齒輪箱冷卻水溫度、風(fēng)輪轉(zhuǎn)速、機(jī)艙溫度、報(bào)警狀態(tài)、發(fā)電機(jī)冷卻水溫度、瞬時(shí)風(fēng)速、箱變油溫、發(fā)電機(jī)定子U溫度、有功功率、座艙溫度、低速軸承溫度、高速軸承溫度等。圖1是這些變量不滿足正態(tài)性假設(shè),某風(fēng)場的某臺(tái)風(fēng)機(jī)四種變量的QQ plot圖,可以看出,利用傳統(tǒng)的控制圖不能很好地對風(fēng)機(jī)過程數(shù)據(jù)進(jìn)行有效監(jiān)控。圖2是某風(fēng)場的某臺(tái)風(fēng)機(jī)四種變量在連續(xù)一周時(shí)間的SCADA運(yùn)行數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)表現(xiàn)出多模式現(xiàn)象,風(fēng)機(jī)的不同變量在各個(gè)運(yùn)行模式下表現(xiàn)出不同的變化趨勢。當(dāng)自然風(fēng)速達(dá)到一定閾值時(shí),風(fēng)力發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子才會(huì)旋轉(zhuǎn)。同時(shí),為了保護(hù)風(fēng)機(jī)相關(guān)設(shè)備,風(fēng)力發(fā)電機(jī)的最大輸出功率受到限制(當(dāng)自然風(fēng)速超出一定閾值后,風(fēng)輪轉(zhuǎn)速不再持續(xù)增加,而是穩(wěn)定在某一個(gè)閾值上)。

(a)風(fēng)輪轉(zhuǎn)速

(a)風(fēng)輪轉(zhuǎn)速

由于風(fēng)輪轉(zhuǎn)速的均值在3種可控運(yùn)行狀態(tài)下會(huì)有較大波動(dòng),故考慮均值變化的過程檢測會(huì)導(dǎo)致誤報(bào)率增加。采用經(jīng)典的T2廣義方差控制圖對風(fēng)力發(fā)電機(jī)的4種變量(風(fēng)輪轉(zhuǎn)速、電網(wǎng)A向電壓、發(fā)電機(jī)冷卻水溫度、箱變油溫)進(jìn)行監(jiān)控,其中,風(fēng)機(jī)發(fā)電機(jī)原始運(yùn)行數(shù)據(jù)如圖3所示,控制圖監(jiān)控結(jié)果如圖4所示。圖3展示了風(fēng)力發(fā)電機(jī)的4種變量的原始運(yùn)行數(shù)據(jù),該數(shù)據(jù)集包含風(fēng)機(jī)正常運(yùn)行數(shù)據(jù)、風(fēng)機(jī)異常運(yùn)行數(shù)據(jù)(液壓系統(tǒng)主動(dòng)壓力過低)兩種狀態(tài)數(shù)據(jù),其中,淺藍(lán)色部分為風(fēng)機(jī)正常運(yùn)行數(shù)據(jù),淺粉色部分為風(fēng)機(jī)異常運(yùn)行數(shù)據(jù)(液壓系統(tǒng)主動(dòng)壓力過低)。運(yùn)用T2廣義方差控制圖對圖3中風(fēng)力發(fā)電機(jī)的4種變量進(jìn)行過程監(jiān)控,設(shè)置子組大小為5,得到的控制圖運(yùn)行結(jié)果如圖4所示。圖4包含T2控制圖部分(圖4a)和廣義方差控制圖部分(圖4b)。T2控制圖部分是針對過程均值向量的監(jiān)測,由于原始數(shù)據(jù)的過程均值受自然風(fēng)速的影響波動(dòng)較大,導(dǎo)致T2控制圖在風(fēng)機(jī)正常運(yùn)行時(shí)會(huì)產(chǎn)生誤報(bào),同時(shí)對過程異常的報(bào)警也不明顯。廣義方差部分是針對過程協(xié)方差矩陣的監(jiān)測(監(jiān)測變量之間相關(guān)關(guān)系的變化),雖然受自然風(fēng)速的影響,變量數(shù)據(jù)波動(dòng)較大,但是變量之間的相關(guān)關(guān)系比較穩(wěn)定,當(dāng)過程發(fā)生異常時(shí),變量之間的相關(guān)關(guān)系被打破,控制圖監(jiān)測到過程異常并報(bào)警。廣義方差部分在過程異常時(shí)能夠快速報(bào)警,雖然在正常運(yùn)行時(shí)也會(huì)產(chǎn)生少量誤報(bào),但相對過程均值較為穩(wěn)定。

(a)風(fēng)輪轉(zhuǎn)速

(a)T2控制圖

本文以過程數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為研究對象,通過監(jiān)測變量之間的相關(guān)關(guān)系來判斷過程是否存在異常。同時(shí),本文通過設(shè)計(jì)多模式過程監(jiān)控方法、改進(jìn)協(xié)方差估計(jì)方法、設(shè)計(jì)協(xié)方差檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)一步減少過程的誤報(bào),實(shí)現(xiàn)風(fēng)力發(fā)電機(jī)多模式數(shù)據(jù)的穩(wěn)定過程監(jiān)控。

圖5為3種正常運(yùn)行狀態(tài)和3種故障狀態(tài)下風(fēng)力發(fā)電機(jī)的協(xié)方差矩陣圖,F1～F12表示12個(gè)發(fā)電機(jī)運(yùn)行狀態(tài)變量：齒輪箱冷卻水溫度、風(fēng)輪轉(zhuǎn)速、機(jī)艙溫度、報(bào)警狀態(tài)、發(fā)電機(jī)冷卻水溫度、瞬時(shí)風(fēng)速、箱變油溫、發(fā)電機(jī)定子U溫度、有功功率、座艙溫度、低速軸承溫度、高速軸承溫度。與3種正常運(yùn)行狀態(tài)相比,3種故障狀態(tài)(機(jī)艙冷卻風(fēng)扇異常、液壓系統(tǒng)主壓力過低、液壓油泵馬達(dá)異常)下的協(xié)方差矩陣變化很大。因此,在這種數(shù)據(jù)情況下對協(xié)方差進(jìn)行監(jiān)測是一種合適的在線監(jiān)控策略。

(a)常態(tài)運(yùn)行狀態(tài) (b)限功率運(yùn)行狀態(tài) (c)負(fù)功率運(yùn)行狀態(tài)

2 研究方法

2.1 問題描述

假設(shè)μk,Σk(k=1,2,…,K)未知,定義多模式假設(shè)檢驗(yàn)問題：

(1)

2.2 可控模式的協(xié)方差矩陣的估計(jì)

高維環(huán)境中協(xié)方差矩陣的估計(jì)已被廣泛研究,經(jīng)典的稀疏估計(jì)假設(shè)協(xié)方差中的大多數(shù)元素為零。然而,部分工業(yè)生產(chǎn)數(shù)據(jù)中的高維數(shù)據(jù)不滿足這種稀疏假設(shè),因此,協(xié)方差無法通過稀疏估計(jì)有效求解。本文使用YANG等[31]提出的線性收縮估計(jì)方法來估計(jì)協(xié)方差,從而獲得更準(zhǔn)確的協(xié)方差估計(jì)。從理論上來講,該方法將協(xié)方差矩陣的對角矩陣與非對角矩陣分開估計(jì),并且通過交叉驗(yàn)證策略求解最佳的收縮估計(jì)系數(shù),使得該方法既能夠適用于協(xié)方差稀疏估計(jì)場景,又能適用于協(xié)方差非稀疏估計(jì)場景。該方法適用性更廣,在高維非稀疏情況下相較于傳統(tǒng)方法具有明顯的優(yōu)勢,同時(shí)在高維稀疏情況下也具有與傳統(tǒng)方法相當(dāng)?shù)墓烙?jì)效果。本文結(jié)合滑動(dòng)窗口策略,將線性收縮估計(jì)方法擴(kuò)展到多模式數(shù)據(jù)場景,并且對收縮估計(jì)的目標(biāo)矩陣進(jìn)行了改進(jìn),本文設(shè)置的目標(biāo)矩陣是從歷史可控?cái)?shù)據(jù)中習(xí)得的,能夠進(jìn)一步保證協(xié)方差估計(jì)方法的穩(wěn)健性。

(2)

其中,ε是一個(gè)數(shù)值較小的系數(shù),本文取ε=0.05。則上式可轉(zhuǎn)化為

(3)

(4)

(5)

(6)

本節(jié)的可控模式下的協(xié)方差線性收縮估計(jì)方法適用性如下：①適用于n

2.3 稀疏主特征值檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)建

獲得1,2,…,K種可控運(yùn)行模式的協(xié)方差矩陣Σk后,可以對新樣本進(jìn)行式(1)中的假設(shè)檢驗(yàn)。

在協(xié)方差矩陣稀疏且漂移較小的情況下,ZHU等[25]針對假設(shè)

(7)

構(gòu)建了一種檢測方法,其中,kmax(X)表示矩陣X的最大特征值。通過比較協(xié)方差的最大特征值的差異來比較兩個(gè)協(xié)方差矩陣,當(dāng)兩個(gè)協(xié)方差矩陣存在差別時(shí),與L2和L∞類型檢測相比,差分矩陣的最大特征值可以提取到更少的噪聲。ZHU等[25]構(gòu)建的統(tǒng)計(jì)量為

(8)

2.4 MSPEWMA控制圖設(shè)計(jì)

(9)

(10)

(11)

本文采用MSPEWMA控制圖對過程進(jìn)行監(jiān)控。將MSPEWMA控制圖的統(tǒng)計(jì)量設(shè)置為

(12)

其中,λ是平滑系數(shù)。EWMA控制圖通常取平滑系數(shù)λ為0.05、0.1或0.2。當(dāng)λ取較小值時(shí),它對小漂移更敏感。本文取λ=0.05。

模式之間的切換包括兩類：可控模式之間切換,可控模式切換到失控模式。圖6是一個(gè)模式切換的例子。可控模式1為過程均值向量為μ1、過程協(xié)方差矩陣為Σ1的正態(tài)分布數(shù)據(jù),可控模式2、3同理。三種可控模式的均值向量是維度為p的零向量(μ1=μ2=μ3),協(xié)方差矩陣為參數(shù)不同的指數(shù)衰減型協(xié)方差矩陣：

(a)MSPEWMA模式切換過程(統(tǒng)計(jì)量變化透視圖)

Σ1=(0.25|i-j|)p×pΣ2=(0.5|i-j|)p×p

Σ3=(0.75|i-j|)p×p

MSPEWMA控制圖第I階段監(jiān)控過程如圖7所示。MSPEWMA控制圖的控制限計(jì)算方法步驟如下：

圖7 MSPEWMA控制圖第Ⅰ階段監(jiān)控Fig.7 MSPEWMA control chart monitoring of Ⅰ stage

(1)設(shè)置平滑系數(shù)λ和滑動(dòng)窗口W的值。

(2)設(shè)置模式過渡約束參數(shù)M。

(3)通過線性收縮估計(jì)來估計(jì)K個(gè)可控模式的協(xié)方差矩陣。

(4)設(shè)置MSPEWMA控制圖檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的初始值Z0=0。

(5)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算(式(10)和式(12))和模式識別(式(11))。

(13)

(6)根據(jù)EWMA滑動(dòng)窗口的原理,依次計(jì)算Zn：

(14)

(7)設(shè)置ARL0,通過Monte Carlo模擬計(jì)算MSPEWMA控制圖的UCL值。

圖8 MSPEWMA控制圖第Ⅱ階段監(jiān)控Fig.8 MSPEWMA control chart monitoring of Ⅱ stage

3 模型評估與對比

3.1 模型參數(shù)設(shè)計(jì)

MSPEWMA控制圖的性能受數(shù)據(jù)分布F、可控樣本量m0、數(shù)據(jù)維數(shù)p、漂移量δ、平滑參數(shù)λ和滑動(dòng)窗口大小W的影響。這些參數(shù)設(shè)置如下。

(1)可控樣本數(shù)m0：50、80、100、120、150。

(2)數(shù)據(jù)維度p：20、50、100、150、200。

(3)協(xié)方差漂移量δ：0.2、0.4、0.6、0.8、1.0。

(4)滑動(dòng)窗寬度W：20、40、60、80、100。

(5)模式過渡參數(shù)M：1、2、3、4、5。

(6)數(shù)據(jù)分布F：①多元正態(tài)分布,記為Normp;②具有自由度ξ的多元t分布,記為tp,ξ,其中ξ=5;③多元Gamma分布,形狀參數(shù)φ,記為Γp,φ,其中φ=3。

這四種方案覆蓋了盡可能廣泛的協(xié)方差漂移模式,如圖9所示。在方案OC1和OC2中,漂移僅發(fā)生在協(xié)方差矩陣的前S個(gè)對角元素中,這表明協(xié)方差矩陣中的漂移比較稀疏。與OC1不同,OC2中的漂移在對角元素中具有不同的大小。OC3和OC4中的協(xié)方差矩陣比OC1和OC2中的協(xié)方差矩陣發(fā)生改變的元素更多,因此,OC3與OC4的稀疏性降低。在OC3中,偏移僅發(fā)生在一個(gè)子塊中;而在OC4中,偏移發(fā)生在兩個(gè)子塊中。

(a)OC1：漂移量δ的S×S對角矩陣 (b)OC2：漂移量以5δ/S遞進(jìn)的S×S對角陣

3.2 不同參數(shù)對MSPEWMA控制圖的影響

在不同分布類型F、漂移量δ、滑動(dòng)窗口寬度W、數(shù)據(jù)維度p、可控樣本大小m0的條件下,控制圖在失控狀態(tài)下的性能如圖10～圖13所示。比較不同參數(shù)對MSPEWMA控制圖的影響時(shí),為了方便起見,只選擇第4個(gè)協(xié)方差漂移模型OC4,因?yàn)樵搮f(xié)方差漂移模式具有更好的通用性。其中,平均運(yùn)行長度(average run length,ARL)表示從檢測開始到控制圖超出界限并發(fā)出警報(bào)為止,控制圖所采集的平均樣本數(shù);δ是一個(gè)量綱一的量,表示平均位移的大小;滑動(dòng)窗口W表示在MSPEWMA控制圖的每次檢測中從待測試樣本中選擇的樣本點(diǎn)數(shù)量;數(shù)據(jù)維度p表示待測樣本的變量數(shù)量;可控樣本量m0表示每次檢測從可控樣本中提取的樣本點(diǎn)數(shù)量。模式過渡參數(shù)M為控制圖約束模式之間過渡狀態(tài)的參數(shù),表示發(fā)生模式過渡所需判斷的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。

(a)Norm100,OC4 (b)t100,5,OC4 (c)Γ100,3,OC4圖10 不同滑動(dòng)窗口下MSPEWMA控制圖OC-ARL值的比較Fig.10 Comparison of OC-ARL of MSPEWMA control chart under different sliding windows

(1)滑動(dòng)窗口W的影響。由圖10可以看出,隨著W的增加,三種分布的失控狀態(tài)的平均運(yùn)行長度OC-ARL值逐漸減小。其中,多元t分布的OC-ARL值降低程度更為明顯。結(jié)果表明,滑動(dòng)窗口寬度W越大,MSPEWMA控制圖的控制效果越好。對于3種不同的分布,OC-ARL值隨著W的增大而減小。而對于較大的漂移(δ=1.0),當(dāng)W達(dá)到一定值(W=60)時(shí),OC-ARL值在這種條件不會(huì)再隨著滑動(dòng)窗口的增大而減小。多元t分布的OC-ARL值的減少程度比多元正態(tài)分布和多元Gamma分布的減少程度更明顯。總地來說,滑動(dòng)窗口寬度越大,MSPEWMA控制圖的控制效果越好。

(2)數(shù)據(jù)維度p的影響。由圖11可以看出,對于多變量正態(tài)分布、多變量t分布和多變量Gamma分布,OC-ARL值隨著p的增大而減小。對于δ=0.2,δ=0.4和δ=0.6,OC-ARL值隨著

(a)Normp,OC4 (b)tp,5,OC4 (c)Γp,3,OC4圖11 MSPEWMA控制圖不同維度OC-ARL值的比較Fig.11 Comparison of OC-ARL of MSPEWMA control chart in different dimensions

p的增大而減小。對于δ=0.8和δ=1.0,OC-ARL值已經(jīng)達(dá)到了一個(gè)相對較低的值,不再隨著p的增大而減小。總之,OC-ARL值隨著數(shù)據(jù)維度的增加而逐漸減小并達(dá)到較低的值。因此,數(shù)據(jù)維度越高,MSPEWMA控制圖的控制效果越好,MSPEWMA控制圖在處理高維數(shù)據(jù)方面表現(xiàn)良好。

(3)可控樣本量m0的影響。由圖12可以看出,隨著可控樣本量的增加,三種分布的OC-ARL值逐漸減小,但降幅明顯小于滑動(dòng)窗口和數(shù)據(jù)維度,證明MSPEWMA控制圖不需要過多的可控樣本量。對于3種不同的分布,OC-ARL值隨著可控樣本大小m0的增加而減小,當(dāng)m0達(dá)到約100時(shí),即使m0增大,OC-ARL值也不再增大。另外,多元t分布和多元Gamma分布的下降速度相較于多元正態(tài)分布更快。因此,針對數(shù)據(jù)分布的小漂移(δ較小)時(shí),可控樣本量越大,MSPEWMA控制圖的控制效果越好。針對數(shù)據(jù)分布的大漂移(δ較大)時(shí),即使設(shè)置較小的可控樣本量,也能取得較優(yōu)的監(jiān)測性能。

(4)漂移量δ的影響。由圖10～圖12可以看出,隨著漂移量的增大,三種分布的OC-ARL值逐漸減小。其中,當(dāng)δ為0.8或1時(shí),MSPEWMA控制圖在3種分布下均有較小的OC-ARL值,證明MSPEWMA控制圖在大漂移情況下具有良好的監(jiān)測效果。

(5)模式過渡參數(shù)M的影響。模式過渡約束參數(shù)M表示當(dāng)M個(gè)連續(xù)的統(tǒng)計(jì)量超出控制限時(shí)才判斷過程發(fā)生模式轉(zhuǎn)換(失控模式切換/可控模式切換),因此OC-ARL的最小值是M。由圖13可以看出,在具有較小漂移(如δ=0.2,0.4)的模型中,隨著M的增大,OC-ARL值逐漸減小;而針對具有較大漂移(如δ=0.8,1)的模型,因?yàn)镺C-ARL的最小值與M有關(guān),M的增大會(huì)導(dǎo)致OC-ARL值的增大,因此,監(jiān)測協(xié)方差矩陣元素的大漂移時(shí),建議采用較小的M值。

3.3 與其他方法的性能比較

選擇3個(gè)經(jīng)典協(xié)方差控制圖與所提的MSPEWMA圖進(jìn)行比較：SLED(ZHU等[25])、CLX(CAI等[24])和LC(LI等[23])。可控平均運(yùn)行長度IC-ARL0設(shè)置為200。通過Monte Carlo隨機(jī)模擬獲得控制圖的平均運(yùn)行鏈長。在相同的IC-ARL設(shè)置下,OC-ARL值越小,控制圖的性能越好。

3.3.1單模式下與其他方法的比較

詳細(xì)描述模擬的5個(gè)因素對MSPEWMA控制圖監(jiān)控效果的影響。考慮四種協(xié)方差漂移模型,漂移大小δ考慮總共5個(gè)水平(0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0)。通過Monte Carlo模擬求解數(shù)據(jù)的OC-ARL值。在105次仿真的條件下,當(dāng)可控樣本量m0=100,維度p=100,滑動(dòng)窗口寬度W=50時(shí),將所提的MSPEWMA控制圖與基于協(xié)方差檢驗(yàn)的常用控制圖進(jìn)行了比較,如圖14～圖17所示。

(a)Norm100,OC1 (b)t100,5,OC1 (c)Γ100,3,OC1圖14 漂移模型OC1條件下MSPEWMA與其他控制圖OC-ARL值的比較Fig.14 Comparison of MSPEWMA with other control charts OC-ARL under drift model OC1 conditions

(1)漂移量。與其他多變量非參數(shù)控制圖相比,對于δ=0.2,δ=0.8和δ=1.0條件, MSPEWMA控制圖的OC-ARL值更小,即使在某些情況下差異較小,如圖14b所示。對于δ=0.4和δ=0.6條件,除了圖16a和圖16b,MSPEWMA控制圖的OC-ARL值也相對更小,尤其是對于OC1,可以清楚地看到新方法的優(yōu)勢。綜上,MSPEWMA控制圖在各種漂移量的情況下均具有良好的監(jiān)測效果。

(2) 數(shù)據(jù)分布。MSPEWMA控制在3種不同的數(shù)據(jù)分布下均具有良好的控制效果。根據(jù)圖14～圖17,對于多元Gamma分布,MSPEWMA在4種控制圖中表現(xiàn)最佳。對于多元正態(tài)分布,MSPEWMA相對表現(xiàn)最優(yōu)(除了圖16中OC3條件下δ=0.4和δ=0.6)。對于多元t分布,MSPEWMA相對表現(xiàn)最好(除了圖15b中OC2條件中的δ=0.6和圖16b模型OC3條件中的δ=0.6)。總之,MSPEWMA控制圖在三種不同的數(shù)據(jù)分布中總體來說具有更好的監(jiān)控效果。因此,MSPEWMA控制圖具有較好的通用性,可以有效地監(jiān)控不同分布的數(shù)據(jù)。

(a)Norm100,OC2 (b)t100,5,OC2 (c)Γ100,3,OC2圖15 漂移模型OC2條件下MSPEWMA與其他控制圖OC-ARL值的比較Fig.15 Comparison of MSPEWMA with other control charts OC-ARL under drift model OC2 conditions

(a)Norm100,OC3 (b)t100,5,OC3 (c)Γ100,3,OC3圖16 漂移模型OC3條件下MSPEWMA與其他控制圖OC-ARL值的比較Fig.16 Comparison of MSPEWMA with other control charts OC ARL under drift model OC3 conditions

(a)Norm100,OC4 (b)t100,5,OC4 (c)Γ100,3,OC4圖17 漂移模型OC4條件下MSPEWMA與其他控制圖OC-ARL值的比較Fig.17 Comparison of MSPEWMA with other control charts OC-ARL under drift model OC4 conditions

(3)協(xié)方差漂移模型。根據(jù)圖14～圖17,相較于其他方法,對于協(xié)方差漂移模型OC1和OC4,MSPEWMA控制圖具有更好的監(jiān)測性能,特別是在第一種協(xié)方差漂移模型OC1的情況下,MSPEWMA控制圖的優(yōu)勢更明顯。對于協(xié)方差漂移模型OC2和OC3,由圖15c和圖16c可以發(fā)現(xiàn),MSPEWMA控制圖在多元Gamma分布中表現(xiàn)更好。綜上,在四種協(xié)方差結(jié)構(gòu)下,MSPEWMA控制圖在大多數(shù)情況下都有更好的監(jiān)測性能。

3.3.2多模式下與其他方法的比較

為了獲得控制圖在多模式數(shù)據(jù)下的性能,進(jìn)行了多模式仿真,以檢驗(yàn)所提的MSPEWMA控制圖的特性。四種模擬場景設(shè)計(jì)如圖18所示。通過Monte Carlo隨機(jī)模擬方法獲得MSPEWMA控制圖可控狀態(tài)的平均運(yùn)行長度IC-ARL;同理,求解MSPEWMA控制圖失控狀態(tài)的平均運(yùn)行長度OC-ARL。在三種數(shù)據(jù)分布下,考慮以下模擬場景：①多元正態(tài)分布,記為Normp;②多元t分布,自由度為ξ,記為tp,其中ξ=5;③多元Gamma分布Γp,φ,形狀參數(shù)φ=3。每個(gè)數(shù)據(jù)分布包含200個(gè)采樣點(diǎn),三個(gè)分布在時(shí)間軸上以隨機(jī)方式交替,以此來構(gòu)建可控狀態(tài)的模擬數(shù)據(jù)集。失控狀態(tài)的參數(shù)設(shè)置同3.2節(jié)中的仿真設(shè)置,另外設(shè)置過渡約束參數(shù)M=1,2,4。

圖18 多模仿真中三種數(shù)據(jù)分布的隨機(jī)變換過程Fig.18 Random transformation process of three data distributions in multimode simulation

根據(jù)圖18中的多模式條件,將MSPEWMA與多模式數(shù)據(jù)條件下的其他控制圖進(jìn)行比較。在四種不同協(xié)方差漂移的條件下,當(dāng)m0=100,p=100,滑動(dòng)窗口W=50時(shí),MSPEWMA控制圖均具有更好的監(jiān)測效果,如圖19～圖22所示。在OC2情況下,相較于其他控制圖,MSPEWMA具有更優(yōu)的監(jiān)控效果。相比于其他控制圖在小漂移下的表現(xiàn),MSPEWMA控制圖能夠有效監(jiān)測協(xié)方差小漂移。相較于其他控制圖在大漂移下的表現(xiàn),MSPEWMA控制圖具有明顯的優(yōu)勢。橫向?qū)Ρ冗^渡約束參數(shù)M對控制圖的影響,當(dāng)M取較小的值(如M=1,2)時(shí),對于監(jiān)控協(xié)方差矩陣中的大漂移具有明顯的優(yōu)勢;當(dāng)M取較大的值(如M=4)時(shí),能更好地監(jiān)控協(xié)方差矩陣的小漂移。另外,針對協(xié)方差矩陣中大多數(shù)元素發(fā)生漂移的情況(如OC2,OC4),取更小的M值能獲得更優(yōu)的過程監(jiān)控效果;當(dāng)協(xié)方差矩陣中少數(shù)元素發(fā)生漂移時(shí),取較大的M值能獲得更穩(wěn)健的監(jiān)控效果。理論上來講,M越大,控制圖的策略相對來說會(huì)更保守(可以理解為,M取較大值時(shí),ARL值的方差較小,但ARL的均值較大);M越小,控制圖的策略相對來說會(huì)更激進(jìn)一些(可以理解為,M取較大值時(shí),ARL值的方差相對較大,但ARL的均值相對較小)。

(a)M=1,OC1 (b)M=2,OC1 (c)M=4,OC1圖19 多模式數(shù)據(jù)條件OC1下MSPEWMA與其他控制圖OC-ARL值的比較Fig.19 Comparison of MSPEWMA with other control charts OC-ARL under multimode data conditions OC1

(a)M=1,OC2 (b)M=2,OC2 (c)M=4,OC2圖20 多模式數(shù)據(jù)條件OC2下MSPEWMA與其他控制圖OC-ARL值的比較Fig.20 Comparison of MSPEWMA with other control charts OC-ARL under multimode data conditions OC2

(a)M=1,OC3 (b)M=2,OC3 (c)M=4,OC3圖21 多模式數(shù)據(jù)條件OC3下MSPEWMA與其他控制圖OC-ARL值的比較Fig.21 Comparison of MSPEWMA with other control charts OC-ARL under multimode data conditions OC3

(a)M=1,OC4 (b)M=2,OC4 (c)M=4,OC4圖22 多模式數(shù)據(jù)條件OC4下MSPEWMA與其他控制圖OC-ARL值的比較Fig.22 Comparison of MSPEWMA with other control charts OC-ARL under multimode data conditions OC4

5 實(shí)例分析

能源需求的增加促使風(fēng)電場直徑擴(kuò)大,風(fēng)力發(fā)電機(jī)的狀態(tài)監(jiān)測逐漸成為研究重點(diǎn)。本節(jié)利用MSPEWMA控制圖對風(fēng)電場的SCADA數(shù)據(jù)集進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測。當(dāng)自然風(fēng)速較小時(shí),風(fēng)力發(fā)電機(jī)處于負(fù)功率運(yùn)行狀態(tài);當(dāng)自然風(fēng)速極高時(shí),風(fēng)力發(fā)電機(jī)處于限功率狀態(tài);將正常風(fēng)速區(qū)間的風(fēng)機(jī)運(yùn)行狀態(tài)稱為常態(tài)功率運(yùn)行狀態(tài)。風(fēng)機(jī)呈現(xiàn)出多模式運(yùn)行場景,監(jiān)控協(xié)方差比均值更加恰當(dāng),并且在正常運(yùn)行時(shí),協(xié)方差統(tǒng)計(jì)量也能提取更多故障信息,具有更小的噪音。

本節(jié)選擇18號風(fēng)機(jī)的“液壓系統(tǒng)主壓力過低”故障,并依據(jù)第1節(jié)的介紹將風(fēng)機(jī)狀態(tài)分為“負(fù)功率運(yùn)行、限功率運(yùn)行和常態(tài)功率運(yùn)行”。研究了MSPEWMA控制圖在三種數(shù)據(jù)模式下對故障數(shù)據(jù)的監(jiān)測效果。從SCADA數(shù)據(jù)集40余個(gè)變量中剔除了數(shù)據(jù)波動(dòng)較小、數(shù)據(jù)正常或異常狀態(tài)下無差異的變量,進(jìn)而提取了12個(gè)變量：齒輪箱冷卻水溫度、風(fēng)輪轉(zhuǎn)速、機(jī)艙溫度、報(bào)警狀態(tài)、發(fā)電機(jī)冷卻水溫度、瞬時(shí)風(fēng)速、箱變油溫、發(fā)電機(jī)定子U溫度、有功功率、座艙溫度、低速軸承溫度、高速軸承溫度。在正常樣本數(shù)據(jù)集中,隨機(jī)選擇m0=100作為可控樣本,并將控制圖的基本參數(shù)設(shè)置為ARL0=200,λ=0.05,W=20,其中,ARL0為可控狀態(tài)下的平均運(yùn)行鏈長,λ為平滑系數(shù),W為滑動(dòng)窗口寬度。首先,根據(jù)控制圖參數(shù)的設(shè)置,利用可控?cái)?shù)據(jù)集獲得控制限。待監(jiān)測的樣本由隨機(jī)選擇的200個(gè)可控樣本數(shù)據(jù)和200個(gè)失控樣本數(shù)據(jù)組成。其中,可控樣本包括3種模式：負(fù)功率運(yùn)行模式、限功率運(yùn)行模式、常態(tài)功率運(yùn)行模式。失控樣本為該風(fēng)機(jī)的“液壓系統(tǒng)主壓力過低”故障。運(yùn)用MSPEWMA控制圖對待檢測樣本進(jìn)行監(jiān)控,獲得的控制圖見圖23。

在第一種情況下,如圖23a、圖23d、圖23g、圖23j所示,系統(tǒng)從常態(tài)功率運(yùn)行狀態(tài)下過渡到故障狀態(tài)。MSPEWMA控制圖在故障發(fā)生后的第3個(gè)觀測點(diǎn)發(fā)出警報(bào),而SLED在第9個(gè)觀測點(diǎn),CLX在第8個(gè)觀測點(diǎn),LC在第4個(gè)觀測點(diǎn)報(bào)警。在第二種情況下,如圖23b、圖23e、圖23h、圖23k所示,系統(tǒng)從限功率狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)楣收蠣顟B(tài)。MSPEWMA控制圖在故障發(fā)生后的第2個(gè)觀測點(diǎn)發(fā)出警報(bào),而SLED在第7個(gè)觀測點(diǎn),CLX在第11個(gè)觀測點(diǎn),LC在第6個(gè)觀測點(diǎn)報(bào)警。在第三種情況下,如圖23c、圖23f、圖23i、圖23l所示,系統(tǒng)從負(fù)功率狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)楣收蠣顟B(tài)。MSPEWMA控制圖在故障發(fā)生后的第2個(gè)觀測點(diǎn)發(fā)出警報(bào),而SLED在第12個(gè)觀測點(diǎn),CLX在第9個(gè)觀測點(diǎn),LC在第11個(gè)觀測點(diǎn)報(bào)警。綜上所述,與其他3種控制圖相比,本文提出的MSPEWMA控制圖對異常數(shù)據(jù)更敏感,報(bào)警更快,監(jiān)控效果更好。

6 結(jié)論

針對工業(yè)數(shù)據(jù)監(jiān)測的幾個(gè)挑戰(zhàn)：多模式性、高維性、非正態(tài)性,本文設(shè)計(jì)了一種考慮模式約束的基于協(xié)方差檢驗(yàn)的多模式在線監(jiān)測方法——MSPEWMA控制圖,并且結(jié)合SCADA系統(tǒng)采集的風(fēng)機(jī)實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證了所提方法的有效性和準(zhǔn)確性。通過與其他方法的仿真分析與實(shí)例分析,得到以下結(jié)論：

(1)MSPEWMA控制圖針對小漂移的條件在大部分情況下表現(xiàn)更好,針對大漂移的條件表現(xiàn)始終良好,證明MSPEWMA控制圖具有更優(yōu)的監(jiān)測性能。

(2)對于監(jiān)控分布未知的數(shù)據(jù),MSPEWMA控制圖在正態(tài)和非正態(tài)數(shù)據(jù)方面都表現(xiàn)良好,證明MSPEWMA控制圖具有更好的通用性,適用于數(shù)據(jù)分布未知的監(jiān)測任務(wù)。

(3)MSPEWMA控制圖采用模式過渡約束參數(shù)M的策略,并且研究了約束參數(shù)M對控制圖性能的影響,給出在不同的監(jiān)控狀況下約束參數(shù)M的建議值,使得控制圖能夠有效處理模式之間的過渡狀態(tài),進(jìn)一步減少由模式之間的過渡引起的控制圖誤報(bào)。