一道解析幾何競賽試題的拓展探究

甘肅省蘭州市第六中學(730060) 焦永垚

一、試題呈現

例1(2023 年全國高中數學聯賽吉林省預賽第14 題)已知橢圓經過點P(-2,0),且其焦距為

(1)求橢圓M的方程;

(2)過點Q(-2,-1)的直線l與橢圓M的下半部分相交于兩個不同點A,B,連接PA,PB分別交直線y= -1 于C,D兩點. 求證: |QC|+|QD|-|QC|·|QD|為定值.

二、拓展探究

若記橢圓的下頂點為R′,則試題第(2)問的結論可化為為定值,經探究發現,可以將此結論推廣到一般的橢圓中:

結論1已知橢圓點P(a,0),R(0,b),過點Q(a,b)的直線l與M交于A,B兩點,直線PA,PB分別交直線y=b于點C,D. 設則為定值.

證明設直線l的方程為y-b=k(x-a) (k≠ 0),與M的方程聯立可得

由?>0 得k>0. 設A(x1,y1),B(x2,y2),則

又直線PA的方程為與y=b聯立可得,,同理得由可得xC-a= -λa,則,同理,,于是

類比結論1,可得雙曲線中的類似結論:

結論2已知雙曲線P(a,0),R(0,b),過點Q(a,b)的直線l與M交于A,B兩點,直線PA,PB分別交直線y=b于點C,D. 設則為定值.

證明過程與結論1 類似,略.

結論3已知雙曲線P(a,0),R(0,b),R′(0,-b),過點Q(a,b)的直線l與M交于A,B兩點,直線PA,PB分別交直線QR′于點C,D. 設為定值.

證明設直線l的方程為y-b=k(x-a),與M的方程聯立可得

直線PA和直線QR′的方程分別為和將這兩個方程聯立可得xC-同理得xD-a=又因為所以xC-a= -λa, 則, 同理,, 于是

同樣,在拋物線中也有類似結論:

結論4已知拋物線M:y2= 2px(p>0), 過點Q(0,m) (m≠ 0)的直線l與M交于A,B兩點,直線QR與拋物線M相切于點R(R異于坐標原點),直線OA,OB(O為坐標原點)分別交直線QR于點C,D. 設為定值.

證明設直線l的方程為y=kx+m,與M的方程聯立得k2x2+2(km-p)x+m2=0,由?>0 可得2km-p<0且k≠0. 設A(x1,y1),B(x2,y2),則

設切線QR的方程為y=k′x+m,與M的方程聯立得k′2x2+2(k′m-p)x+m2= 0,由?= 0 得,直線QR的方程為且又直線OA的方程為與方程聯立可得同理可得xD=. 又因為所以xC=λxR,即,同理于是

三、探究延伸

至此,筆者還感覺意猶未盡,上述結論對一般的極點與極線還成立嗎? 能否得到一個圓錐曲線的統一性質? 為了更進一步探明以上問題,我們先介紹幾個關于調和點列和調和線束的定義和性質.

定義1[1]若A,B,C,D四點共線,則這四點A,B,C,D的交比(AB,CD)定義為四條有向線段的比: (AB,CD) =(其中表示有向線段的數量).若(AB,CD) = -1,則稱點C,D調和分割點A,B,或稱點A,B與點C,D調和共軛,A,B,C,D為調和點列.

性質1[1]若點C,D調和分割點A,B,則(其中表示有向線段的數量).

定義2[2]設兩點C,D的連線與圓錐曲線Γ 相交于A,B,若線段AB被C,D調和分割,則稱C,D是關于圓錐曲線Γ 的一對調和共軛點.

定義3[2]一點P關于圓錐曲線Γ 的所有調和共軛點的軌跡為一條直線p,稱p為點P(關于Γ)的極線,點P稱為直線p(關于Γ)的極點.

特別地,當P在Γ 外時,其極線p是從點P所引曲線Γ的兩條切線的切點所確定的直線(即切點弦所在直線)[2].

定義4[2]若A,B,C,D是調和點列,過此點列所在直線外任一點P作射線PA,PB,PC,PD,則稱這四條射線為調和線束. 反過來,任一直線與調和線束相交所截的四個點構成調和點列.

有了以上這四個定義和一個性質,我們就可以把上述競賽試題的結論推廣到更一般的情形,得到圓錐曲線的一個統一性質:

結論5已知點Q為圓錐曲線Γ 外一點,過點Q引Γ 的兩條切線QP,QR,切點分別為P,R,過點Q的一條割線l與Γ 交于A,B兩點,直線PA,PB分別交直線QR于點C,D.設為定值.

證明如圖1, 設直線l與PR交于點E, 因為PR為點Q所對應的極線, 所以Q,A,E,B是調和點列,則PQ,PA,PE,PB是調和線束, 所以由定義4 可得Q,C,R,D也是調和點列, 則由性質1 可得(其中表示有向線段的數量), 所以為定值.

圖1

四、試題溯源

由調和點列與調與線束的理論不難發現,例1 與下面這道高考題同根同源:

例2(2018 年高考北京卷理科第19 題) 已知拋物線C:y2= 2px經過點P(1,2). 過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.

(1)求直線l的斜率的取值范圍;

(2)設O為原點,求證:為定值.

分析易得拋物線C的方程為y2= 4x. 對于第(2)問, 如圖2, 直線QP的方程為y=x+1, 易得此直線恰好與拋物線C相切于點P, 則直線OP是點Q關于拋物線C的極線. 設直線l交直線OP于點D, 則Q,A,D,B是調和點列, 所以PQ,PA,PD,PB是調和線束, 所以由定義4 可得Q,N,O,M也是調和點列, 則由性質1 可得(其中表示有向線段的數量),再由條件可得為定值.

圖2

在高考中以調和點列與調與線束理論為背景的試題還有很多,如2023 年高考全國乙卷理科第20 題、2022 年高考全國乙卷理科第20 題、2020 年高考北京卷第20 題、2017 年高考北京卷理科卷第18 題等等. 雖然調和點列與調與線束的相關知識不屬于高考考查的內容,但是學生如果了解這些知識,則在面對此類試題時能夠居高臨下,直入主題,快速明確解題方向,從而提高解題的成功率.