全概率公式背景下的遞推數列

廣東省佛山市樂從中學(528315) 林國紅

一、全概率公式

條件概率是舊版教材要求掌握的內容,新課標在條件概率的基礎上,增加了全概率公式與貝葉斯公式(選學). 全概率公式是概率論中最基本且最重要的公式之一, 也已成為2019 版普通高中教科書(人教版)數學選擇性必修第三冊的重要內容,具備“承上啟下”的作用,在表現形式上拓展了條件概率,同時也作為貝葉斯公式的理論基礎. 可以預見,在高考、強基或競賽等試題中會常看到全概率公式的身影,因此如何應用全概率公式變得非常重要.

完備事件組設A1,A2,··· ,An為n個事件,若滿足:

(1)完全性:A1∪A2∪···∪An=?;

(2)互不相容性:AiAj=?,i≠j,i,j=1,2,··· ,n;

(3)P(Ai)>0,i=1,2,··· ,n.

則稱A1,A2,··· ,An為? 的一個完備事件組(或稱A1,A2,··· ,An構成樣本空間? 的一個劃分).

全概率公式如果事件A1,A2,··· ,An是樣本空間? 的一個完備事件組, 則對任意的事件B??, 有

全概率公式可以形象地看成“由原因推結果”,每個原因對結果的發生有一定的“作用”,即結果發生的可能性與各種原因的“作用”大小有關, 全概率公式表達了它們之間的關系. 全概率公式常用于多個原因導致一個結果發生的知因求果的概率預測,表示將一個復雜事件B的概率分解成若干個簡單事件的概率之和,這是全概率公式的基本思路. 在不易直接求解事件B結果的情況下,需要根據具體情況構造一組完備事件組,得到完備事件組中每個事件的概率,以及在這些事件上的條件概率,然后利用全概率公式求和得到事件B的概率.

二、全概率公式背景下的遞推數列的應用舉例

在一些復雜的概率計算問題中,特別是概率與試驗次數n有關的問題,可以利用全概率公式得到概率的遞推關系,再結合數列的相關知識求解. 本文采擷幾例展示全概率公式與遞推數列交匯的美妙,旨在揭示解題的規律與方法,供大家參考.

2.1 全概率公式在高考中的應用

例1(2023 年新課標Ⅰ卷第21 題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規則如下:若命中由此人繼續投籃,若末命中則換為對方投籃. 無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽決定第1 次投籃的人選,第1 次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2 次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

(3)已知:若隨機變量Xi服從兩點分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi= 0) =qi,i= 1,2,··· ,n,則記前n次(即從第1 次到第n次投籃)中甲投籃的次數為Y,求E(Y).

解答(1)第2 次投籃的人是乙的概率為0.6,過程略.

(2) 設事件Ai表示“第次投籃的人是甲”, 第i次投籃的人是甲的概率pi=P(Ai), 則事件表示“第i次投籃的人是乙”, 第i次投籃的人是乙的概率為P() = 1-P(Ai) = 1-pi, 顯然Ai,構成完備事件組. 又P(Ai+1|Ai) = 0.6,-0.8 = 0.2,且

由全概率公式, 得:P(Ai+1) =P(Ai)P(Ai+1|Ai) +所以pi+1= 0.6pi+ 0.2(1 -pi), 即所以數列以首項為公比為的等比數列, 故有, 所以. 所以第i次投籃的人是甲的概率為

例2(2019 年全國Ⅰ卷理科第21 題)為了治療某種疾病,研制甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗. 試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗. 對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥. 一輪的治療結果得出后,再安排下一輪試驗. 當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時,就停止試驗,并認為治愈只數多的藥更有效. 為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1 分,乙藥得-1 分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分,甲藥得-1 分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分. 甲、乙兩藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列;

(2) 若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4 分,pi(i=0,1,··· ,8) 表示“甲藥的累計得分為i時, 最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率, 則p0= 0,p8= 1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,··· ,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1),假設α=0.5,β=0.8.

(i)證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,··· ,7)為等比數列;

(ii)求p4,并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

解答(1)X的所有可能取值為-1,0,1. 于是P(X=-1) = (1 -α)β,P(X= 0) =αβ+ (1 -α)(1 -β),P(X=1)=α(1-β). 所以X的分布列為

X -1 0 1 P (1-α)β αβ+(1-α)(1-β)α(1-β)

(2) (i) 因為α= 0.5,β= 0.8, 由(1) 得a=P(X=-1)=0.4,b=P(X=0)=0.5,c=P(X=1)=0.1. 因為pi=api-1+bpi+cpi+1,所以pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因為p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,··· ,7)為公比為4,首項為p1的等比數列.

(ii)由(i)可得

由于p8=1,故,所以

p4表示最終認為甲藥更有效的概率,由計算結果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8 時,認為甲藥更有效的概率為此時得出錯誤結論的概率非常小,說明是這種試驗方案合理.

解后思考:試題中遞推公式的由來 解答完例2 后,進一步思考:試題中所給出的遞推公式pi=api-1+bpi+cpi+1是否合理? 能否根據題意推出遞推公式呢?

事實上,是不需要給出遞推公式的,遞推公式可以根據題意推出來!

由題意可知,若甲得分為i,則下一輪,甲得分要么變為i-1,要么不變,要么變為i+1,其相應的概率為a,b,c,其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).

設事件A表示“一輪試驗中,施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈”, 事件B表示“一輪試驗中, 施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈”,事件C表示“一輪試驗中, 都治愈或都未治愈”, 則A,B,C構成完備事件組. 且有P(A) =P(X= 1) =c,P(B) =P(X= -1) =a,P(C)=P(X=0)=b.

設事件M表示“甲藥的累計得分為i時, 最終認為甲藥比乙藥更有效”, 則P(M) =pi. 其中P(M|A) 表示在甲藥的累計得分為i時, 施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈的條件下, 最終認為甲藥比乙藥更有效的概率, 此時甲藥的累計得分為i+ 1, 所以P(M|A) =pi+1.同理P(M|B) =pi-1,P(M|C) =pi. 由全概率公式,得:P(M)=P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B)+P(C)P(M|C),即pi=api-1+bpi+cpi+1.

所以試題完全可以不給出遞推公式,試題把最難的遞推公式直接給出來,原因有兩個:2019 年高考學生使用的是舊教材,還沒學習全概率公式;二是為了降低難度,給出遞推公式是為了控制整個試題的難度,讓考生相對更容易解答.

評注事實上,本試題還有深刻的概率論背景,是一個簡單的隨機過程的馬爾科夫鏈問題,即是“有雙側吸收壁的直線上的隨機游走問題”,詳細分析可參看文[1].

例3(2020 年高考江蘇卷第25 題)甲口袋中裝有2 個黑球和1 個白球,乙口袋中裝有3 個白球. 現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋,重復n次這樣的操作,記甲口袋中黑球個數為Xn,恰有2 個黑球的概率為pn,恰有1 個黑球的概率為qn.

(1)求p1,p2和q1,q2;

(2)求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系式和Xn的數學期望E(Xn)(用n表示).

解答(1),過程略.

(2)由題設可知,Xn的可能取值為0,1,2,由于P(Xn=2)=pn,P(Xn=1)=qn,故P(Xn=0)=1-pn-qn. 事件{Xn= 2},{Xn= 1},{Xn= 0}構成完備事件組. 由全概率公式,有:

P(Xn= 2|Xn-1= 2) 表示在第n次交換前, 甲口袋已經有2 個黑球, 而第n次交換后仍有2 個黑球的概率, 此時即把甲口袋中的白球與乙口袋的白球交換, 因此

P(Xn= 2|Xn-1= 1) 表示在第n次交換前, 甲口袋恰有1 個黑球, 而第n次交換后甲口袋有2 個黑球的概率, 此時即把甲口袋中的白球與乙口袋的黑球交換, 因此

P(Xn= 2|Xn-1= 0) 表示在第n次交換前, 甲口袋沒有黑球, 而第n次交換后甲口袋有2 個黑球的概率,這是不可能事件, 因此P(Xn= 2|Xn-1= 0) = 0. 所以即

同理有:

P(Xn= 1|Xn-1= 2) 表示在第n次交換前, 甲口袋已經有2 個黑球, 而第n次交換后只有1 個黑球的概率, 此時即把甲口袋中的黑球與乙口袋的白球交換, 因此

P(Xn= 1|Xn-1= 1) 表示在第n次交換前, 甲口袋恰有1 個黑球, 而第n次交換后甲口袋仍恰有1 個黑球的概率, 此時即把甲口袋中的白球與乙口袋的白球交換或者把甲口袋中的黑球與乙口袋的黑球交換, 因此

P(Xn= 1|Xn-1= 0) 表示在第n次交換前, 甲口袋沒有黑球, 而第n次交換后甲口袋恰有1 個黑球的概率, 此時即只把甲口袋中的白球與乙口袋的黑球交換,因此所以P(Xn= 1) =即

Xn 0 1 2 P 1-pn-qn qn pn

所以

2.2 全概率公式在競賽中的應用

例4(2017 年廣西省高中數學聯賽競賽預賽第6 題)一名籃球隊員進行投籃練習. 若第n次投籃投中,則第n+1 次投籃投中的概率是;若第n次投籃不中,則第n+1 次投籃投不中的概率是. 若該隊員第1 次投籃投中的概率為,則第4 次投籃投中的概率為____.

解答設事件Ai表示“第i次投籃投中”, 第i次投籃投中的概率為pi=P(Ai)(i= 1,2,··· ,n), 則事件Ai表示“第i次投籃不中”, 第i次投籃投不中的概率為顯然Ai,構成完備事件組.

例5(2018 年湖南省高中數學聯賽預賽B 卷第12 題)棋盤上標有第0,1,2,··· ,100 站,棋子開始時位于第0 站,棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲. 若擲出正面,棋子向前跳出一站;若擲出反面,棋子向前跳出兩站,直到跳到第99 站(勝利大本營)或第100 站(失敗大本營)時,游戲結束. 設棋子跳到第n站的概率為pn.

(1)求p3的值;

(2)證明:pn+1-pn=

(3)求p99,p100的值.

解答(1)棋子跳到第3 站有以下三種途徑:連續三次擲出正面,其概率為;第一次擲出反面,第二次擲出正面,其概率為; 第一次擲出正面,第二次擲出反面,其概率為因此

(2) 設事件Ai表示“棋子跳到第i站”, 則棋子跳到第i站的概率為pi=P(Ai)(i= 1,2,··· ,n), 顯然A1,A2,··· ,An構成完備事件組. 又= 0(i= 1,2,··· ,n-2).由全概率公式,得:

(3) 由(2) 可知, 數列{pn-pn-1}(n≥1) 以首項為公比為的等比數列, 故有, 所以p99=由于若跳到第99 站時,自動停止游戲,故有

三、教學啟示

1. 復雜事件的概率計算是概率中的一個重難點問題,其技巧性強,方法比較靈活,往往與試驗次數有關,較難一一枚舉. 利用全概率公式計算復雜事件的概率,關鍵在于找到適當的完備事件組對樣本空間進行分割,“適當”是指在完備事件組下該事件的條件概率能夠較為容易求得. 通過本文的例子分析,不難發現,找準完備事件組,把事件的概率看作一個數列,利用全概率公式建立遞推關系,結合數列的相關知識,能有效解決許多復雜事件的概率計算問題.

2. 根據《普通高中數學課程標準(2017 年版,2020 年修訂)》,人教版新教材對概率內容進行了調整,在條件概率的基礎上增加了樣本空間(有限)、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式(選學)等內容,新增內容使得高中概率知識體系更完整. 尤其是條件概率、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式(即“一個概念,三個公式”)的整體“融入”,強化了條件概率在求解概率問題中的應用,有利于學生全面領悟概率的本質,增強解決概率問題的思維能力和邏輯推理能力, 對于落實“立德樹人”的根本任務,有著特別重要的價值.

3. “一個概念, 三個公式”也將是高考命題的重要方向:2023 年新課標Ⅰ卷第21 題的問題(2)考查全概率公式;2022 年新課標Ⅰ卷第20 題就著重考查了條件概率(需要說明的是:試題也可以用貝葉斯公式解答);2019 年全國Ⅰ卷理數第21 題就是以馬爾科夫鏈為背景,結合全概率公式命制的. 全國卷對“一個概念,三個公式”的連續考查理應引起師生的重視.

4.“一個概念,三個公式”的教學不能止于公式的記憶和死板的應用,要理解概念、公式之間的聯系,把握概念與公式的本質: ①以條件概率為邏輯起點,理順關系,掌握知識間的邏輯結構. ②要充分理解條件概率與三個公式的意義,注意“條件”的相對性與“條件”的變化. ③要掌握通過“事件”引領,注重事件的轉化和樣本空間的分析,以事件與空間串聯問題線索的問題解決方法,分析事件之間關系、概率關系.