對一道分式型最值問題的探究

廣東省云浮市云浮中學(527300) 成永深

題目(《數學教學》2023 年第2 期問題1173 為) 當x> 1,y> 2,z> 3 時, 求的最小值.

解法1易證當x> 1,y> 2,z> 3 時,事實上,有

解法2設s=a+b+c,a,b,c,s>0,則

取等條件為a+b+c=6,2a=b,3b=2c,c=3a即

解法3設a,b,c>0,由均值不等式得

當a= 1,b= 2,c= 3,即時取等號.

解法4由已知條件結合柯西不等式和配方法得

解法5由柯西不等式結合基本不等式得

二 變式拓展

2.1 變式1當x>1,y>2 時,求

的最小值.

解如圖1 所示, 在直線l上依次取點P,O,Q, 使得OP= 1,OQ= 2,AP垂直于PQ且OA=x,BQ垂直于PQ且OB=y, 四邊形APQA′為矩形. 則AP=所以

圖1

取等條件為A,O,B三點共線且A′B= 3, 即y=即時取等號.

變式2當x>1,y>2,z>4 時,求

的最小值.

解設a,b,c>0,由代數變形結合均值不等式得

2.2 推廣

推廣1已知a1>b1,a2>b2且a1,a2為變量,b1,b2為正常量,則的最小值為2(b1+b2).

證明設則

當a1=a+1,a2=b+2,b1= 1,b2= 2 時,則問題就是2018 奧地利數學奧林匹克不等式題:

已知a,b∈R+,則

推廣2已知a1>b1,a2>b2,··· ,an>bn且a1,a2,··· ,an為變量, {bn} 為正項等差數列或等比數列, 記數列{bn}的前n項和為sn,則

的最小值為2sn.

證明設,則

2.3 幾個結論

結論1若bn=n(n∈N?),則

的最小值為n(n+1).

結論2若bn=n+1(n∈N?),則

的最小值為n(n+3).

結論3若bn=n+k(n∈N?,k=0,1,2,···),則

的最小值為n(n+2k+1).

結論4若bn=2n-1(n∈N+),則

的最小值為2(2n-1).

當a1=d1+b1,a2=d2+b2,··· ,an=dn+bn,bn=n(n∈N?),則

的最小值為n(n+1),取等號條件為

該問題便是2018 奧地利數學奧林匹克不等式題的推廣.