秦國工匠的素數情懷

王綱懷 邢強 茅涵青

素數又稱質數，素（質）數是指在大于1的自然數中，除了1 和它本身以外，不能被其他自然數整除的數。自然數5 0 以內的素數有：2 、3 、5 、7、11、1 3 、1 7、1 9 、2 3 、2 9 、3 1 、3 7、4 1、4 3、47 等15 個。

2 0 1 6 年4月，拙著《漢鏡銘文圖集》在中西書局出版。此書P588“附表三 漢鏡圓周等分（連弧）數字一覽表”介紹了4 2 個鏡例，其中3、5、7、11、13、17、19、2 3、2 9、31等10 個素數皆包括在內。斗轉星移，8年過去。在秦鏡資料中，筆者找出兩位數以上且圖片清晰的6個素數鏡例，特列表如下，詳見表一：

表一 秦鏡中的素數一覽表

圖1 戰國秦早期 素地十一連弧鏡圖2 戰國秦中期 云雷地十一連弧三龍鏡圖3 戰國秦中晚 羽狀地鏡（鈕座13渦云）

圖4 戰國秦晚至秦代 素地方華紋二龍二虎四鳳十七連弧鏡圖5 戰國秦晚至秦代 渦云地方華紋四鳳十九連弧鏡圖6 戰國秦中晚 渦云地四雷四龍鏡（鈕座31渦云）

在拙著《秦鏡文化研究》中，筆者又找到八面7連弧鏡，一面11連弧鏡，兩面1 3連弧鏡。還有作為間接素數的三面14（7×2）連弧鏡，一面鈕座26（13×2）渦云的螭龍鏡皆可供讀者了解、研討，本文免贅述。此外，另有若干如同本文圖6的資料（如《秦鏡文化研究》圖59、圖6 0），其鈕座之渦云紋數或為2 9之素數，因圖片模糊不能最終確認，而被迫放棄研討。

使用“規、矩”（圓規、直尺）等分圓周，自古有之。若是等分連弧數字，采取8、10、12、16、2 0、2 4、3 2等數字皆十分便捷。戰國秦和秦代的工匠們為什么要舍棄這些方便處理的數字，而采用7、11、13、17、19、2 3、2 9 這些不可能處理的“素數”呢？應該承認，這既是挑戰，更是情懷——這是一種“敢為人先”“勇攀高峰”的民族情懷。

世界公認的數學王子、德國大數學家高斯（1777年至1855年）在2 0 0年前，發現了正17邊形的尺規作圖法。這個發現是人類數學史上的一座豐碑。秦國、秦代工匠們的素數情懷，在相距20 0 0年后，被高斯率先突破。這段歷史告訴我們，人類的發展需要前赴后繼，不斷進取。

圖6局部

高斯破解17連弧的尺規作圖法有兩個前提：其一，直尺沒有刻度；其二，精確分割17份。在2 0 0 0年前，秦國工匠不可能采用高斯精確作圖法，而應該是采用了“直尺有刻度”的近似法。以7連弧為例，具體的作圖步驟如下：

第一步，以規畫圓，其圓周即為待分割之圓。第二步，過圓心畫直線，是為母線。第三步，以母線與圓周的兩個交點為圓心，任意長度（超過直徑）為半徑，出四弧，交于兩點。第四步，連接上述兩交點，得兩個中垂交點。第五步，以底部中垂交點為圓心，以到頂部中垂交點為半徑，做大圓弧，交母線于兩點，是為左、右基準點。第六步，以帶刻度直尺（或圓規截取）七等分中垂直徑。第七步，以左右兩個基準點分別為出發點，作直線以連接至等分點（取第1、3、5這三個等分點為用）的射線，交圓弧于6個點。第八步，依次連接以上6個點和底部中垂點，可將圓周作出近似7 等分，并形成一個精度較高的近似正七邊形。

有三點說明：其一，這里僅以7連弧為例，其他素數11、13、17、19、2 3、2 9、31等皆可類推，免再重復。其二，言“近似法”，必有誤差，依據需要，可予調整。其三，或有更好之“近似法”，盼讀者補充、指正。（注：本文得到茅昱、王堅、孫昊的支持，一并表示感謝）