發掘隱含條件,巧設輔助元素
——初中代數中運用換元法解題的思路與方法探索

劉曉燕

?江蘇省蘇州市吳中區城西中學

在初中代數中,換元法是一種能夠靈活運用、十分重要且有效的解題方法.換元法,即變量替換,是把某個代數式看成一個新的未知數(元)來實施替換,其本質還是轉化.通過這種轉化能夠達到“化繁為簡、化難為易、化陌生為熟悉、事半功倍”的效果[1].換元法被廣泛地應用于解方程(組)、因式分解、代數式變形、化簡求值、等式證明等各類數學問題的解答之中,現針對其常見的解題思路與方法作如下探討.

1 代數式變形后換元

在初中數學中,學生已經學習了方程(組)的最基本的解法,而換元法是其中最方便、快捷且最具優越性的一種解法.它能夠把高次降為低次、無理式化為有理式、分式化為整式,將復雜的方程化為簡單的、最基本的方程,從而使方程(組)順利得解.運用換元法解方程(組),關鍵是觀察分析出能夠換元的整式或分式,有時需要對方程(組)進行整理變形(如因式分解、配方、添拆項等)才能觀察出如何換元[2].

例1解方程:(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0.

解：把原方程變形為(x2+8x+7)(x2+8x+15)+15=0.

設y=x2+8x+11,則原方程為(y-4)(y+4)+15=0,即y2-1=0,解得y1=1,或y2=-1.

所以得到方程x2+8x+11=1,或x2+8x+11=-1.

思路與方法：本題如果按照常規解題思路,即先把左邊的括號全部展開,然后再分解,運算非常繁瑣.所以需要換個思路,嘗試將左邊的四個因式分成兩組,變成[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]+15=0的形式,分別利用整式的乘法展開,再設輔助變量,用換元法求解.

由 [①2-②]÷2,得uv=2.

所以u,v可以看作是方程z2-3z+2=0的兩根.因此可得u=1,v=2;或u=2,v=1.

還原得關于x,y的方程組

由此易得原方程組的解為

經檢驗知,以上四組解都是原方程組的解.

2 利用原代數式換元

在因式分解時,將相同的代數式換元是最常用的方法.當題目中多處出現相同的代數式時,可以把這個代數式設為一個字母(例如a),從而把整個代數式變為關于a的代數式.

例3分解因式:(x2-4x)2-2(x2-4x)-15.

解：設x2-4x=a,則

(x2-4x)2-2(x2-4x)-15

=a2-2a-15

=(a-5)(a+3)

=(x2-4x-5)(x2-4x+3)

=(x-5)(x+1)(x-3)(x-1).

思路與方法：通過觀察發現,原代數式中x2-4x出現了多次,將它設為另一個字母后,既可以做到“設元務盡”(不再出現x),又便于繼續分解.

例4分解因式:(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)+a(a-b+c)(a+b-c)+b(a+b-c)(-a+b+c)+c(-a+b+c)(a-b+c).

解：設x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,則

思路與方法：憑經驗可知,本題如果用整式的乘法展開、整理將會十分繁瑣,需另想辦法.通過對原式的觀察發現,如果利用原代數式換元,設x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,那么x+y+z=a+b+c,y+z=2a,z+x=2b,x+y=2c,再進行代換就會使原式大為簡化.從本題的解題過程中,我們可以再次感受到換元法“以一當多、便于觀察、簡化運算、開闊思路”的巨大優越性.

3 引進輔助元素換元

代數式的恒等變形是解決有關代數式問題的重要手段,當代數式的形式較復雜時,可以嘗試運用換元法,通過引進輔助元素使其形式變得簡單.

思路與方法：針對題設條件中的連等,引入輔助變量,將三個變量集中在一個變量上,從而簡化了運算過程.

思路與方法：顯然,本題如果按照去分母、計算、化簡,由左邊推出右邊的常規方法來證明,將非常困難.但采用引進輔助元素代換的方法,不僅簡化了書寫,而且更容易發現各量之間的隱含關系,分子與分母不斷分解,最終達到簡化證明過程的目的.

4 結論

從上述典型例題的思路與方法的分析中可以看出,運用換元法解題具有很強的實用性和靈活性.利用換元法引入輔助元素時,需要根據問題的結構、特點靈活加以運用,只有引元恰當才能使運算過程得到簡化;有些問題要經過適當的整理、變形,才便于換元時進一步利用條件中的隱含關系.