探索而來的“剛剛好”*
——“確定圓的條件”的實踐與思考

田 梅

? 南京市浦口區實驗學校

筆者曾在執教公開課——蘇科版九年級上冊第2章第3節“確定圓的條件”時,做了大膽的創新和嘗試,學生的想法鋪滿了黑板,盡顯山重水復疑無路的疑慮和柳暗花明又一村的喜悅.

1 教學分析

(1)內容分析

本節課從圓的定義出發,經歷確定圓的條件的探索過程,形成外接圓、外心、內接三角形等概念.

(2)重難點分析

教學重點:經歷確定圓的條件的探索過程,經歷過不在同一直線上的三點作一個圓的過程.

教學難點:確定圓的條件的探索.

(3)教學目標

①經歷確定圓的條件的探索過程,了解不在同一直線上的三點可以確定一個圓.

②經歷過不在同一直線上的三點作一個圓的過程,觀察和比較所作圖形的特點,了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內接三角形的概念.

③在探究過程中,體會分類討論思想.

2 教學過程

2.1 如何理解“確定圓”

教師:請同學們回憶一下,確定直線、三角形的條件分別是什么?

學生1:兩點確定一條直線,不共線的三點確定一個三角形.

教師:也就是說,經過兩點我們能作并且只能作一條直線,以不共線的三個點為頂點我們能作并且只能作一個三角形,那你們是如何理解“確定圓”的呢?

學生2:根據一些條件,只能畫出一個圓.

教師:是的,“確定”就是有且僅有,存在且唯一.

設計意圖：本環節從確定直線、三角形的條件開始回憶,而確定直線、三角形的條件學生是熟悉的,從而喚醒和加深學生對“確定”的理解——有且僅有,存在且唯一.

2.2 確定圓的條件是什么

教師:同學們,你們認為確定圓的條件是什么?

學生3:圓心和半徑.

教師:好的,請你以確定的圓心和半徑為條件作圓.(學生在黑板上畫圖,如圖1.)

圖1

教師:根據圓的定義,同時給出圓心和半徑這兩個條件可以確定一個圓.你能否嘗試改變條件,也能確定一個圓嗎?同學們畫畫看.

學生4:(在黑板上作圖,如圖2)給出圓心O和圓上一點A也可以確定一個圓.

圖2

教師:請解釋一下你的想法.

學生4:連接圓心和圓上的一點,就可以得到半徑.知道了圓心和半徑就可以確定圓.

教師:很好!這位同學保留了圓心O這個條件,把半徑改成了圓上一點,那么還可以從其他角度改變條件嗎?同學們再試試看.

(學生陸陸續續在黑板上畫圖,如圖3～8.)

圖3

學生5:半徑r和圓上一點A.

學生6:半徑r和圓上兩點A,B.

學生7:半徑r和圓上三點A,B,C.

學生8:圓上三點A,B,C.

已經關停的油井，是否還有必要恢復？讀罷貴刊2018年第19期刊登的報道《“喚醒”關停井》一文，得出的答案不僅是“有必要”，而且是“油田企業扭虧脫困的重要手段”。

學生9:矩形ABCD.

學生10:弧AB.

教師:同學們陸續地在黑板上畫了一些圖,下面就請他們結合圖形說說自己的想法.

學生5:我保留了半徑r這個條件,然后確定了圓上一點A.但是我發現圓心有無數個,而且在以A為圓心,r為半徑的圓上,因此這兩個條件不能確定一個圓.

學生6:我想到的條件是半徑r和圓上兩點A,B.目標也是找圓心,首先作線段AB的垂直平分線,然后以A為圓心r為半徑畫弧,與線段AB的垂直平分線交于兩點,所以可以作出兩個圓.

教師:在找圓心時,你為什么想到作線段AB的垂直平分線?

學生6:因為圓心O到點A,B的距離相等,而到點A,B距離相等的點在線段AB的垂直平分線上.

教師:很好!對比圖3和圖4,在添加了圓上的一點后,圓的個數從無數個變成了兩個,我們離成功更近了,而且獲得了一個非常寶貴的經驗——已知A,B是圓上兩點,那么圓心在線段AB的垂直平分線上.

圖4

圖5

(其他學生說:條件太多了,半徑不需要.)

學生8:我先畫了三個點A,B,C,然后作AB,BC的垂直平分線,它們的交點就是圓心,圓心到點A的線段長就是半徑,此時圓就畫出來了.

教師:此時,我們感覺到這位同學畫的三個點A,B,C剛剛好能確定一個圓,條件不多也不少.那么這是不是確定圓的條件呢?任意三點都可以確定一個圓嗎?同學們驗證一下,畫畫看.有想法的可以到黑板上講一講.

學生11:如果三個點A,B,C在一條直線上,線段AB,BC的垂直平分線互相平行,此時它們沒有交點,也就沒有圓心,因此這個時候不能確定圓.

教師:那么,可以怎樣正確地表述確定圓的條件?

學生:不在同一條直線上的三個點確定一個圓.

教師:同學們,我們回頭看一看探索過程.我們從圓的定義出發,先是保留圓心,將半徑改為圓上一點是可以的;然后保留半徑,將圓心改為圓上一點、兩點、三點,最終得到不共線的三個點是“剛剛好”確定圓的條件.當然這個過程中,我們始終抓住的仍然是能否確定圓心和半徑.

學生9:我作了一個矩形ABCD,經過矩形的四個頂點也能確定一個圓.

(其他學生:不是所有的四個點都能確定一個圓啊.)

教師:這個同學想到了矩形,一種特殊的四邊形,那么對于任意的四邊形四個頂點都共圓嗎?顯然不是.看來需要對這個四邊形添加一些條件,使得四點共圓的四邊形更一般化.這個問題留給同學們課后去探索!

學生10:一條弧也可以確定一個圓.一開始我是跟著感覺順著弧描出來的圓,現在我覺得可以在弧上任意找三個點,就可以確定一個圓.

教師:是的,弧上有無數多個點,任意三個點都是不共線的,都可以確定弧所在的圓.與“不共線的三個點”相比,弧給的無數個點就太多啦!

設計意圖：本環節從圓的定義出發,圓心確定位置,半徑確定大小.學生通過不斷嘗試改變條件,經歷了可以作出無數個圓、作出不同位置的兩個圓、不能作圓、可以作出確定的圓等,最終發現不共線的三個點是確定圓的條件.這個過程有7個學生在黑板上畫圖并分享自己的想法,全體學生共同探索和見證結論的形成.

2.3 如何用直尺和圓規作三角形的外接圓

教師:同學們,觀察圖6,不共線的三個點A,B,C給我們最直接的意象是△ABC,而⊙O是經過這個三角形三個頂點的圓,這個圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心叫做三角形的外心,這個三角形叫做圓的內接三角形.請你任作一個△ABC,然后用直尺和圓規作△ABC的外接圓,并思考還可以得到哪些結論.

圖6

圖7

圖8

(學生陸陸續續在黑板上畫圖,如圖9～11.)

圖9

圖10

圖11

學生12:OA=OB=OC,銳角三角形ABC的外心O在其內部.

學生14:OA=OB=OC,鈍角三角形ABC的外心O在其外部.

教師:同學們通過作圖發現了不同形狀的三角形,其外心與三角形的相對位置也不同.為什么三角形的形狀會影響其外心的位置呢?同學們可以思考一下.另外,老師還看到有的同學畫了等腰三角形的外接圓,多么漂亮的軸對稱圖形.我們還可以提出并解決哪些問題呢?這些都是值得進一步探索的問題……

設計意圖：在上個環節探索的基礎上,形成外接圓、外心、內接三角形的概念;學生經歷尺規作圖的過程,進一步發現外心的性質和相關結論,并為未來可能的探索作鋪墊.

3 教學思考

3.1 設計“真”問題,讓學生經歷知識點的生成

《義務教育課程方案(2022年版)》和各學科義務教育課程標準(2022年版)已于2022年4月正式頒布,課標高度強調:育人為本,建構核心素養導向的新教學.問題設計應基于學生、尊重學生,如果問題不切合學生所想和所需,學生思維可能就“僵”在那里.比如,如果我們問學生,過一個點、兩個點能確定一個圓嗎?學生會覺得奇怪,因為他們已經知道兩點確定一條直線,確定圓肯定要超過兩個點,所以不符合初三學生的認知特點,也顯得問題不具有合理的邏輯性.如果從一個點、兩個點開始,到不共線的三個點結束,學生難以體會不共線的三個點是“剛剛好”的條件.從學生認知基礎圓心和半徑突然到不共線的三個點,既限定了學生的思維,又缺少必要的關聯.課標指出,問題的提出應引發學生認知沖突,激發學生學習動機,促進學生積極探究,讓學生經歷數學觀察、數學思考、概括歸納、遷移運用等學習過程,體會數學是認識、理解與表達真實世界的工具、方法和語言,增強解決問題的能力.從本案例的實踐來看,教師在提出如何改變條件確定圓的問題后,學生積極動筆畫圖,不斷嘗試,陸陸續續產生了很多想法,并愿意交流分享,最終在黑板上完整地呈現出探索過程和成果.對于學生來說,這個問題是切合需要的、適合挑戰的,自然而然這個問題的探索過程是一次真實的、豐富的體驗.

3.2 開展“真”探究,由學生實現思維點的突破

當下的課堂中常常見到“快閃探究”,老師提出一個探究問題,學生立即回答,或者小組交流還沒有展開就已經結束.也常常見到“假探究”,就是用不太恰當或者錯誤的方法開展探究,忽視了探究的學科屬性.新課標明確提出強化學科實踐,就是“像學科專家一樣思考與行動”,在教學情景中,運用該學科的概念、思想與工具,解決真實的問題.在此案例中,學生從圓的定義(圓心確定位置、半徑確定大小)出發,有邏輯地嘗試改變條件,利用控制變量、弱化條件的思想,不斷探索和修正,學生作為課堂的主體,陸續分享自己的想法,互相交流和碰撞,最終解決問題——不共線的三點是確定圓的“剛剛好”的條件.這個探究過程以學習者為中心,關注學生思維的方向性、層次性、靈活性、品質性,以高階的素養目標為導向.

史寧中教授說:教學不僅要教給學生知識,更要幫助學生形成智慧[1].知識的主要載體是書本,而智慧則形成于經驗的過程中,形成于經歷的活動中,教師應該為學生創造思考的過程、探究的過程.通過探究活動,讓學生親身感悟解決問題、應對困難的思想和方法,就可以逐漸形成正確思考與實踐的經驗.喬治·波利亞在《數學的發現》一書中說:在語言文字表達及概念建立之前要先有一個探究階段,這樣學習所得才能轉化為學生的才能和品性,變成精神素質的一部分[2].

3.3 積累“真”經驗,助力學生的可能性創造

“如何把學生教聰明,如何讓數學變得容易一點”,這一直是筆者在探索實踐的問題.本案例中,學生從定義出發,運用了控制變量改變條件、弱化條件等方法,積累方法的經驗;在發現的過程中領悟新知識,積累創新和創造的經驗;在分析和調整的過程中抓住問題的核心,從感性認識上升到理性認識,為未來的學習提供可參考遷移的思維經驗.如果學生在每天的學習后,有新的視角或者方法解決他之前不會的問題,就會逐漸感覺到數學的力量感,從而感覺數學變得容易一點了.現在的每一節課,都是為了學生在未來應對新的挑戰時能更加從容、自信和有力.

從本案例的設計、試講、修改的過程中,筆者愈發感覺到把學生放在心中,把培養學生的學科素養體現在每一節活生生的課中,在發展學生的同時也成就了自己,這也是教師的初心和使命吧!