初中數學數形結合思想教學案例分析

施秋榮

? 江蘇省蘇州高新區第一初級中學校

在教育深化改革背景下,教師要切實落實立德樹人根本任務,深入推進初中數學課堂教學改革,落實學生主體地位,聚焦學生核心素養的培育,探索課堂教學的新范式.在此背景下,“以數解形、以形助數”的數形結合思想的價值和作用愈發凸顯,得到了眾多數學教師的青睞,且收獲了良好的教學效果.新形勢下,教師要深入探索教學內容,并立足教學內容之上,以教學目標為指引,貫徹落實數形結合思想.

1 數形結合思想概述

1.1 數形結合思想的定義

數形結合思想指的是利用“數”與“形”之間的關系對數學知識點和數學問題進行研究,并以此為數形轉換找到一定條件的一種數學思維方法[1].

1.2 數形結合思想的轉換方法

(1)以數解形

以數解形,即將圖形轉換成數.具體指的是通過分析數學題目中的各種圖形,挖掘其所包含的代數知識,在明確圖形和數量關系的基礎上,用“數”的方式將“形”的屬性表現出來,從而使復雜的圖形變得簡單明了,幫助學生實現快速解題[2].

(2)以形助數

以形助數,即將數轉換成圖形.具體指的是針對數學中難以用代數進行描述和表達的抽象知識點,可通過合理引入圖形的方式將抽象難懂的數學知識點轉化為比較直觀的形象表達,用“形”的具體將“數”的抽象表現出來,進而幫助學生解決難以理解的數學問題.

(3)數形互變

數形互變,即數字和圖形之間的相互轉化.具體指的是在解決數學問題的過程中,以題意為基礎進行聯想,將抽象的數學語言轉化成圖形,將題目中的圖形以數量關系的方式表達出來.這能夠讓抽象的數學問題變得簡單、易解答[3].

2 初中數學數形結合思想教學案例分析

2.1 數形結合思想在有理數中的應用

有理數是初中數學較為重要的內容之一,且具有較強的邏輯性.對于部分學生而言,有理數學習具有一定的難度.此時,從學生學習能力和實際水平出發,依托數形結合思想,靈活地引入“數軸”這一圖形工具,可將數學問題化難為易,進而幫助學生快速、準確地解決數學問題.

例1已知a,b,c在數軸上的位置如圖1所示,化簡|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|.

圖1

分析：通過分析數軸可知b

解析：由數軸,得b

所以a+b<0,c-a>0,b-c<0.

故|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|

=-a+a+b+c-a-b+c

=-a+2c.

點評：通過分析數軸準確判斷a,b,c之間的大小關系和正負情況,既可以便于學生直觀地理解正、負數的概念及其區別,還可以確保學生快速、準確地得到結果.

2.2 數形結合思想在不等式中的應用

中考數學中,代數問題往往以一元二次方程(不等式)的形式出現.在不等式的相關習題中,靈活應用數形結合思想,利用二次函數圖象解決不等式問題,這樣既可以降低不等式習題的難度,還可以讓學生感受到學習的樂趣.更重要的是,這有助于學生數形結合能力的提升,可為學生后續快速、準確解答不等式問題奠定良好基礎.

例2如圖2為二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分,其對稱軸為直線x=1,若其與x軸一交點為A(3,0),則由圖象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是______.

圖2

分析：根據二次函數的對稱性,可得出圖象與x軸的另一個交點坐標,進而結合圖象可得出ax2+bx+c<0的解集.

解析：由圖象可知,二次函數圖象對稱軸為x=1,與x軸的一個交點坐標為(3,0),所以圖象與x軸的另一個交點坐標為(-1,0).

結合圖象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集.

因此,不等式ax2+bx+c<0的解集是-1

點評：利用二次函數的圖象和性質解不等式,可以有效降低解題難度,也可以減少計算量.

2.3 數形結合思想在函數中的應用

函數是初中學生新接觸的內容,無論從理解,還是接受方面都比較困難,所以找對解題方法十分關鍵.在函數問題中應用數形結合思想,可提升解題效率,保證解題正確率.

例3周末上午,小紅從家出發跑步去公園,之后在公園停留了一會,并在疲憊時選擇打車回家.圖3中折線表示小紅離家的距離y(單位:m)和所用時間x(單位:min)之間的函數關系,則下列說法中錯誤的是( ).

圖3

A.小紅在公園停留了5 min.

B.小紅乘出租車用了17 min.

C.小紅跑步的速度為180 m/min.

D.出租車的平均速度是900 m/min.

解析：為準確快速解答問題,首先要明確圖中橫坐標和縱坐標分別代表的實際意義——橫坐標代表的是小紅所用的時間,縱坐標代表的是小紅離家的距離.其次,要明確該折線圖由三部分構成.其中第一段表示“小紅從家出發跑步去公園”,且離家的距離越來越遠,到10 min時,小紅距離家的距離為1 800 m,這說明小紅家到公園的距離為1 800 m,且小紅的跑步速度為1 800÷10=180(m/min);第二段表示“小紅在公園停留了一會”,因此該段中,只有時間在增加,而小紅家離家距離并沒有增加,且小紅停留的時間為5 min.第三段表示“小紅在打車回家”,因此,小紅離家的距離越來越近,到17 min時,小紅與家的距離為0 m,說明小紅已經到家,且花費的時間為17-15=2(min),可以得出出租車的平均速度為1 800÷2=900(m/min).故該題的正確答案為選項B.

點評：數形結合思想把實際問題和圖象緊密地結合在了一起,不僅使學生的解題思路更加明確,縮短了學生做題時間,也提高了解題準確率.

2.4 數形結合思想在幾何中的應用

初中幾何知識具有抽象性特點,是學生需要掌握的重點知識和難點知識.切實強化數形結合思想在幾何問題中的應用,不僅可以幫助學生以簡單的方式快速解答幾何問題,還可以有效培養學生的抽象思維能力.

例4如圖4所示,當菱形ABCD的面積為120 cm2時,正方形AECF的面積為50 cm2,則菱形的邊長為______cm.

分析：該題是求解長度的問題,其解題關鍵在于菱形和正方形都是軸對稱圖形,且二者都具有對角線相互垂直的性質.因此,可依托數形結合思想,用設未知數的方法,解答出正確答案.

解：設AC=2a,BD=2b,則

①

②

由式①②,解得a=5,b=12.

點評：以數解形的解題方法既可以降低習題難度,也能夠為學生提供更加便捷的解題方法,有利于提高解題效率.

數形結合思想可以將形象直觀的圖形與抽象的數學知識進行有機結合,進而實現教學內容具體化、復雜關系簡單化.因此,教師應當加強數形結合思想在數學教學中的應用,并圍繞學生實際學習情況和學習特點,為學生總結出更多數形結合思想的應用思路.