融合多策略的黃金正弦黑猩猩優化算法

劉成漢 何 慶

在過去的20 年中,元啟發式算法由于其簡單性、靈活性和較高的魯棒性被廣泛關注.常見的元啟發式算法有遺傳算法(Genetic algorithm,GA)[1]、粒子群優化(Particle swarm optimization,PSO)算法[2]、灰狼優化(Grey wolf optimization,GWO)算法[3]和蝴蝶優化算法[4]等.隨著技術不斷發展和更新,元啟發式算法在復雜優化問題上表現卓越,如路徑規劃[5]、電力系統控制[6]等工程設計問題.

2020 年,Khishe 等[7]提出黑猩猩優化算法(Chimp optimization algorithm,ChOA),該算法是一種基于黑猩猩種群社會行為的啟發式智能優化算法,ChOA 與其他智能優化算法相比,具有參數少、易實現、穩定性高等優點.盡管不同的智能優化算法存在不同的搜索方式,但其目標大多都是探索種群多樣性和搜索能力之間的平衡,在保證收斂精度和速度的同時,避免早熟現象的發生[8].針對上述思想,眾多學者對其研究的智能優化算法做了改進,例如王堅浩等[9]提出一種基于混沌搜索策略的鯨魚優化算法,采用混沌反向學習策略初始化種群,保證了初始化種群的質量;寧杰瓊等[10]利用混沌映射初始化蝴蝶個體的位置,以此增加算法初期種群的多樣性;王秋萍等[11]引入基于余弦規律變化的收斂因子和基于歐氏距離的比例權重因子,平衡算法的探索和開發能力;Ewees 等[12]通過將蝗蟲優化算法與對立學習策略相結合,同時引入深度探索搜索域策略,從而加快了算法的收斂速度;Dinkar 等[13]提出一種基于對立的拉普拉斯蟻獅搜索算法,采用對立的學習模型確保在搜索空間的同時,探索原始和相反的候選解,從而在進化過程中評估更好的候選解;呂鑫等[14]提出一種混沌麻雀搜索算法,通過產生混沌序列擾動陷入局部最優的解,促使其跳出局部最優值;Sayed 等[15]提出一種二進制克隆花授粉算法,通過將克隆選擇算法和花授粉算法相結合,構成二元克隆花授粉算法,以解決原始花粉克隆算法易陷入局部最優解的問題.

綜上所述,智能優化算法和改進機制層出不窮、各具優勢,適用于解決一些優化問題,但在另外一些問題的求解上,會顯露出不足.因此,為了提高ChOA 的尋優性能和適用性,探索更適合解決實際優化問題的方法,本文提出一種融合多策略的黃金正弦黑猩猩優化算法(Multi-strategy golden sine chimp optimization algorithm,IChOA).該算法采用Halton 序列初始化種群,生成更加均勻個體,保證算法初期的多樣性,提高算法收斂速度和精度;同時,引入非線性收斂因子和自適應權重因子,平衡算法的搜索能力,加快算法收斂速度;最后,根據黃金正弦算法的相關思想更新個體位置,避免算法過早收斂.仿真實驗采用23 個標準測試函數以及部分CEC2014 測試函數進行尋優測試,并采用Wilcoxon 秩和檢驗進行統計分析,驗證了算法的優越性.通過2 個工程設計優化問題的實驗對比結果表明,IChOA 相較于其他算法,更具優勢.

1 基本黑猩猩搜索算法

ChOA 算法是根據黑猩猩種群的捕獵行為提出的一種群智能優化算法,一般黑猩猩的狩獵過程分為探索和開發兩個階段.探索階段即驅動、阻擋和追逐獵物,開發階段即攻擊獵物.黑猩猩捕獵行為的仿生學原理描述如下.

為了用數學模型模擬黑猩猩的行為,假設第1個攻擊者(最佳解決方案)、驅趕者、阻礙者和追趕者能發現潛在獵物的位置,其他黑猩猩被迫根據最佳黑猩猩的位置更新自己的位置.黑猩猩驅趕和追逐獵物的數學模型為:

式中,d(t)為獵物與黑猩猩間的距離,t為當前迭代次數,a和c為系數向量,m是由混沌映射產生的混沌向量,XP為獵物的位置向量,XC為黑猩猩的位置向量.a和c向量表示如下:

式中,f為線性衰減因子,隨著迭代次數的增加,f值由2.5 線性衰減到0,r1和r2是取值為[0,1]的隨機數.

參數a為 [-2f,2f] 的隨機變量,假設a的值為[-1,1]時,獵物停止移動,此時黑猩猩必須攻擊獵物結束捕獵.因此,采取降低f值的方式迫使黑猩猩結束捕獵,黑猩猩的下一個位置可以在當前位置與獵物位置之間的任意位置.

黑猩猩攻擊獵物數學模型為:

由式(5)～(7)可知,黑猩猩個體最終的位置是隨機分布在一個由攻擊者、阻礙者、追逐者和驅趕者黑猩猩位置所確定的圓圈中,即獵物位置是由4個最好的個體來估計的,而其他黑猩猩則隨機更新它們在附近的位置.

種群在捕獵的最后階段個體獲得食物滿足,隨后的社會動機會使黑猩猩釋放它們的天性,此時,黑猩猩個體試圖強行混亂地獲得食物.黑猩猩在最后階段的混亂行為,有助于進一步緩解解決高維問題時的局部最優陷阱和收斂速度慢這兩個問題.

原始黑猩猩算法使用了6 種具有隨機行為的確定性混沌過程映射,為了模擬這種社會行為,假設有50%的概率在正常的位置更新機制或混沌模型中選擇其一更新黑猩猩的位置,社會性刺激行為數學模型為:

式中,μ是取值[0,1]的隨機數,Chaotic是混沌映射,用來更新解的位置.

2 改進的黑猩猩搜索算法

在基本ChOA 中,種群初始化處理采用隨機分布方式,這種隨機方式導致算法多樣性降低,個體尋優存在一定的盲目性;其次,算法用來平衡局部搜索和全局搜索能力的收斂因子f采用線性規律下降因子,并不符合算法迭代過程中的非線性尋優規律;最后,對于加強算法跳出局部極值能力的混沌擾動Chaotic,其只有50%概率隨機觸發,具有很大的不穩定性,雖然有一定的概率帶領個體跳出局部最優值點,但是并沒有考慮尋優過程中個體位置信息的變化.

綜上所述,本文針對上述算法原理上的缺陷,引入相應策略進行改善,具體策略如下.

2.1 Halton 序列初始化種群

原始黑猩猩優化算法采用rand 函數隨機初始化種群,所得到的種群隨機性高,但是不一定均勻地分布在整個解空間,導致種群搜索速度慢,算法多樣性不足.針對上述問題,本文引入Halton 序列產生偽隨機數來初始化種群,偽隨機數的遍歷性使個體更加均勻地分布在整個解空間[16],提高初始化時算法的多樣性,個體能快速發現優質解的位置,從而加快算法收斂,提高算法收斂精度.

對于二維Halton 序列,其實現過程為: 選取兩個質數作為基礎量,通過對兩個基礎量不斷切分,從而組合成一系列均勻分布且不重復的點,其切分過程數學模型為:

式中,n∈[1,N] 為任意整數,p是大于等于2 的質數,bi ∈{0,1,···,p-1}為常數,p表示Halton 序列基礎量,θ(n)是定義的序列函數,H(n)為最后得到的二維均勻Halton 序列.

圖1 為基本黑猩猩算法產生的種群隨機初始化個體分布圖.圖2 為使用Halton 序列產生的初始種群分布圖,其中Halton 序列基礎量為base1=2,base2=3.

圖2 使用Halton 序列產生的初始種群分布圖Fig.2 Halton sequence initialized population distribution map

由圖1 和圖2 的對比分析可知,Halton 序列產生的種群分布雖然隨機性并不高,但是分布更為均勻,并沒有出現個體重疊現象.由此可知,Halton序列產生的種群質量更高,算法多樣性更好.

2.2 非線性收斂因子和自適應權重因子

2.2.1 非線性收斂因子

評價啟發式算法性能好壞的重要環節之一是能否平衡算法的全局搜索能力和局部開發能力.由前面的分析可知,隨機變量a=[-2f,2f],當|a|≤1時,個體攻擊獵物收斂;當 |a|＞1 時,個體分散搜尋獵物,因此收斂因子f的變化決定了算法局部和全局搜索能力的平衡.基本ChOA 算法的收斂因子f由2.5 線性下降到0,這種線性變化并不能適應算法對于復雜多峰函數的尋優,導致算法尋優速度緩慢,甚至陷入局部最優值.因此,本文引入一種非線性變化的收斂因子,在算法迭代前期種群大范圍搜索時,緩慢衰減的收斂因子能讓種群更好地搜索全局最優解;在算法迭代后期種群收斂,此時快速衰減的收斂因子有利于算法局部尋找最優解.同時,加入控制因子k,能控制衰減的幅度,非線性收斂因子的數學模型描述如下:

式中,t為當前迭代次數,Maxiter為最大迭代次數,fm為收斂因子的初始值.k∈[1,10] 為控制因子,k能控制f衰減幅度,k越大時,收斂因子衰減越慢;反之,收斂因子衰減越快.線性收斂因子f和控制因子k,取k=1,5,10 的非線性收斂因子,對比如圖3所示.

圖3 收斂因子對比圖Fig.3 Contrast diagram of convergence factors

2.2.2 自適應權重因子

權重因子在目標函數優化中起著重要的作用,合適的權重能夠加快算法收斂,提高算法收斂精度.針對ChOA 算法尋優過程中收斂速度慢、精度不高問題,引入一種自適應調整的權重因子ω: 在算法迭代初期,給予一個較大的權重使種群以大步長遍歷整個搜索空間,有利于算法快速搜尋全局最優位置,加快算法收斂;在算法迭代中/后期,算法逐漸收斂,個體局部搜尋最優解,此時給予一個較小的權重,有利于算法以小步長精細探索最優位置,提高算法收斂精度;最后,在算法迭代末期,針對ChOA算法易陷入局部最優問題,給予個體位置一個相對較大的擾動,有利于算法跳出局部最優解.自適應權重因子ω數學模型如下:

式中,δ1、δ2、δ3、ρ1、ρ2、ρ3為常數系數,t為當前迭代次數,t=(1,2,···,Maxiter),ε為指定迭代次數.自適應權重因子ω曲線見圖4.

圖4 自適應權重因子 ω 曲線Fig.4 Adaptive weighting factor ω curve

2.3 黃金正弦策略更新位置

2017 年,Tanyildizi 等[17]根據正弦函數相關思想,提出黃金正弦算法,該新型智能算法具有尋優速度快,調參簡單、魯棒性好等優點.黃金正弦算法使用正弦函數與單位圓的特殊關系結合黃金分割系數進行迭代搜索,通過正弦函數掃描單位圓模擬算法探索搜索空間的過程.

公元前4 世紀,古希臘數學家Eudoxus 首次提出黃金分割系數概念,黃金分割系數不需要梯度信息,每個步驟僅需要迭代一次,同時,黃金分割系數的收縮步驟是固定的.因此,將正弦函數與黃金分割率組合,可以更快地找到函數的最大值或最小值.同時,黃金正弦搜索策略的遍歷性能有效防止算法陷入局部最優值.黃金正弦算法數學模型如下:

式中,t為當前迭代次數;R1和R2分別為取值 [0,2π] 和 [0,π] 的隨機數,表示下一代個體移動的距離和方向;x1和x2為黃金分割系數,用來縮小搜索空間,引導個體向最優值收斂;是當前最優個體的位置.黃金分割系數x1和x2數學模型如下:

式中,α和β是搜索間隔;τ是黃金分割比,取值約為0.618033.

2.4 IChOA 實現流程和偽代碼

IChOA 算法的具體實現步驟如下:

步驟1.利用Halton 序列初始化種群,包括種群個體數N,最大迭代次數Maxiter,維度d,種群搜索邊界lb、ub等,并設置相關參數.

步驟2.計算當前種群的搜索空間,返回超出搜索空間的個體.

步驟3.計算種群中每個個體的適應度fit并排序,記錄當前最好個體Pbest和最差個體Pworst.

步驟4.更新攻擊者、追趕者、追逐者和阻礙者位置.

步驟5.更新非線性擾動因子f和自適應權重因子ω,以及參數A和C.

步驟6.隨機選取部分個體根據式(12)更新位置,其他個體按照式(5)～(7)更新位置.

步驟7.根據式(8)引入混沌算子.

步驟8.重復步驟3～7,直到達到最大迭代次數或者算法收斂.

算法1.IChOA 算法偽代碼

初始化.Halton 序列種群并設置相關參數.

2.5 IChOA 算法時間復雜度分析

基本ChOA 算法的時間復雜度為O(N×d×Maxiter),其中N為種群規模,d為維度,Maxiter為最大迭代次數.IChOA 算法時間復雜度分析如下:

1)引入Halton 序列初始化種群的時間復雜度為 O (N×d),則引入Halton 序列初始化種群的ChOA (HChOA)的時間復雜度為O(N×d×Maxiter+N×d)=O(N×d×Maxiter);

2)假設引入自適應權重和非線性收斂因子所需的時間分別為t1和t2,因此引入自適應權重和非線性收斂因子的ChOA 算法(WChOA)的時間復雜度為O(N×d×Maxiter+t1+t2)=O(N×d×Maxiter);

3)引入黃金正弦算法的時間復雜度為 O (N×d),因此引入黃金正弦算法更新位置的ChOA 算法(GChOA)的時間復雜度為O(N×d×Maxiter+N×d)=O(N×d×Maxiter).

綜上所述,IChOA 算法的時間復雜度為O(N×d×Maxiter).由此可知,本文提出的IChOA 算法時間復雜度與ChOA 算法時間復雜度一致.

3 實驗仿真與結果分析

3.1 參數設置

仿真實驗使用的計算機配置為Intel Core i5-7500U,主頻為3.40 GHz,內存32 GB,操作系統64 bit,計算環境為Matlab2016(a).本文選取基本黑猩猩算法(ChOA)、粒子群優化算法(PSO)[18]、灰狼優化算法(GWO)[19]和鯨魚優化算法(Whale optimization algorithm,WOA)與IChOA 算法進行對比,基本參數統一設置為: 種群規模N=30,最大迭代次數Maxiter=500,維度分為低維d=30、高維d=500.各算法參數設置見表1.

表1 算法參數設置Table 1 Parameter setting of algorithm

3.2 測試函數介紹

為了測試IChOA 算法的尋優性能,采用文獻[20]使用的23 個基準測試函數進行函數尋優測試,其中,f1～f7為單峰函數,f8～f13為復雜多峰函數,f14～f23為固定維度多峰函數,基準測試函數相關信息如表2 所示.

表2 基準測試函數介紹Table 2 Introduction to benchmark functions

3.3 各改進策略尋優性能對比

3.3.1 Halton 序列初始化種群性能分析

為了提高種群初始化的均勻性,提高種群多樣性,本文引入Halton 序列相關思想初始化種群.取Halton 序列基礎量為base1=2、base2=3,種群規模N=30,最大迭代次數Maxiter=500,基本ChOA與加入Halton 序列的ChOA (HChOA)在單峰測試函數f1、f3和多峰測試函數f9、f12上的尋優對比如圖5 所示.

圖5 ChOA 與HChOA 收斂對比圖Fig.5 Convergence curve of ChOA and HChOA

由圖5 可知,對于單峰測試函數f1和多峰測試函數f9,HChOA 能收斂到更接近于理論最優值,說明引入Halton 序列的ChOA 算法在基本函數尋優精度上有一定的優勢;對于單峰測試函數f3和多峰測試函數f12,HChOA 收斂速度比ChOA 更快,說明Halton 序列初始化種群提高了種群初期多樣性,對于提高算法收斂速度和精度都有一定幫助,雖然這種優勢并不明顯,但是對于后期引入其他策略尋優有較大幫助.

3.3.2 引入自適應權重因子和非線性收斂因子性能分析

由第2.2 節的分析可知,自適應權重因子和非線性收斂因子對于算法全局搜索和局部開發能力的平衡起著至關重要的作用.為了平衡算法的勘探和開發能力,本文引入自適應權重因子ω和改進的非線性收斂因子f.取維度d=30,最大迭代次數Maxiter=500,種群規模N=30,其中權重因子ω公式中的相關參數已在第3.1 節給出,基本ChOA與引入自適應權重因子和非線性收斂因子的ChOA(WChOA)對于單峰測試函數f2、f7和多峰測試函數f10、f11尋優結果對比如圖6 所示.

圖6 ChOA 與WChOA 收斂對比圖Fig.6 Convergence curve of ChOA and WChOA

由圖6 可以看出,對于單峰函數f2和多峰函數f11,WChOA 能夠直接收斂到理論最優值0;對于單峰函數f7,WChOA 不管是在收斂速度還是在收斂精度上都優于ChOA;對于多峰函數f10,WChOA能收斂到更接近于全局最優解.綜上所述,引入自適應權重因子和非線性收斂因子對算法尋優速度和精度有一定幫助.

3.3.3 引入黃金正弦策略性能分析

黃金正弦算法以正弦函數為基礎,結合了黃金分割算子進行迭代尋優.為了加快ChOA 收斂,提高算法跳出局部最優值的能力,本文引入黃金正弦策略更新種群位置.取維度d=30,最大迭代次數Maxiter=500,種群規模N=30,搜索間隔α=π,β=-π,基本ChOA 與引入黃金正弦策略算法更新位置的ChOA (GChOA)對單峰測試函數f4、f6和多峰測試函數f8、f13尋優結果對比如圖7 所示.

圖7 ChOA 與GChOA 收斂對比圖Fig.7 Convergence curve of ChOA and GChOA

由圖7 可知,對單峰函數f4、f6和多峰函數f13,GChOA 的收斂速度明顯快于ChOA,并且在收斂精度上也有很大提升;對復雜多峰函數f8,GChOA能夠跳出局部最優值,收斂到理論最優值 -12 569.48附近,說明引入黃金正弦算法相關思想更新種群位置,對于算法跳出局部最優解有一定幫助,同時能加快算法收斂,提高收斂精度.

3.4 IChOA 算法與其他算法性能對比

為了驗證IChOA 對于基本測試函數的尋優性能,選取基本黑猩猩算法(ChOA)、粒子群優化算法(PSO)[18]、灰狼優化算法(GWO)[19]和正弦余弦黑猩猩優化算法(Sine cosine ChOA,SChOA)[21]進行尋優對比,各算法統一取維度d=30,最大迭代次數Maxiter=500,種群規模N=30,各算法其他相關參數由表1 給出,利用表2 給出的23 個基本測試函數進行算法尋優對比測試,各算法分別運行50 次,取平均值,對比結果如表3 所示.

表3 各算法尋優結果對比(30 維)Table 3 Comparison of optimization results of each algorithm (30 dim)

由表3 對比結果可知,對于單峰函數,除了f6函數效果比PSO 算法差外,IChOA 在其他函數上的尋優結果都優于其他智能算法,其中f1～f6能找到理論最優值.對于復雜多峰函數,IChOA 表現同樣出色,其中f9和f11能找到最優值.對于f8函數,IChOA 能跳出局部最優解,更接近于理論最優值-12 369.49.對于固定維度測試函數,IChOA 基本上都能收斂到最優值附近,其中f14、f16、f18和f21函數能直接收斂到理論最優值,說明IChOA 相比于其他算法,在基礎函數尋優上,有明顯優勢.

3.5 IChOA 算法與其他算法高維性能對比

為了測試IChOA 對于高維函數的尋優能力,選取基本黑猩猩算法(ChOA)、粒子群優化算法(PSO)、灰狼優化算法(GWO)和鯨魚優化算法(WOA)與IChOA 進行高維函數尋優對比,取維度d=500,最大迭代次數Maxiter=500,各算法其他相關參數由表1 給出,尋優對比結果如圖8 所示.

圖8 各算法500 維尋優對比曲線Fig.8 Comparison curves of 500-dimensional optimization of each algorithm

由圖8 可知,對于單峰函數f1、f2、f3、f4和多峰函數f9、f11,IChOA 在500 維時,仍然能找到最優值0;對于單峰函數f6,雖然IChOA 尋優效果并不是最好的,但是其收斂速度是最快的;對于500維復雜多峰函數f8,IChOA 仍然能跳出局部最優值,收斂到最優值 -12 569.49.由圖8 可以看出,對于高維測試函數,IChOA 同樣具有很大的優勢.

3.6 Wilcoxon 秩和檢測

Wilcoxon 秩和檢驗是一種非參數統計檢驗方法,能夠檢測更為復雜的數據分布,一般的數據分析只是針對當前數據的平均值和標準差,并沒有與算法多次運行的數據進行對比,因此這種數據對比分析是不科學的.為了全面體現IChOA 的優越性,采用統計分析方法對每一次仿真結果進行分析,從統計學角度分析IChOA 與其他算法的性能差異.選取IChOA 在12 個測試函數的運行結果與PSO、GWO、WOA、ChOA 和GChOA 運行結果進行Wilcoxon 秩和檢驗并計算p值,當p小于5% 時,可以被認為是拒絕零假設的有力驗證[22].NaN 表示沒有數據與算法對比,“+”、“=”和 “-”分別表示IChOA尋優性能好于、等于和差于其他算法,Wilcoxon 秩和檢驗結果如表4 所示.

表4 Wilcoxon 秩和檢驗結果Table 4 Wilcoxon rank sum test results

由表4 可知,IChOA 的Wilcoxon 秩和檢驗結果p值基本上都小于5%,從統計學上說明,IChOA對于基本函數的尋優性能優勢明顯,從而進一步體現了IChOA 的魯棒性.

3.7 CEC2014 測試函數實驗分析

CEC2014 測試函數[23]是由多個基本優化測試函數的權值組合而成,這種基函數的權值組合使測試函數的特征更為復雜,利用這些特征復雜的測試函數對本文IChOA 方法進行測試,一方面體現IChOA 對于復雜函數優化的優越性能;另一方面,多測試函數的組合優化可以體現IChOA 對于不同復雜優化問題的適用性.因此,為了進一步測試IChOA的魯棒性,本文選取部分CEC2014 單目標優化函數進行求解分析,其中包括單峰、多峰、混合和復合類型函數,函數相關信息如表5 所示.本文將IChOA與標準PSO 算法[24]、標準正弦余弦算法(Sine cosine algorithm,SCA)[25]、線性自適應差分進化算法(Linear success-history based adaptive differential evolution,L-SHADE)[26]、引入Halton 序列初始化種群的黑猩猩優化算法(HChOA)和引入黃金正弦優化算法更新個體位置的黑猩猩優化算法(GChOA)進行對比.其中,L-SHADE 算法在CEC2014測試函數中表現卓越,常用來作為對比.實驗參數取種群規模為N=50,維度d=30,最大迭代次數Maxiter=2 000,每個函數獨立運行50 次,取平均值和標準差.優化對比結果見表6.

表5 部分CEC2014 函數介紹Table 5 Introduction of part CEC2014 function

表6 CEC2014 函數優化對比Table 6 CEC2014 function optimization comparison

由表6 可知,L-SHADE 算法在單峰函數上表現良好,但是對于多峰、混合和復合函數,IChOA 具有明顯優勢,例如對于多峰測試函數CEC05,IChOA能夠收斂到理論值500 附近,而PSO 算法等其他算法性能相對表現較差;對于混合和復合測試函數,IChOA 以及其變體優勢也比較明顯,在CEC19 和CEC22 測試函數上,IChOA 尋優結果更接近理論最優值,比PSO 算法、L-SHADE 算法和SCA 算法更具優勢.此外,除了CEC27 函數以外,IChOA 穩定性普遍更高,驗證了IChOA 的穩定性.

3.8 IChOA 平均運行時間和成功率分析

為了驗證IChOA 處理優化問題的速度和成功率,選取基本ChOA、HChOA、WChOA 和GChOA,與IChOA 進行基準測試函數平均尋優時間和尋優成功率對比,實驗數據統一設置為: 維度d=30,種群規模N=30,最大迭代次數Maxiter=500,各算法運行30 次,取運行時間平均值和標準差,定義算法尋優成功率如下[27].

設適應度誤差為F(u):

式中,u為算法運行次數,X(u)為算法運行第u次的實際尋優結果,X′為理論最優值,定義變量δ(u):

式中,ε為適應度誤差精度,具體取值見表2.算法尋優成功率P為:

各算法對于23 個基準測試函數的平均尋優時間以及尋優成功率對比結果見表7.

表7 基準函數尋優平均時間及成功率對比Table 7 Comparison of average time and success rate for optimization of benchmark function

由表7 可知,HChOA、WChOA、GChOA 和IChOA 在優化問題的處理速度上,相比于ChOA都具有一定優勢,除了f9和f14函數外,IChOA的尋優速度都是最快的,說明本文提出的改進策略在一定程度上加快了算法收斂速度,而本文將3 個策略融合后得到的IChOA 尋優速度最快;其次,IChOA 在16 個基準函數上尋優成功率達到100%且在23 個函數上的尋優成功率相比其他對比算法都是最高的,說明IChOA 對于優化問題的處理穩定性較高.綜上所述,本文提出的IChOA 在優化問題處理上兼顧速度和穩定性,具有較高的魯棒性.

4 IChOA 算法工程算例應用分析

近年來,工程算例應用作為優化問題中的一個熱門領域,受到廣泛關注.為了進一步驗證IChOA在處理實際工程應用案例的優越性,選取文獻[21]中的罰函數作為非線性約束條件,對焊接梁設計問題與拉力/壓力彈簧優化設計問題進行優化處理,并將IChOA 優化結果與基本遺傳算法(GA)、粒子群優化算法(PSO)、鯨魚優化算法(WOA)、灰狼優化算法(GWO)、黑猩猩優化算法(ChOA)和文獻[21]中其他算法進行對比.

4.1 焊接梁設計問題

焊接梁設計問題目的在于降低焊接梁制造成本,數學模型如式(21)、式(22)所示:

式中,x1、x2、x3和x4分別表示焊接梁的焊縫寬度h、橫梁寬度d、長度l和厚度b四個基本屬性.約束條件包括剪切應力τ、橫梁彎曲應力δ、屈曲載荷J、橫梁撓度δ和其他內部參數約束.圖9為焊接梁模型的基本構造.

圖9 焊接梁模型Fig.9 Welding beam model

表8 為各算法求解焊接梁設計問題的尋優結果的平均值,包括射線優化算法(Ray optimization,RO)[21]、多元宇宙算法(Multi-verse optimizer,MVO)[21]、正余弦哈里斯鷹算法(An efficient hybrid sine-cosine Harris hawks optimization,HSSAHHO)[21]和SChOA 算法[21].各算法獨立運行50 次,取平均值.

表8 焊接梁設計問題結果對比Table 8 Comparative results of welding beam design problems

由表8 可以看出,IChOA 對于焊接梁設計問題的優化效果明顯高于其他算法,雖然IChOA 對于單個焊接梁屬性的優化結果不都是最優的,但其總體造價相比于其他算法優化效果最佳.

4.2 拉力/壓力彈簧優化設計問題

拉力/壓力彈簧優化設計問題的目的是減小彈簧壓力/拉力的質量,該優化設計包含的約束條件有剪應力、振動頻率和最小振動撓度,變量分別用x1、x2和x3表示,分別代表彈簧線圈直徑d、彈簧圈直徑D和繞圈數量P.彈簧優化設計問題模型如圖10 所示.

圖10 拉力/壓力彈簧優化設計問題模型Fig.10 The model of tension/pressure spring optimization design

拉力/壓力彈簧優化設計問題表示如下:

表9 為各算法求解焊接梁設計問題的尋優結果的平均值,包括RO 算法[21]、飛蛾火焰優化(Mothflame optimization,MFO)算法[21]、HSSAHHO 算法[21]和SChOA 算法[21].各算法獨立運行50 次,取平均值.

表9 拉力/壓力彈簧優化設計問題結果對比Table 9 Comparison of tension/compression spring design

由表9 可知,雖然IChOA 對于彈簧的繞圈數量要求略高于SChOA,但是對于彈簧線圈直徑和彈簧圈直徑優化結果都低于SChOA,并且總體優化結果略低于SChOA,說明IChOA 對于工程設計問題的優化效果具有優勢.

綜上所述,通過以上兩個工程設計優化問題實驗對比結果可以看出,本文提出的IChOA 對于實際工程設計問題的優化,同樣具有一定的優越性,進一步體現了IChOA 的魯棒性.

5 結束語

本文在原始ChOA 基礎上,提出一種融合多策略的黃金正弦黑猩猩優化算法,通過分析種群初始化分布,引入Halton 序列,提高了算法初期的種群多樣性,引入改進的非線性收斂因子和自適應權重因子,提高了算法的搜索能力,結合黃金正弦算法思想更新個體位置,防止算法過早收斂.通過對23個基本測試函數和部分CEC2014 測試函數進行尋優測試以及Wilcoxon 秩和統計檢驗,驗證了該算法的優越性.最后通過兩個實際工程設計優化問題,進一步驗證了IChOA 在實際工程應用中的有效性.通過對本文改進策略的分析可以看出,改進算法所需參數量較多且算法的尋優性能受非線性收斂因子影響較大,對于收斂因子的選取依然存在改進的空間.因此,今后工作將繼續研究改進的優化策略,以提高ChOA 的可操作性和適用性,并將其應用到更為復雜的優化問題中.