精選數學好問題,驅動數學學習力
——以最值問題習題課為例

玉云化

? 武漢大學附屬外語學校

八年級數學中的最值問題對于很多同學而言很難,不容易理解和掌握,考查的數學知識涉及軸對稱、二次根式、勾股定理、平行四邊形、一次函數等內容,知識點多,綜合性強,這就需要教師精選具有趣味性、針對性、探究性的最值問題的解法,幫助學生對最值問題進行提煉、提升、探究,并進一步歸納總結,從而真正理解和掌握最值問題.通過教學過程激發學生學習興趣,驅動學生追求知識本質,解決問題,進而培養學生思考探究、推理計算、歸納總結的學習能力.

本文中以人教版八年級下冊“最值問題習題課”為教學案例進行分析,探討課堂上如何精選數學好問題,驅動學生數學學習力,讓每一個學生都融入到學習活動之中,使學生真正經歷有意義的學習過程,取得好的教學效果.

1 教學設計

1.1 情境創設,提煉問題,激發興趣

問題1如圖1,教室的墻面ADEF與地面ABCD垂直,點P在墻面上.若PA=AB=5,點P到AD的距離是3,有一只螞蟻要從點P爬到點B,它的最短行程是______.

圖1

圖2

設計意圖：最值問題的引入不應局限于教材上的將軍飲馬問題,教師可以恰當地選編題目,巧妙運用生活中的趣味性問題引出最短路徑這個重要知識,激發學生學習興趣,有利于學生解題思維的匯聚與深入,為本節課開了個好頭[1].

1.2 展開活動,提升問題,驅動學習

問題2如圖3,在正方形ABCD中,AB=8,AC與BD交于點O,N是AO的中點,點M在BC邊上,且BM=6.P為對角線BD上一點,則PM-PN的最大值為______.

圖3

解析：本題主要考查了正方形的性質以及距離最值問題.凡是涉及距離的最值問題,一般要考慮關于線段的性質,結合軸對稱變換來解決.以BD為對稱軸作N的對稱點N′,連接PN′,MN′,根據PM-PN=PM-PN′≤MN′,可得當P,M,N′三點共線(如圖4)時,取“=”.此時,過點O作OE⊥BC于點E,即可得出MN′∥OE∥AB∥CD,∠CMN′=90°,則△N′CM為等腰直角三角形,即CM=MN′=2,于是PM-PN的最大值為2.

圖4

設計意圖：在引入問題1后,學生對最值問題產生了一定的學習興趣與熱情,此時順勢展開問題2的教學活動,提升問題難度,驅動學生攻克較難的最值問題,使得從提煉問題到提升問題的教學過程緊湊又條理清晰,有利于學生對最值問題的深刻理解和掌握.

1.3 自主探究,深化問題,鞏固知識

問題3如圖5,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(3,1),直線l與x軸,y軸分別交于點B(-3,0),C(0,3),當x軸上的動點P到直線l的距離PE與到點A的距離PA之和最小時,則點E的坐標是______.

圖5

圖6

設計意圖：前兩個問題由易到難,由淺入深,隨著問題3的引入整個教學過程層層遞進,深化學生對最值問題的認知,驅動學生利用求解經驗,從一次函數背景下提煉出最值問題,有利于學生從解答過程中獲得最值問題本質屬性的自我解釋,體現了數學知識的自然生長,教學過程流暢合理,又有顯著的教學成效.

1.4 回顧反思,演練問題,歸納總結

練習1如圖7,正方體的棱長為2,B為一條棱的中點.已知螞蟻沿正方體的表面從點A出發,到達點B,則它運動的最短路程為( ).

圖7

圖8

練習3直線y=x+6與x軸、y軸分別交于點A和點B,x軸上有一點C(-4,0),P為該直線上一動點,當PC+PO值最小時點P的坐標為______.

設計意圖：本環節的三個練習題既是前面問題的延伸,也是最值問題的深化,而且題目的設置關注了不同層次學生的發展,既滿足全體學生對基礎題型的掌握和鞏固,也滿足學有余力的學生的追求,驅動學生探究熱情,讓學生知道知識從“哪里來”往“哪里去”,有利于培養學生學習力.從真正意義上讓學生解決問題,讓課堂實現好的教學效果[2].

2 教學設計說明與思考

本節課通過“情境創設,提煉問題,激發興趣;展開活動,提升問題,驅動學習;自主探究,深化問題,鞏固知識;回顧反思,演練問題,歸納總結”四個環節,對最值問題進行整合,創造性、個性化地精選數學好問題,用這些好問題串聯教學,生成靈活、豐富多彩的教學過程,讓不同程度的學生都能得到不同的發展.

本節習題課從趣味性問題入手提煉最值問題,以學生身邊的數學問題作為知識學習的切入點,突出數學與實際生活的聯系,讓學生知道知識從“哪里來”,即知識的源頭,對學習知識產生親切感,進而驅動學生愉快地投入到學習活動中;進一步展開學習活動,提升最值問題的難度,準確抓住知識的生長點,利用有層次的問題來驅動與激活課程的內在活力,讓學生知道知識往“哪里去”,即在學科內不同章節知識間的綜合應用;接著自主探究環節,準確抓住知識的延伸點,把握知識背后的數學本質與數學思想,深化最值問題,驅動學生的情感、思維、態度與價值觀得到更加飽滿的激活與釋放,讓學生真正經歷有意思的學習過程,感悟學習數學的意義與價值.最值問題涉及的知識點多而復雜,想要在一節課中掌握最值問題并不是一件容易的事,學生難以消化.設計回顧反思這一環節的練習題,與例題一一對應,將最值問題串聯于一體,實現知識的整合,通過歸納總結驅動學生鞏固最值問題,確保本節習題課教學更加高效.

總之,這節習題課,精挑細選具有趣味性、針對性、拓展性、綜合性很強的問題,這樣驅動式的教學設計,驅動學生積極學習、深度學習與反思學習,進而理解、鞏固、掌握知識,達到培養學生學習力的目的.