機械臂自適應跟蹤控制方案設計及仿真分析

關瀟卓 丁 偉 盧利中 郭鐵濱 熊 飛

（國網吉林省電力有限公司吉林供電公司，吉林 吉林 132012）

機械臂被廣泛應用于工業生產過程、醫療服務以及太空在軌操作等領域[1-2]。一方面，隨著對機械臂快速響應和高精度控制的要求越來越高，如何提高機械臂的控制性能仍然是一個需要繼續研究的問題[3-4]。由于機械臂具有參數不確定、強耦合以及非線性摩擦等特殊性，在實際工程應用中很難建立精確的機械臂系統動力學模型[5]。因此，研究不依賴精確動力學模型的機械臂跟蹤控制方法顯得尤為重要。另一方面，研究人員還希望針對機械臂的跟蹤誤差預先設定其收斂精度和收斂時間，與一般的預設性能不同的是，希望給定的預設性能的初值不再受限[6-8]。同時，由于物理條件的約束，因此機械臂的控制輸入天然存在約束，如何在輸入受限的情況下不基于模型信息實現機械臂按預設精度和收斂時間跟蹤目標軌跡是一個亟待解決的技術問題[9]。針對上述問題，該文提出一種機械臂自適應跟蹤控制方法，該控制方法通過生成具有可預設收斂時間的無模型自適應控制器對機械臂進行控制，使跟蹤誤差在預設的界內按照預設時間收斂到預設的精度內，且該方法不依賴機械臂系統動力學模型的精確性，可以避免為實際系統建立精確模型帶來困難。

1 數學模型

該機械臂自適應跟蹤控制方法的步驟如下：1） 利用光滑函數逼近機械臂系統的控制輸入，建立新機械臂系統。2） 采用時滯估計方法估計新機械臂系統的綜合不確定性。3） 根據預設的機械臂跟蹤誤差軌跡邊界約束和綜合不確定性，生成自適應控制器，通過新機械臂系統對機械臂進行控制，使機械臂的跟蹤誤差在預設的收斂時間內收斂至預設的穩態跟蹤精度。

機械臂系統模型如公式（1）所示。

式中：q、和分別為機械臂關節的位置向量、速度向量和加速度向量；M（q）為機械臂的慣性矩陣；C（q，）為機械臂的科里奧利力和向心力系數矩陣；G（q）為機械臂的重力梯度力矩向量；u（τ）為控制輸入向量；τ為控制力矩向量；d為外部擾動向量。

機械臂系統的控制輸入受到的約束如公式（2）所示。

式中：ui（τi）為第i個關節的控制輸入；τi為第i個關節的控制力矩；umaxi為第i個關節的控制輸入上界；umini為第i個關節的控制輸入下界；n為機械臂的關節總數。

光滑函數如公式（3）所示。

式中：∏（τ，?）為光滑函數；?為調節參數向量；∏i（τi，?i）為第i個關節的光滑函數值；?i為第i個關節的調節參數；為第i個關節的參考上界值；為第i個關節的參考下界。

新機械臂系統如公式（4）所示。

式中：Δτ為第一偏差；Δu為第二偏差。

步驟二中的綜合不確定性D（q，q，q）如公式（5）所示。

式中：為預設的正定對角矩陣。

步驟二根據公式（6）計算新機械臂系統的綜合不確定性的估計值。

式中：t為時間；L為采樣時間。

采用以上時滯估計方法來估計新機械臂系統的綜合不確定性，與其他智能算法相比，該方法需要調節的參數少，結構簡單，計算量小，更容易應用于實際系統中。

機械臂跟蹤誤差軌跡邊界約束如公式（7）所示。

式中：e1i（t）為第i個關節的跟蹤誤差；為 第i個關節預設的大于0的約束下界系數；為 第i個關節預設的大于0的約束上界系數；β1i為第i個關節的跟蹤誤差約束參數；T1i為第i個關節預設的收斂時間；ε1i為第i個關節預設的穩態跟蹤精度；p為預設正整數。

步驟三包括根據機械臂跟蹤誤差軌跡邊界約束生成的多個中間變量。根據中間變量和綜合不確定性生成自適應控制器，將自適應控制器代入新機械臂系統對機械臂進行控制。其中，根據機械臂跟蹤誤差軌跡邊界約束生成第一中間變量，如公式（8）所示。

式中：γ1i（t）為第i個關節的第一中間變量；c為大于0的第一預設參數。

根據第一中間變量生成第二中間變量，如公式（9）所示。

式中：h（γ1i（t））為第i個關節的第二中間變量；a1i為第i個關節大于0的第二預設參數。

根據第二中間變量生成第三中間變量ξ1（t），如公式（10）所示。

生成第四中間變量μ1（t）和第五中間變量v1（t），使二者滿足公式（11）。

式中：（t）為ξli（t）的一階導數；（t）為e1i（t）的一階導數；v1i（t）為第i個關節的第五中間變量。

根據上述中間變量和綜合不確定性生成自適應控制器[15]，如公式（12）所示。

式中：ξ2（t）為第六中間變量向量；α1（t）為虛擬控制量；k1為大于0的第三預設參數；k2為大于0的第四預設參數；k3為大于0的第五預設參數；ζ（t）為輔助變量；κ1為大于0的第六預設參數；qd為機械臂關節的目標加速度向量；β為自適應變量；Γ和δ為預設的自適應律參數。

引入輔助變量是為了處理控制輸入受限的問題，引入自適應變量是為了補償時滯估計方法的估計誤差。

2 仿真分析

為了驗證機械臂自適應跟蹤控制方法的有效性和合理性，采用MATLAB軟件搭建仿真平臺。對平面兩連桿機械臂系統進行仿真分析，驗證上述方法的的有效性和合理性。其中，采樣時間L為0.001 s，平面兩連桿機械臂的慣性矩陣M（q）、C（q，）以及G（q）如公式（13）所示。

式中：q1、分別為第一個關節的位置、速度；q2、分別為第二個關節的位置、速度。

第一個關節和第二個關節要跟蹤的目標軌跡如公式（14）所示。

式中：qd1（t）為關節在t時刻的目標位置；qd2（t）為第二個關節在t時刻的目標位置。

在仿真中，采用Runge-Kutta方法離散化連續系統，并設置相關參數：k1為3，k2為200，k3為0.01，κ1為6，Γ為1，δ為1，ζ（t）的初值為[0；0]，β的初值為0，2個關節的控制輸入上界均為200 N·m，2個關節的控制輸入下界均為-200 N·m，2個關節的穩態跟蹤精度均為0.01，2個關節的約束下界系數和約束上界系數均為1，2個關節的收斂時間均為2 s，p為2，為 200 N·m，為-200 N·m，c為700，a11為40，a12為25。分別考慮關節的初始位置，如公式（15）所示。

不同關節初始位置下第一個關節和第二個關節的跟蹤誤差軌跡分別如圖1、圖2所示。不同關節初始位置下第一個關節和第二個關節的控制輸入軌跡分別如圖3、圖4所示。

圖1 不同關節初始位置下第一個關節的跟蹤誤差軌跡

圖2 不同關節初始位置下第二個關節的跟蹤誤差軌跡

圖3 不同關節初始位置下第一個關節的控制輸入軌跡

圖4 不同關節初始位置下第二個關節的控制輸入軌跡

由圖1～圖4可知，針對多種不同的初始位置，在預設的收斂時間2 s內，2個關節的跟蹤誤差均可收斂至預設的穩態跟蹤精度0.01以內，說明上述控制方法對任意初值均是適用的。綜上所述，該文提出的控制方法不依賴機械臂系統動力學模型的精確性，可以避免為實際系統建立精確模型帶來困難。同時，可以根據需要預設收斂時間和穩態跟蹤精度，且跟蹤誤差的初值不受約束，可以實現全局收斂，使跟蹤誤差在規定的有限時間內收斂到預設的精度內。

3 結語

該機械臂自適應跟蹤控制方法通過生成具有可預設收斂時間的無模型自適應控制器來對機械臂進行控制，使跟蹤誤差在預設的界內按預設時間收斂到預設的精度內，且該方法不依賴機械臂系統動力學模型的精確性，可以避免為實際系統建立精確模型帶來困難。此外，該文采用時滯估計方法來估計新機械臂系統的綜合不確定性，與其他智能算法相比，該方法需要調節的參數少，結構簡單，計算量小，更容易應用于實際系統中。