不同參數對交叉簧片型柔性鉸鏈剛度特性的影響*

左皓琛,梁 松*,閆 明

(1.沈陽工業大學 機械工程學院,遼寧 沈陽 110870;2.遼寧省沖擊防護與損傷評估技術工程研究中心,遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

柔性鉸鏈是柔性構件的一個分支,其利用材料的柔性變形來傳遞力、位移和能量,可以消除側隙、摩擦和磨損,具有結構簡單、質量小等優點,在精密傳動和控制領域有著廣泛的應用。

將柔性鉸鏈的優點應用在隔振系統中,亦有更優的隔振效果。而柔性鉸鏈的剛度對隔振系統性能有重要影響,剛度與柔性鉸鏈的本身參數和所受載荷緊密聯系。由此可見,柔性鉸鏈的剛度特性對柔性鉸鏈的結構設計至關重要。

而要研究柔性鉸鏈一般都會從柔性梁入手。

YIN X等人[1]運用歐拉伯努利梁理論對柔性梁的大變形進行了分析,并采用數值法和封閉法對其進行了求解與驗證。交叉簧片型柔性鉸鏈的變形最早由WITTRICK W H等人[2-3]進行了理論分析,假設其為線性小變形(旋轉角度小于±5°),進而求得了載荷與旋轉角度的關系。HARINGX J等人[4]同樣對該類柔性鉸鏈進行了研究,并假設其為對稱變形,在此基礎上得到了彎矩與變形的關系。GON?ALVES JUNIOR L A等人[5-7]采用迭代法和非線性有限元法,得到了柔性鉸鏈的剛度特性;但在該研究中,研究者對大變形的情況考慮較少。LIU L等人[8]采用了仿真與實驗的方法,對多簧片交叉型鉸鏈進行了研究,對其軸向和徑向剛度分別進行了分析與計算。BI S等人[9-11]采用近似和仿真的方法,對交叉簧片型柔性鉸鏈的剛度特性進行了研究,得到了載荷與變形的關系;但其采用的方法只在較小變形范圍內有效。李永振等人[12]采用理論近似方法對柔性鉸鏈進行了分析,結果表明,只有在垂直載荷和旋轉剛度較小時,交叉簧片型柔性鉸鏈的剛度才能近似保持為常值,而再增大垂直載荷,轉動剛度也會隨之逐漸增大。杜紹揚[13]在針對柔性鉸鏈的研究中,同樣得出結論,即隨著載荷的增加,該類柔性鉸鏈旋轉剛度不再是單一的常量;但他們對柔性鉸鏈剛度特性分析得還不夠全面。在實驗測量柔性鉸鏈剛度的方法上,文獻[14-17]均基于幾何光學理論,并搭載了柔性鉸鏈的角位移變形測量平臺;但在上述研究中,測量平臺測量的工況范圍有限。

目前的分析方法大多是針對線性小變形的柔性鉸鏈剛度特性,且沒有全面地考慮不同參數對柔性鉸鏈剛度的影響。關于大變形柔性鉸鏈的剛度分析方法的研究也尚不多見。

筆者以交叉簧片型柔性鉸鏈為研究對象,從歐拉伯努利梁理論出發,建立大變形柔性鉸鏈的力學模型,探討不同載荷和幾何參數對剛度的影響規律;給出模型求解方法,采用三維有限元分析模型,建立柔性鉸鏈剛度測量實驗裝置,以探究不同參數對柔性鉸鏈剛度特性的影響規律。

1 理論變形分析

1.1 鉸鏈受載分析

交叉簧片型柔性鉸鏈示意圖如圖1所示。

圖1 交叉簧片型柔性鉸鏈示意圖

圖1中,交叉簧片型柔性鉸鏈主要包括固定端、簧片和移動端。

其中,圖1(a)表示了簧片的參數,包括長度L、寬度B和厚度T。

圖1(b)為幾何參數和變形圖,包括2根簧片的交叉位置λL(λ∈(0,1))和交叉角度2α(α∈[30°,60°])。當柔性鉸鏈移動端底部中間受垂直力P、水平力F和彎矩M時,將會產生一個旋轉角度θ。

交叉簧片型柔性鉸鏈的受載分析模型如圖2所示。

圖2 交叉簧片型柔性鉸鏈受載分析模型

當移動端底部受到載荷時,兩根梁均會產生變形。為了方便分析,筆者將移動端B1B2的中點所受到的P、F和M這3種載荷分別轉換到兩根梁A1B1和A2B2上,這樣就使柔性鉸鏈整體受到的載荷轉換到了每根梁上,每根梁所受的力為軸向力Pi、垂直力Fi和彎矩Mi(i=1,2代表梁1和梁2),力的方向以變形前局部坐標系xAiy為基準。

由于考慮了x和y方向的位移,因此,該研究為柔性鉸鏈的大變形分析。

1.2 鉸鏈變形分析

柔性梁的變形計算以歐拉伯努利梁為主,即梁在變形后,總有一個截面的長度保持不變,如圖3所示。

圖3 柔性梁變形分析

設梁的總長度為L,任意一點位移(x,y)弧長為s,該點處的切向角度為ψ;設梁的端點C處所受軸向力為Pi、垂直力為Fi、彎矩為Mi,則根據曲率的變形關系,任意一點處的彎矩M為:

-Pi(ΔY-Y(X))+Fi(L-X)+Mi

(1)

式中:E為材料的彈性模量;I為截面慣性矩。

(2)

即可得到ψ與u的微分方程,其邊值條件為u=0,ψ=0;u=1,dψ/du=LMC/EI,可用打靶法[18]求解該邊值問題。

當解出ψ與u的對應關系后,可由下式獲得直角坐標系下變形后的形態:

(3)

其中:u0由0到1變化,即可表示梁上任意一點(x,y)處的位移變化。

接著,筆者對柔性鉸鏈的變形進行整體分析。

先對所有變量進行無量綱化處理:

(4)

式中:L為簧片的長度;EI為材料的抗彎剛度。

則根據力的平衡關系可列出以下方程:

f=(p2-p1)sinα+(f1+f2)cosα

(5)

p=(p1+p2)cosα+(f1-f2)sinα

(6)

m=[(p1-p2)cosα+(f1+f2)sinα]λsinαcosθ-

[(p1+p2)sinα-(f1-f2)cosα]λsinαsinθ+m1+m2

(7)

由于B1,B2兩點的距離保持不變,可列出x和y兩個方向的幾何位移平衡式如下:

(δy1-δy2)cosα+(δx1+δx2)sinα=2λsinα(1-cosθ)

(8)

(δy1+δy2)sinα-(δx1-δx2)cosα=2λsinαsinθ

(9)

在式(5)～式(9)中,有11個變量,而只有5個方程,因此,需采用柔性梁變形模型。

筆者首先對式(1)進行無量綱轉化,即:

初始條件為:

因此,可求得關于參數δyi和θ的方程如下:

δyi=yi(1),i=1,2

(10)

(11)

而δxi(i=1,2)的表達方式為:

(12)

筆者聯立式(5)～式(9)和式(10)～式(12),可列出關于11個參數的非線性方程組,但該方程組沒有封閉解,只能采用迭代法進行求解。

L-M法對該類方程有較好的解[19]。設F(x)是關于x的11維非線性方程組,其中,x為δxi,δyi,pi,fi,mi,θ(i=1,2)這11個變量,設定步長使該迭代具有二次收斂性,即可完成求解。

2 剛度特性分析

2.1 彎矩對旋轉剛度的影響

接下來,筆者將從交叉簧片型柔性鉸鏈的力學模型出發,開展柔性鉸鏈的剛度特性分析,并討論幾何參數與載荷形式對剛度特性的影響。

一般定義剛度為載荷與旋轉角度θ的比值,則旋轉剛度KM、水平剛度KF和垂直剛度KP定義為:

(13)

其中:

(14)

式中:pi,fi,mi均為前述非線性方程組解的變量。

由式(13)和式(14)可知:交叉簧片型柔性鉸鏈的剛度與材料的長度L、寬度B、厚度T、彈性模量E以及所受載荷M、F、P均有關。

其中,彎矩M與柔性鉸鏈旋轉剛度KM的關系如圖4所示。

圖4 彎矩M與柔性鉸鏈旋轉剛度KM的關系

圖4中,考慮旋轉剛度,筆者給出了只有彎矩載荷時彎矩M與旋轉角度KM的關系,并將其與文獻[9]中的分析結果相比較。

由圖4可以看出:在彎矩較小時,柔性鉸鏈的旋轉剛度與文獻[9]的結果相近,且近似為常數;但當彎矩足夠大時,旋轉剛度出現了非線性變化。

2.2 交叉系數和交叉角度對剛度的影響

幾何參數交叉系數λ和交叉角度α對柔性鉸鏈旋轉剛度KM的影響,如圖5所示。

由圖5可知:交叉系數對柔性鉸鏈旋轉剛度影響很大,在交叉系數λ=0.5時,旋轉剛度最小;當λ接近0或1時,旋轉剛度達到最大。當λ由0.5減小到0或增加到1時,旋轉剛度以非線性形式增大;且對于不同的交叉角度α,旋轉剛度的曲線基本保持一致,即交叉角度對旋轉剛度幾乎沒有影響。

因此,在考慮旋轉剛度時,需注重幾何參數交叉系數λ的影響。

2.3 垂直載荷和水平載荷對剛度的影響

考慮水平載荷和垂直載荷對旋轉剛度的影響,在一定彎矩M下,不同水平載荷F和垂直載荷P對不同交叉系數λ下旋轉剛度KM的影響,如圖6所示。

圖6 垂直載荷P和水平載荷F對柔性鉸鏈旋轉剛度的影響

由圖6可以看出:水平載荷相對垂直載荷對柔性鉸鏈的剛度影響更大,且交叉系數為0.5,比0.2時的影響更大,這同樣證明了圖5的分析結果。當水平載荷與彎矩使柔性鉸鏈的變形方向相同時,隨著水平載荷的增大,旋轉剛度變化較小;當兩者方向相反時,旋轉剛度變化很大。

因此,筆者需優先考慮交叉系數λ與水平載荷F對旋轉剛度KM的影響。

柔性鉸鏈在垂直方向上的剛度遠大于水平剛度和旋轉剛度,因而垂直載荷對結構的變形位移影響較小,故以下筆者只討論水平剛度及其受幾何參數的影響。

柔性鉸鏈的水平載荷F與水平剛度KF的關系如圖7所示。

圖7 水平載荷F與水平剛度KF的關系

在圖7中,顯示出了水平載荷F與水平剛度KF的關系與文獻[9]中數據的對比。

由圖7可以看出:相比于旋轉剛度而言,水平剛度在載荷增大過程中,其近似保持為常值。文獻[9]也證明了這一點。

圖4和圖7都表明,應更側重于對旋轉剛度的分析。

2.4 幾何參數對水平剛度的影響

幾何參數對水平剛度的影響如圖8所示。

圖8 幾何參數λ,α對柔性鉸鏈水平剛度KF的影響

由圖8可以看出:水平剛度相對于交叉系數λ并不是對稱分布的,當λ越靠近0,則水平剛度越大;當λ在0.4～0.9范圍內,其剛度處于穩定狀態;交叉角度α相對于λ對柔性鉸鏈的水平剛度影響較小。

因此,在分析幾何參數對其影響時,應首先考慮交叉系數λ。

3 有限元分析與剛度測量實驗

筆者采用有限元法和實驗測量法,分別對交叉簧片型柔性鉸鏈的剛度特性進行分析,并將二者分析結果與理論分析結果進行比較。

由于這兩種方法都對模型的具體參數和施加的載荷有要求,因此,筆者具體分析7種不同參數對柔性鉸鏈的剛度特性的影響。

3.1 有限元分析

7種不同參數均受到相同的彎矩載荷,其中簧片的材料為65 Mn彈簧鋼,彈性模量為200 GPa,泊松比μ=0.3,長度L=60 mm,寬度B=10 mm,厚度T=0.5 mm。

具體參數如表1所示。

表1 不同參數下的交叉簧片型柔性鉸鏈

表1中,1～4組的交叉系數和交叉角度不同,5～7組施加的載荷不同。

表1中,第1組幾何參數下柔性鉸鏈的有限元模型,如圖9所示。

為了與實驗模型相對應,柔性鉸鏈的邊界條件為在固定端施加完全約束,在移動端底部中心偏下一定距離施加載荷。為防止產生扭轉,筆者將簧片設為對稱型[20-21]。

由于簧片的厚度遠小于長度和寬度,且只產生彎曲變形,因此,筆者對簧片采用一階線性非協調單元劃分網格,厚度方向為兩個網格;其他地方采用一階縮減單元網格劃分。

為減少計算時間,且不影響分析結果,其上下兩端約束為剛體,模型均采用六面體網格。

3.2 剛度測量實驗

此外,筆者開展了剛度特性的實驗測量方法研究,設計并搭載了柔性鉸鏈剛度測量實驗平臺。

測量平臺的功能模塊如圖10所示。

圖10 柔性鉸鏈剛度測量實驗平臺功能模塊圖

該平臺主要包括了4種模塊,即支撐、夾持、加載和測量模塊。它們的功能分別為:1)保證系統有足夠的平衡穩定性;2)保持柔性鉸鏈的交叉系數和交叉角度與工況相對應;3)能任意加載水平、垂直和彎矩3種載荷;4)可以測量柔性鉸鏈受載后產生的旋轉角度。

柔性鉸鏈剛度測量平臺的整體裝置如圖11所示。

圖11 柔性鉸鏈剛度測量平臺

圖11中,柔性鉸鏈上端固定在鋁型材上,下端使用軸承座固定了一個承載軸;彎矩M、水平載荷F和垂直載荷P可以由承載軸傳給柔性鉸鏈,利用懸掛在周圍的砝碼施加載荷,增加或減小砝碼的重量可以調整載荷的大小。

其中,水平和垂直載荷與砝碼重量相同,彎矩大小為砝碼的重力與相應力臂的乘積。

筆者根據幾何光學理論的旋轉角度測試方法[14],對柔性鉸鏈的變形角度θ進行測量。在初始狀態時,激光會通過反射鏡在標定靶上確定一個位置。當柔性鉸鏈受載后會產生偏轉,位于鉸鏈底端的平面鏡會發生轉動,進而改變激光的原有路線,使其偏離原有的標記靶位置;當旋轉調整鏡的角度使激光標記點恢復到原有位置時,調整的角度即為柔性鉸鏈的旋轉角度θ,計算載荷與旋轉角度的比值即為柔性鉸鏈的剛度。

柔性鉸鏈裝置的三維設計圖與實物圖如圖12所示。

柔性鉸鏈主要由簧片、夾片、滑動塊和固定裝置組成。其中,更改滑動塊的位置可以改變柔性鉸鏈交叉系數λ的大小,更改與簧片緊貼的滑動塊斜面角度即可調整交叉角度α的大小,即保證與表1中不同的幾何參數相對應。

根據表1的前4組數據,筆者分別采用理論方法、有限元方法和實驗測量方法,對柔性鉸鏈的剛度進行計算。

對其給定相同的彎矩M,筆者分別計算了理論方法與有限元和實驗測法的誤差:

(15)

不同參數交叉簧片型柔性鉸鏈旋轉剛度如表2所示。

表2 不同參數交叉簧片型柔性鉸鏈旋轉剛度

由表2可以看出:相對于理論分析,有限元分析的相對誤差小于6%,實驗測量的相對誤差小于9%,且均與文獻[9]的計算結果接近,證明了3種分析方法的結果較為一致,分析方法可靠。

對比表2中第1、2組計算結果可知:在其他參數相同的情況下,幾何參數交叉角度α不同,旋轉剛度的變化較小;對比2、3組結果可知:交叉系數λ不同,旋轉剛度的變化非常大。

以上結果說明,柔性鉸鏈的旋轉剛度主要受幾何參數交叉系數λ的影響。

筆者對文獻[9]、理論方法、有限元模擬方法和實驗測量法進行了對比分析,得到了表1中1、5、6、7組不同載荷下的旋轉剛度。

不同載荷對柔性鉸鏈旋轉剛度的影響對比,如表3所示。

由表3的第1、5、6組數據可知:在施加同樣大小的水平(垂直)載荷時,水平載荷使柔性鉸鏈的旋轉剛度變化了近1倍,而垂直載荷使旋轉剛度的變化不足10%;由第5、7組數據可知:水平載荷單獨施加與水平、垂直共同施加下的柔性鉸鏈旋轉剛度間的差距很小。

以上結果說明,水平載荷對旋轉剛度的影響占主導,而垂直載荷對其影響很小。

3種方法的相對誤差在9%內,證明了上述分析是有效的。

筆者分別采用理論方法、有限元方法和實驗測量的方法,獲取了表1中第1組柔性鉸鏈參數彎矩M與旋轉角度θ的關系,如圖13所示。

圖13 彎矩M與旋轉角度θ的關系

由圖13可以看出:當彎矩大于150 Nmm時,柔性鉸鏈旋轉角度曲線的斜率有變化,表明隨著載荷的增加,柔性鉸鏈的旋轉剛度不再近似為一個常量,而是產生了非線性變化[22]。

筆者同樣采用理論分析、有限元模擬和實驗測量3種方法,獲取了水平載荷F與水平剛度KF的關系,如圖14所示。

圖14 水平載荷F與水平剛度KF的關系

由圖14可以看出:雖然實驗數據有波動,但總體上仍然圍繞著一個常量上下浮動;3種方法均表明柔性鉸鏈具有近似恒定的水平剛度,也證明了筆者所用方法的有效性。

4 結束語

剛度特性是交叉簧片型柔性鉸鏈的重要因素,尤其在非線性大變形的情況下。針對現有方法對柔性鉸鏈的剛度特性及影響因素分析不夠全面等問題,筆者采用了3種方法對交叉簧片型柔性鉸鏈的剛度特性作了分析。

分析方法及結論如下:

1)采用了理論分析、數值求解、有限元模擬和實驗測量的方法,分別對交叉簧片型柔性鉸鏈大變形剛度特性進行了分析。建立了基于歐拉伯努利梁理論分析模型、有限元分析模型,設計并搭載了柔性鉸鏈剛度測量平臺,并對三者的分析結果做了比較,總的誤差小于9%,表明了分析方法具有足夠的精確度和可靠度;

2)分析了柔性鉸鏈的旋轉、水平和垂直剛度。在只有彎矩載荷時,當彎矩較小時,柔性鉸鏈的旋轉剛度保持為常值;而當彎矩增大時,旋轉剛度以非線性方式增加。在只有水平載荷時,柔性鉸鏈的剛度保持恒定。柔性鉸鏈的垂直剛度遠大于水平剛度和旋轉剛度;

3)討論了不同參數對柔性鉸鏈剛度的影響。在一定載荷下,柔性鉸鏈的剛度主要受交叉系數λ的影響。交叉系數λ越接近0.5,剛度越小;交叉系數λ越接近0或1,剛度越大;交叉角度α對其剛度影響較小。相對于垂直載荷,水平載荷對旋轉剛度的影響更大。在進行柔性鉸鏈的剛度設計與分析時,應重點關注水平載荷與交叉系數。

在未來的研究中,筆者將對不對稱的交叉簧片型柔性鉸鏈進行分析,進而研究結構對稱性對柔性鉸鏈剛度特性的影響。