又逢比大小 方法知多少
——對2023 四省測試第8 題的解析與拓展

福建省福清第三中學(350000) 唐洵

1 題目與解析

由國家教育部教育考試院組織命制的2023 年四省(云南、吉林、黑龍江、安徽)高三數學適應性能力測試受到了業界的廣泛關注,其中試卷的第8 題為比大小問題,其命題方式新穎獨到,在注重知識的綜合性與應用性考查的同時,又不失基礎性.

題目(2023 年四省高三適應性能力測試第8 題) 已知a,b,c滿足a=log5(2b+3b),c=log3(5b-2b),則()

A. |a-c|≥|b-c|,|a-b|≥|b-c|

B. |a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|

C. |a-c|≤|b-c|,|a-b|≥|b-c|

D. |a-c|≤|b-c|,|a-b|≤|b-c|

解法1(特殊值借力, 一步登天) 令b→ 0+, 則a→log52,c→-∞,易知|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|,故選B.

注當題設給出的a,b,c滿足一定的等量關系或不等關系時,優先考慮選擇滿足條件的特殊值或者極限狀態,通過運算分析排除若干錯誤選項;值得注意的是,特殊值要優選,例如本題中如令b=2,則a=log513,c=log321,在計算上就不如方法一來得簡潔;但并非所有的比較大小問題都能夠通過巧取特殊值來解決,下面再讓我們來看看此類問題的一般性解法:

分析依題意, 5b-2b> 0, 即則b> 0, 則a= log5(2b+3b) > log52 > 0; 注意到b= 1 時,a= 1,c= 1,此時|a-c| = |b-c| = |a-b| = 0. 注意: 下面的解法均使用上述步驟,以下不再贅述.

解法2(差函數開路,披荊斬棘) ①若b>1,則

易知f(b) 在(1,+∞)上單調遞減, 故f(b)

易知g(b) 在(1,+∞) 上單調遞增, 故g(b) >g(1) = 0, 則c>b;故c>b>a>1,故|a-c|>|b-c|;

即a+c-2b>0,故0

②若0 a>b>c, 則|a-c| > |b-c|;a+c- 2b< 0, 則0

綜上所述,|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|,故選B.

解法3(商函數擺渡,激流勇進) ①若b>1,易知a>1,c>1,則=log5b(2b+3b)<1,故a 1, 故c>b, 則c>b>a>1,故|a-c|>|b-c|;而

②若0 a>b>c,|a-c|>|b-c|;

綜上所述,|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|,故選B.

解法4(單調性協助,手到擒來)由a=log5(2b+3b)得,5a=2b+3b;由c=log3(5b-2b)得,3c=5b-2b.

①若b> 1, 易知51< 5a= 2b+ 3b< 5b,3c=5b-2b>3b,則c>b>a>1,故c-a>c-b>0,則|a-c|>|b-c|;而5a-3b=5b-3c=2b,且3b>3a>0,故而,故3b-a< 3c-b, 則0

②若0 a>b>c, 故a-c>b-c> 0, 則|a-c| > |b-c|;b-a>c-b,即a-b

綜上所述,|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|,故選B.

方法五(圖像法引航,乘風破浪)

令f(x)=log5(2x+3x),g(x)=log3(5x-2x),在同一直角坐標系中分別作出y=f(x),y=g(x),y=x在(0,+∞)上的大致圖像如圖1 所示;當0 1 時,結合圖像易知|a-c| > |b-c|; 而5a= 2b+3b,3c= 5b-2b,則5a-5b= 3b-3c,令p(x) = 3x,q(x) = 5x,在同一直角坐標系中分別作出y=p(x),y=q(x)的大致圖像如圖2 所示;當0 1 時,結合指數函數高度與跨度之間的關系可知|b-c|>|a-b|.

圖1

圖2

綜上所述,|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|,故選B.

解法5(導數法幫襯, 水滴石穿) 令f(b) =a-b=log5(2b+3b)-b,b∈(0,+∞),故

故f(b)在(0,+∞)上單調遞減,而f(1)=0,故當0 0, 即1 >a>b; 當b> 1 時,f(b) < 0, 即b>a>1;令g(b)=b-c=b-log3(5b-2b),b∈(0,+∞),則

故g(b)在(0,+∞)上單調遞減,而g(1)=0,故當0 0,即b>c,當b> 1 時,g(b) < 0,即c>b;故當0 a>b>c,當b> 1 時,c>b>a> 1,無論何種情況,都有|a-c|>|b-c|;而

其中

易知2 ln 3·ln 5-ln 2·ln 3-ln 2·ln 5>0,2 ln 3·ln 5-ln 2·ln 5-(ln 3)2>0,而

故f′(b)-g′(b)>0.

而0 >f′(b) >g′(b), 則 |f′(b)| <|g′(b)|, 而 |f(1)| =|g(1)| = 0, 結合上述單調性以及導函數的變化趨勢,在同一直角坐標地中分別作出y=|f(x)|,y=|g(x)|的大致圖像如圖3 所示,觀察可知,當b∈(0,1)∪(1,+∞)時,|f(b)|<|g(b)|,則|a-b|<|b-c|.

圖3

綜上所述,|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|,故選B.

注事實上,在比較a,b,c的大小關系時還可以使用對數平均不等式,過程如下,

由對數平均不等式可知,

故

若b>1,則

即a

則c>b>a>1;0

3 拓展延伸

基于上述問題,筆者通過聯想得到如下推論:

推論1已知正數a,b,c滿足1

證明依題意,令

綜上所述,推論1 成立.

推論2已知正數a,b,c滿足1

證明證法同推論1,從略.

推論3已知正數a,b,c滿足1

證明若x=1,則|m-x|=|n-x|=|m-n|=0;若x>1,由推論1 可知,n>x>m>1,則|n-x|<|m-n|;而cm-bx=cx-bn=ax, 故則故bx-m

綜上所述,推論3 成立.

推論1-3 研究了a+b=c的情況,如果a+b≠c,那么是否也有類似的推論呢? 筆者通過思考得到以下推論;

推論4已知正數a,b,c滿足1c,則x0>1.

證明令f(x)=logc(ax+bx)-x=當a+b 0,故?x0∈(0,1),使得logc(ax0+bx0)=x0. 而ax0+bx0=cx0,即bx0=cx0-ax0,故x0= logb(cx0-ax0); 同理可得,當a+b>c時,x0>1. 綜上所述,推論4 成立.

推論5m,n,x0的定義如推論4. 若a,b,c∈(1,+∞),則?x∈(x0,+∞),都有x0

推論6m,n,x0的定義如推論4. 若a,b,c∈(1,+∞),則?x∈(0,x0),都有n

推論5、6 的證法同推論1,此處從略.

推論7m,n,x0的定義如推論4. 若a,b,c∈(1,+∞),則?x∈(0,+∞),都有|m-x|≤|n-x|≤|m-n|,當且僅當x=x0時等號成立.

推論7 的證法同推論3,此處從略.

4 舊題新編

本題雖然作為單選題的壓軸題,但由于四個選項的一致性,使用特值法可以輕松得到結論,這似乎命題意圖的設定以及核心素養的考向相違背,鑒于此想法,筆者對題目稍作改編,得到如下試題,有興趣的讀者可以自行探究.

變式已知a,b,c滿足a= log5(2b+2+ 3b),c=log3(5b-2b+2),現有如下說法: ①a>c; ②|a-c|≥|b-c|;③|a-b|≤|b-c|;則上述說法正確的數目為()

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3