考慮載荷交互影響的非均勻損傷累積模型

吳志峯 高建雄 徐蓉霞 朱鵬年

新疆大學機械工程學院,烏魯木齊,830017

0 引言

構件可能受到不同負載的作用而導致損傷累積,其中因交變載荷持續加載而產生的疲勞破壞占據大多數[1],占失效概率的80%～90%,因此,如何精準預測構件的疲勞壽命是當下亟待解決的重大問題。機械構件在服役歷程中承受的載荷異常復雜,而交變載荷疲勞壽命試驗數據相對較少,相反地,恒幅載荷疲勞壽命試驗目前已積累了大量的試驗數據。利用損傷等效法則結合恒幅載荷試驗數據可預測交變載荷疲勞壽命[2]。

本文首先提出一種恒幅載荷下基于剩余壽命的非均勻疲勞損傷理論,然后闡述了載荷加載次序效應,并證明該非均勻損傷模型可考慮載荷加載次序效應。再次驗證了載荷間的相互作用,提出相鄰兩級載荷存在相互影響,定義并引入了載荷交互影響因子,提出了等效損傷新模型。最后將非均勻損傷模型與等效損傷新模型結合,構造了多級變幅載荷下的非均勻損傷模型。

1 非均勻損傷累積模型

Miner法則認為損傷是均勻的,例如在恒幅載荷加載下,該法則認為每次循環產生的損傷是1/Nf,Nf是構件的疲勞壽命。實際上,材料的性能劣化促進損傷累積的進程,在損傷演化初期,每次循環產生的損傷相對較少,后期損傷相對較大?；诓牧系氖Ｓ嗥趬勖?可認為載荷第一次循環造成的損傷為1/Nf,第二次循環造成的損傷為1/(Nf-1),以此類推,載荷第n次循環造成的損傷為1/(Nf-n+1),Nf可由S-N曲線求得。此時,面臨的問題為循環次數n=N時,單次循環造成的損傷Di=1,即構件失效的所有損傷均由最后一次循環造成,這與事實不符。一般認為損傷是一個從0到1持續增加的數值。本文定義損傷D=Dr/Dc。Dr、Dc可表示為

(1)

(2)

綜上所述,本文定義的損傷D可表示為

(3)

式(3)即恒幅載荷下的非均勻損傷模型的原理式。根據積分思想,式(3)可近似為

(4)

式(4)為恒幅載荷下的非均勻損傷模型的簡易計算形式。

多級載荷下的壽命預測需要恒幅載荷下的損傷累積模型與損傷等效法則相結合,損傷等效法則如圖1所示。

圖1 等效損傷法則示意圖Fig.1 Schematic diagram of equivalent damage law

(5)

聯立式(4)與式(5),可估算兩級載荷下的疲勞剩余壽命：

n2=(Nf1-n1)lnNf2/lnNf1

(6)

在兩級載荷的剩余壽命基礎上進行迭代,可得到三級載荷下的疲勞剩余壽命：

n3=[(Nf1-n1)lnNf2/lnNf1-n2]lnNf2/lnNf1

(7)

根據式(7),在三級載荷加載下的剩余壽命基礎上進行迭代計算,可得到任意多級載荷下的疲勞剩余壽命表達式：

ni={[(Nf1-n1)lnNf2/lnNf1-n2]lnNf3/lnNf2-

…-ni-1}lnNfi/lnNf(i-1)

(8)

式(8)為多級載荷下的剩余壽命預測模型,此模型的未知參數相對較少,形式上非常簡潔,具有一定的工程應用價值。

2 載荷間的交互影響

2.1 載荷加載次序效應的闡述

疲勞失效是一個極度復雜的物理過程,Miner法則從疲勞失效機理上進行了簡化。金屬材料的失效機理中包含了多種影響因素,且損傷變量與載荷變量之間表現出高度的非線性相關,損傷累積變量可描述為

D=F(σ,n,f,T,?,κ,τ,ζ)

(9)

式中,σ為平均應力;f為載荷加載頻率;T為環境溫度;?為環境濕度;κ為與金屬材料屬性相關的系數;τ為與結構特征相關的函數;ζ為與其他環境因素相關的系數。

在實際工況下,載荷加載頻率、金屬材料性能、結構細節特征等因素已給定,空氣濕度與環境溫度相對穩定,則式(9)可簡化為

D=F(σ,n)

(10)

以兩級循環載荷為例,非線性損傷演化曲線如圖2所示。

圖2 D-n非線性損傷演化曲線Fig.2 D-n nonlinear damage evolution curve

對式(10)進行偏微分,可得到損傷演化方程：

(11)

若載荷加載次數用累積損傷表示,則式(11)可表示為

(12)

為便于表達,特規定符號φ(D),可令

(13)

由式(13)可得

=φ(D)φ(σi)

(14)

式(14)等號兩邊對D偏微分并進行數學形式變換,可得

(15)

由式(15)可知,f(D,σi)是一個關于D和σi的可分離函數。f(D,σi)的分離性決定了損傷模型不具備載荷加載次序效應。特別地,就Miner法則而言,其損傷演化方程式可表示為

f(D,σi)=1/Nfi

(16)

結果可發現,Miner法則的損傷演化函數為一個載荷變量,具備可分離性。文獻[2]指出,載荷變量與損傷變量的不可分離性是產生載荷加載次序效應的前提條件,因此Miner法則不具備載荷加載次序效應。根據式(15)和式(16),線性損傷累積法則和非線性損傷累積法則不具備載荷加載次序效應的根本原因是損傷演化函數的可分離性。

基于剩余壽命的非均勻損傷累積模型的損傷演化函數可表示為

(17)

將Basiquin公式代入式(17)可得

(18)

由式(18)可知,基于剩余壽命的非均勻損傷模型的損傷演化函數具備載荷變量與損傷變量的不可分離性,因此,該模型具備載荷加載次序效應。

2.2 考慮載荷間交互影響的等效損傷模型

疲勞損傷的破壞機理極為復雜,斷裂力學理論認為,疲勞進程由內因和外因共同推進,應力強度因子k(σ,a)是描述整個疲勞失效過程的控制參量,其中σ為外加載荷,是推進疲勞進程的外因;a為裂紋長度,相當于損傷變量,是推進疲勞進程的內因。這種失效準則被稱為“二元失效判據”。由式(10),以載荷循環比表征損傷變量,可得到損傷變量的函數表達式：

(19)

傳統的損傷等效模型表達式可定義為

(20)

文獻[14]指出,對于高層錯能材料,高、低載荷加載產生的疲勞機理有所不同;對于低層錯能材料,高、低載荷加載產生的位錯結構也有所不同。因此,傳統意義上的損傷等效模型的等效機理并不充分,不同應力水平下的等效損傷點并不存在。根據上述觀點,可認為式(20)的等效機理存在一定局限性。

一般認為,當載荷為高-低順序加載時,高載荷會破壞材料的晶粒結構,使裂紋提前形成,對損傷累積有促進作用。低-高順序加載下,低載強化效應會阻礙損傷的發展。因此,可認為相鄰兩級載荷間存在交互影響。有研究指出[15],不同應力水平下的損傷演化規律會相互影響,前級載荷會影響后級載荷的損傷累積進程。

高-低載荷加載時,高載荷的持續加載使裂紋提前形成,如圖3所示,高載荷的持續作用干涉低載荷的損傷演化趨勢,假設未干涉前的損傷演化趨勢為AF,則干涉后的損傷演化趨勢應為AH,即此干涉作用可促進損傷趨勢的發展。

圖3 高-低加載D-n/N損傷演化曲線Fig.3 High-low loading D-n/N damage evolution curve

將曲線AH平移到E點并進行延伸,可得到一條損傷曲線OCE,與曲線OBE不同的是,OCE這條曲線考慮了前級載荷對后級載荷的影響,假設此曲線的損傷方程與式(19)相似,可令其為

D=Φ(n/Nf,σ2)

(21)

根據損傷等效法則,構件在應力σ1下加載n1次產生的損傷等效于應力σ2下按照曲線OCE單獨作用n2″ 次產生的損傷。如圖3所示,考慮載荷間交互作用的損傷演化路徑為OA→AC→CE,相應的損傷等效方程式可表示為

(22)

損傷曲線OCE是以曲線OBE為基礎構造的,且F(n/Nf,σ)和Φ(n/Nf,σ)均與n/Nf有某種冪函數關系,因此可以假定Φ(n/Nf,σ)可由F(n/Nf,σ)改變冪指數來得到,故其方程可表示為

Φ(n/Nf,σ)=[F(n/Nf,σ)]ω

(23)

式中,ω為載荷交互因子,用于表征上級載荷與后級載荷之間的交互影響效應。

由圖3可知,高-低加載時,ω>1;反之,低-高加載時,ω<1;若是恒幅加載,則不存在載荷間的交互影響效應,即ω=1。文獻[16]認為,相鄰兩級載荷間,載荷水平相差愈大,載荷間的交互影響愈顯著。根據以上分析,可將交互影響因子定義為

其中,σi為第i級載荷對應的疲勞壽命。則式(23)可表示為

(24)

為方便書寫,特規定如下符號：

(25)

根據式(25),結合式(24),推廣至任意多級載荷下的等效損傷新模型,模型表達式為

(26)

式(26)為考慮載荷交互影響的等效損傷模型,相較于傳統損傷等效模型,新模型彌補了傳統模型忽略載荷交互影響的缺陷。

2.3 多級載荷下的損傷累積模型

式(8)形式簡便,且未知參數較少,但它是基于恒幅載荷下的非均勻損傷模型與傳統損傷等效模型相結合建立的,其局限性在于忽略了載荷間的交互影響?；谑Ｓ鄩勖姆蔷鶆驌p傷模型與等效損傷新模型相結合,構造考慮載荷交互影響的非均勻損傷累積模型可彌補這一局限。

以兩級載荷為例,將式(8)與式(26)結合,構建考慮載荷間交互影響的非均勻損傷累積模型的表達式：

(27)

其中,下標mp代表改進模型。以兩級載荷下的表達式為基礎進行迭代,可得到三級載荷下的損傷累積模型表達式：

(28)

根據式(28),將其推廣至任意多級載荷下的考慮載荷交互影響的非均勻損傷累積模型,模型表達式為

(29)

式(29)為多級載荷下的考慮載荷交互影響的非均勻損傷累積模型的一般函數式,此形式結構簡單,未知參數較少,且可通過S-N曲線進行求解,在工程應用中較為實用。

疲勞壽命預測模型為

(30)

3 算例驗證與分析

以文獻[17]中Al-2024-T45合金和文獻[18]中30NiCrMoV12鋼試驗數據來驗證本文模型的正確性。30NiCrMoV12鋼的抗拉強度為1035 MPa,疲勞極限為391 MPa,試件經過回火及硬化處理,疲勞壽命數據見表1。

表1 30NiCrMoV12鋼疲勞試驗壽命

Al-2024-T45合金具有高強度、耐高溫的特點,被廣泛應用于航空航天領域,用來制作例如飛機螺旋槳、蒙皮、翼肋等零部件,其疲勞壽命試驗數據見表2。

表2 Al-2024-T45合金疲勞試驗壽命

載荷加載方式為應力控制,應力比R=-1,試驗加載參數見表3、表4。由表3、表4可發現,模型式(30)的預測精度最高,預測穩定性最強,模型式(8)的精度和穩定性相對較差,但仍滿足使用要求。Corton-Dolan模型的預測精度與穩定性接近Miner法則,且能滿足使用要求,但預測精度稍顯不足。

表3 Al-2024-T45合金疲勞試驗數據及模型對比

由圖4、圖5可以發現,式(8)模型和式(30)模型的預測值都分布在1.5倍的公差帶內,證明了所提模型的可行性,其中式(30)模型的預測穩定性相對較高。

圖4 Al-2024-T45合金疲勞壽命及各模型對比Fig.4 Fatigue life of Al-2024-T45 alloy and model comparison

(a)前8行數據

式(8)與式(30)之間的差距在于是否考慮載荷間的交互影響,通過試驗分析證明載荷間的交互影響是影響預測精度的重要因素,且這種影響會隨著載荷加載次數的增多變得越來越大。實際情況下,構件承受的載荷異常復雜,載荷間的交互影響非常大,這也是Miner法則在使用中不滿足精度要求的重要原因。

4 結語

本文針對變幅載荷加載過程的復雜性,從剩余壽命出發建立恒幅載荷下的非均勻損傷累積模型,結合傳統損傷等效模型與考慮載荷間交互影響的損傷等效新模型分別建立多級載荷下疲勞壽命預測模型和多級載荷下考慮載荷交互影響的疲勞壽命預測模型,將模型應用于兩級載荷加載中,通過與試驗數據的對比,驗證了模型具有較高的壽命預測精度。