基于APOS理論的概念教學設計
——以“實數”教學為例

孫丹丹

? 哈爾濱師范大學教師教育學院

數學概念是解決數學問題的基礎,因此概念教學是初中數學教學的重點和難點.但是,目前初中生還不能深入理解某些數學概念,基于此運用APOS理論模型通過具體實例,幫助學生初步理解數學概念,讓學生在此基礎上進行思維內化,抽象出數學概念的本質屬性,再將其精確化為具體的數學對象,最后形成關于該數學概念的綜合心理圖式[1].APOS理論給出了數學概念教學的具體步驟,為初中數學概念教學提供了理論基礎,降低了初中數學概念教學的難度.

1 教學設計

1.1 操作或活動階段:實例直觀,激發興趣

問題1為了美化校園,學校打算建一些正方形花壇,如果每個花壇面積為1 m2,那么正方形的邊長應為多少?如果把每個正方形的面積改為2 m2,此時應該怎樣確定正方形的邊長?

設計意圖：從學生生活中的實例出發,使學生感受到數學在生活中的作用,問題設計層層深入,激發學生的探究興趣.

1.2 過程階段:思維內化,抽象概念

1.3 對象階段:合作探究,領悟概念

問題3你能列舉出一些無理數嗎?

圖1

如圖2,將直徑為1的圓從原點O出發沿著數軸正方向滾動一周,O′的位置對應的數就是π.

圖2

圖3

在學生深刻理解無理數的概念后,教師給出實數的概念,即有理數和無理數統稱為實數.

問題6類比有理數m與其相反數和絕對值的關系,你能總結歸納出實數t與-t和|t|的關系嗎?

小組合作探討,得到:

問題7數軸上的點和實數之間有什么關系?

學生4:一一對應關系.

設計意圖：類比有理數與數軸上點的對應關系,總結出無理數與數軸上點的對應關系,體會數形結合思想,為學生理解高中數學中集合的概念作鋪墊.

1.4 概型階段:建立聯系,綜合概念

問題8實數由哪些數組成?你能分類嗎?

問題9還有其他分類方式嗎?

設計意圖：把新知識實數、無理數與已學的知識建立聯系,讓學生形成關于實數的綜合心理圖式.同時,將零散的知識系統化則有助于學生記憶該概念,并能夠有效地加以運用.

2 教學反思

2.1 注重實例直觀,激發學習興趣

2.2 重視動手操作,培養數學抽象能力

2.3 提倡合作交流,提升數學抽象能力

基于APOS理論的“實數”教學中,“過程”和“對象”階段都需要學生有較強的數學抽象能力,所以通過小組合作探究,組內成員相互啟發引導,有助于學生更好地抽象和理解數學概念.在學生“抽象概念”的過程中,教師要循序漸進地引導學生,培養學生的抽象思維.同時合作交流符合《義務教育數學課程標準(2022年版)》的要求,是我國人才培養的需要.

2.4 鼓勵知識整合,建立認知結構

在基于APOS理論的“實數”的教學中,鼓勵學生對已學習過的數系進行分類與整合,有助于學生區分有理數與無理數的概念,理解實數概念的本質,培養分類思想,提高數學抽象能力,使數學概念系統化;同時,為高中數學繼續擴充數系打下堅實的基礎,也為高中數學中集合的學習做了鋪墊.但是,分類思想的運用,要遵循數學概念分類的原則,避免分類重復或者遺漏的情況,從而體現數學的簡潔之美、科學之美.