聚焦圖形本質(zhì) 合理分類解題
——分類討論思想在求平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題中的應(yīng)用

李愛(ài)琴

? 南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹(shù)人學(xué)校

1 背景分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中“圖形與坐標(biāo)”強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合,用代數(shù)方法研究幾何圖形,在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示圖形中點(diǎn)的位置,用坐標(biāo)法分析和解決實(shí)際問(wèn)題.平行四邊形是初中幾何中一種非常重要的幾何圖形,對(duì)于它的性質(zhì)和判定,學(xué)生都要會(huì)合理應(yīng)用.與平行四邊形相關(guān)的問(wèn)題在中考中也較為普遍,而由于與之相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)涉及面廣,求解方法多、思路活,因此有些學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題有時(shí)束手無(wú)策,有時(shí)考慮又不全面.

對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō),高效而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)解題方法是不可或缺的.在解決有關(guān)求平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題時(shí),往往要用到分類討論思想.下面筆者擬通過(guò)幾例問(wèn)題分析,談?wù)劮诸愑懻撍枷朐谇笃叫兴倪呅雾旤c(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題中的應(yīng)用.

2 分析說(shuō)明

如圖1,在平行四邊形ABCD中,任意連接它的四個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn),可以得到六條線段,分別是線段AB,BC,CD,DA,AC,BD.這六條線段要么是平行四邊形的邊,要么是平行四邊形的對(duì)角線.所以,在平面直角坐標(biāo)系中解決平行四邊形問(wèn)題時(shí),如果已經(jīng)知道了平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn),那么一般分三種情況討論;而若只知道平行四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn),則一般需要分兩種情形來(lái)討論.因?yàn)檫@兩個(gè)頂點(diǎn)組成的線段只有兩種情形,可能是平行四邊形的邊,也可能是它的對(duì)角線.

圖1

3 案例剖析

案例1若以A(-1,0),B(3,0),C(0,4)為其中三個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)平行四邊形,求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

分析：如圖2,已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,求第四個(gè)頂點(diǎn),可以分三種情況,分別將AC,AB,BC向右或向上或向左平移就能得到第四個(gè)頂點(diǎn)的三種不同位置;也可以分別把AC,AB,BC看成對(duì)角線,從而得到第四個(gè)頂點(diǎn)的位置.

圖2

在這里,具體的求解有兩種方法:一是運(yùn)用幾何論證方法,根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)容易求得第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).二是代數(shù)論證方法,運(yùn)用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式從而確定第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).如圖2,平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4,4),(-4,4),(2,-4).

案例2如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,5),(3,3),一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D,C,如果以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,則一次函數(shù)y=kx+b的關(guān)系式為_(kāi)_____.

圖3

分析：本題只知道平行四邊形兩個(gè)頂點(diǎn)A,B,所以分兩種情形,一種是AB為邊,另一種是AB為對(duì)角線.

先看第一種,如圖4,如果AB為邊,那么CD也是邊,此時(shí)過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線,過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線,兩條垂線的交點(diǎn)為E,則根據(jù)“平行四邊形對(duì)邊平行且相等”,可得△AEB≌△COD,所以CO=AE=2,EB=OD=2.當(dāng)點(diǎn)C,D分別在y軸和x軸的正半軸上時(shí),直線CD的解析式為y=-x+2;當(dāng)點(diǎn)C,D分別在y軸和x軸的負(fù)半軸上時(shí),直線CD的解析式為y=-x-2.

再看第二種,如圖5,若AB為對(duì)角線,則CD也為對(duì)角線.平行四邊形對(duì)角線具有的性質(zhì)是互相平分,根據(jù)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式,可以確定AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,4).取OD中點(diǎn)F,連接EF,則EF是△COD的中位線.根據(jù)中位線的定義及性質(zhì)可以確定點(diǎn)D(4,0),C(0,8),所以CD所在直線的解析式為y=-2x+8.

圖5

綜合上述二種情況,可確定所求的一次函數(shù)解析式為y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8.

案例3如圖6,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2-2ax-3a(a<0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l:y=kx+b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且CD=4AC.設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線上,以點(diǎn)A,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形?若能,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖6

分析：以A,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,而在這四點(diǎn)中只知道兩點(diǎn)A,D,所以分兩種情形,即一種是AD為邊,另一種是AD為對(duì)角線.

圖7

圖8

4 解題反思

平行四邊形的存在性問(wèn)題已經(jīng)成為中考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一,教師平時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生在遇到這類問(wèn)題時(shí)應(yīng)仔細(xì)分析題目信息,根據(jù)已知條件選擇合適的分類標(biāo)準(zhǔn).分類討論思想是一種比較系統(tǒng)性的思想,有助于解決一般性問(wèn)題,在數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用.總之,利用分類討論思想解決有關(guān)平行四邊形的問(wèn)題時(shí),一般分三步:第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn),第二步畫(huà)圖,第三步計(jì)算.而難點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn),如果分類標(biāo)準(zhǔn)恰當(dāng),可以使解的個(gè)數(shù)不重復(fù)、不遺漏,從而提高解題的正確率.教師在此類問(wèn)題的解題教學(xué)中,要探索例題的教學(xué)價(jià)值,教會(huì)學(xué)生聚焦圖形本質(zhì),探索分類的合理性、思路的自然化,拓展思維的深度和廣度,提高解題能力,使每個(gè)學(xué)生得到不同的發(fā)展[1].