衛星星座分布概率解析算法及精度分析

劉慧梁,孫茜,楚堯,彭菲,江帆,呂紅劍,蔡亞星,王平

1.中國空間技術研究院 通信與導航衛星總體部,北京 100094 2.國家航天局 衛星通信系統創新中心,北京 100094 3.啟元實驗室,北京 100095

1 引言

近50年來,人類探索太空的歷史先后經歷了兩次低軌衛星星座的浪潮。20世紀90年代,以“銥星”“全球星”為代表的第一代低軌星座系統旨在提供全球覆蓋的通信服務,其星座規模在數十顆衛星量級,提供窄帶通信服務,有效補充了地面蜂窩網絡未覆蓋地區的通信服務空白,特別是為南北極地區,提供了高效、便捷的通信服務[1]。但由于終端成本及業務運營等問題,上述衛星通信公司先后都經歷了破產重組,低軌衛星星座系統的第一次發展浪潮也隨之陷入低谷。2015年,在谷歌等互聯網巨頭的推動和支持下,以OneWeb和Starlink為代表的低軌星座在短期內迅速聚集人氣,掀起了低軌衛星星座開發的第二波浪潮。與第一代低軌星座系統相比,第二代低軌衛星星座規模有了大幅提升,多數是由數千顆甚至上萬顆衛星組成的大型星座,主要提供寬帶互聯網接入服務[2-4]。

伴隨著國外大型低軌星座的快速部署,近地軌道將面臨多系統共存的局面[5],為了避免頻率軌道資源干擾沖突等諸多問題,通常在星座設計階段會對在軌及規劃的星座進行分析,根據星座特征參數構建分析模型,其中,星座系統衛星位置分布概率的預測及其準確度直接影響著衛星互聯網星座系統的運行策略規劃[6-7]、通信協議設計[8-9]以及頻率干擾分析[10-11]等系統級設計驗證工作。高效、準確地實現多系統間衛星位置分布概率提取,是高質量完成系統設計的基礎,具體分析方法可以分為基于軌道外推的時域統計法以及基于位置概率的解析算法。

基于軌道外推法的時域統計法通過考慮衛星的各種攝動模型,建立相應的軌道方程,精度高,但計算復雜度大,對于目前動輒萬顆衛星規模的大型低軌星座來說,時域統計法計算耗時長、對服務器算力要求高,無法進一步支持對星座系統覆蓋率、通信協議、星座頻率干擾等開展分析[12-14]。

為彌補上述時域統計方法的不足,提高星座分布概率預測的效率,國際電聯先后研究并頒布了S.1529建議書“非靜止軌道(non-geostationary orbit,NGSO)衛星固定業務系統和其他衛星系統間干擾統計測定的分析方法”[15],S.1257建議書“從地球表面看NGSO衛星的可見度及干擾數據的計算分析方法”[16],給出了一種基于位置概率的計算方法。通過對典型場景的驗證,基于位置概率的計算方法與時域統計方法的結果基本一致,計算時間大幅降低[13,17]。然而,國際電聯相關研究在驗證基于位置概率的計算結果時,所用時域統計仿真結果包含大量假設前提,例如不考慮地球自轉的影響(即假設地球自轉角速度為0),設定升交點漂移為固定值(0.06°每公轉周期)等,與現實場景之間存在較大差距。此外,兩份建議書只對特定場景的概率計算結果與時域統計法進行了數值對比,并未對計算精度及誤差產生的原因做系統分析,所提方法對由數千顆衛星構成的大型星座的適用性也沒有驗證。

本文參考國際電聯前期所開展的基于衛星星座位置概率的研究基礎,首次提出并詳細推導了具有普適性的衛星星座概率分布的解析表達式,引入了地面站可視空域小區內衛星期望值變量,系統驗證了對于不同構型大型星座的適用性,通過與時域統計法結果對比,詳細分析了地面站在不同緯度下面對單一構型星座場景及混合構型星座場景的計算精度,為精確解析大型衛星星座分布概率提供了理論基礎及高效計算方法。

2 解析法公式推導

在衛星系統間頻率干擾分析中,利用衛星分布概率確定星座空間位置關系,模擬干擾概率分布曲線,是完成星座系統性能優化及干擾規避策略設計一種重要方法[13]。本節將詳細推導解析法求解不同構型星座衛星在可視空域小區中的分布特征,首先求解衛星星座概率密度函數,之后在此基礎上推導地面站可視空域小區內衛星期望值。

圖1為衛星地面站可視空域劃分示意圖。將任意地面站可視空域劃為更小的小區單元,以正六邊形為網格劃分,小區單元緊密排列,各區域中心呈三角形排布,方位角0°表示正北方向,90°表示正東方向,180°表示正南方向,極軸長度表示仰角范圍,坐標中心點表示地面站正上方,即仰角為90°。

圖1 衛星地面站可視空域劃分示意Fig.1 Schematic of the Field of View(FOV) division of the satellite earth terminal

2.1 衛星星座概率密度函數

假設某衛星運行在軌道半徑為R、傾角為δ的圓形軌道上,若衛星軌道為非回歸軌道,則衛星軌跡將逐步遍歷半徑為R的截斷球面,形成軌道殼,如圖2所示。

圖2 非靜止軌道衛星軌道殼示意Fig.2 Schematic of the orbit shell for NGSO (non-geostationary orbit)satellite

該軌道殼上的衛星位置可用星下點經度ψ和緯度φ表示,由于圍繞地球極軸的自轉具有對稱性,所以衛星軌道殼的經度將均勻分布,但是,衛星所處緯度的概率,與其運行軌道傾角相關。運行于圓軌道的衛星位置矢量如下:

式中:τ為服從[0,1]均勻分布的隨機變量;z為衛星位置矢量在地心指向北極方向上的分量。

即

(1)

式(1)存在兩個解,分別對應運行中衛星星下點緯度增大和緯度減小的兩種情況,因此衛星位于緯度區間[φ1,φ2]內的概率為:

則衛星在緯度方向的概率密度為:

由于衛星在軌道殼經度方向均勻分布,所以,概率密度函數可表示為:

(2)

圖3展示了傾角為45°的圓形軌道面上衛星的概率密度函數,其在南北緯大于45°區域概率密度為0;在小于或等于45°的區域,赤道上空衛星概率密度最低,隨緯度增加,概率密度單調遞增。

圖3 傾角為45°時衛星概率密度函數Fig.3 Probability density function of a satellite placed in a circular orbit plane with the inclination of 45°

2.2 地面站可視空域小區內衛星期望值

地面站T與其可視空域小區Ci的幾何關系如圖4所示。衛星出現在小區Ci中的概率為

圖4 地面站可視空域小區幾何關系示意Fig.4 Schematic of geometric relationship for NGSO satellite in the FOV of satellite earth terminal

p=pC(ψ,φ)dS

(3)

即概率密度函數在小區Ci上的面積分。假設概率密度函數在被積分面積上均勻,則有

pi=pC(ψi,φi)AC

(4)

式中:pC(ψi,φi)為小區單元中心點對應的衛星概率密度;AC為地面站可見空域小區單元的球面度(單位sr)。若可視空域小區為圓形,則面積AC的表達式為:

式中:Δθε和Δθβ分別為空域小區Ci的俯仰角差和方位角差所對應的地心角差,可由地面站與可見空域小區的位置幾何關系求出,表達式如下:

θε_min=arccos[kcos(ε-rcell)]-(ε-rcell)

θε_max=arccos [kcos(ε+rcell)]-(ε+rcell)

Δθε=θε_max-θε_min

式中:r與R分別為地球半徑和衛星圓軌道半徑,ε和θε分別為空域小區中心點對應的地面站仰角與地心角,θε_min與θε_max分別為空域小區上邊緣與下邊緣對應的地心角,rcell為可視空域圓形小區半徑。

當衛星總數為N時,對某一確定地面站,其可視空域小區Ci內,衛星期望值為:

E=Npi=NpC(ψi,φi)AC

(5)

當衛星星座存在k種不同構型時,對某一確定地面站,其可視空域小區Ci內,衛星期望值為:

(6)

3 不同構型星座計算結果及精度分析

本節將利用以上推導的解析法公式,求解不同構型星座對于地面站可視空域小區衛星出現期望值的計算結果,并對計算精度進行分析。本文選取兩個典型的Walker星座構型作為研究對象,分別研究單一構型及混合構型條件下的分析結果,具體構型軌道參數見表1。其中,構型A為δ型Walker星座,包括3200顆衛星,軌道高度1150km,傾角為60°;構型B為星型Walker星座,包括2880顆衛星,軌道高度1200km,傾角為88°。

表1 非靜止軌道通信星座軌道參數Table 1 Orbit parameters of NGSO satellite systems

在驗證計算精度時,采用基于軌道外推的時域統計結果ES與基于位置概率的解析法計算結果EA的比值作為評估指標,其中基于軌道外推的時域統計結果采用圓軌道,仿真步長為10s,總仿真時長為10000h(約417d),即以年為星座運行時長量級評估解析算法計算精度。在地面站空域劃分中,本文選取可視空域小區中心點仰角大于20°區域范圍進行統計及計算,可視空域小區半徑rcell最大選取10°,最小選取2°。圖5(a)展示了可視空域小區半徑為10°時,仰角大于20°區域范圍被劃分61個小區單元,圖5(b)展示了可視空域小區半徑為4°時,相同區域范圍被劃分367個小區單元。小區單元緊密排列,各區域中心呈三角形排布,極坐標中,極軸長度表示仰角范圍,坐標中心點表示地面站正上方,即仰角為90°,方位角0°表示正北方向,90°表示正東方向,180°表示正南方向。

圖5 地面站可視空域小區單元劃分Fig.5 Schematic of the FOV division of the satellite earth terminal

3.1 單一構型星座計算結果及精度分析

首先,對單一構型星座衛星位置概率計算結果進行分析。構型A星座在不同緯度地面站可視空域衛星期望值由式(5)計算,具體期望值分布如圖6所示。結果中圓圈位置表示子空域中心,灰度圖例表示衛星出現在小區單元的期望值,方位角0°表示正北方向,極軸長度表示仰角范圍。當地面站位于0°(N)時,正上方空域(仰角等于90°)小區單元內衛星期望值最小,隨著仰角降低,四周小區單元衛星期望值逐漸增加,由于構型A星座包含衛星數量高達3200顆,所以在視場邊緣小區半徑為10°區域(正北、正南方向)衛星期望值可達3.2。當地面站位于30°(N)時,隨著地面站緯度增加,圖中北方的衛星出現概率會略高于南方。當地面站位于60°(N)時,衛星集中于可視范圍內南方區域,北方大部分區域衛星期望值為0,對應式(2)中衛星星下點緯度大于衛星軌道傾角的區域概率密度為0。

圖6 構型A星座地面站可視空域小區衛星期望值Fig.6 Expectation of satellite in the FOV of satellite earth terminal for the constellation with configuration A

圖7展示了采用基于軌道外推的時域統計小區單元內衛星期望值ES與基于位置概率的解析法計算衛星期望值EA的比值,可以看出,小區單元半徑越小,則期望值比值越接近于1,即基于軌道外推的時域統計結果與基于衛星位置概率的解析算法越接近。從理論上講,即小區單元面積越小,基于式(4)的近似算法與式(3)的概率密度面積分結果越吻合。地面站緯度小于或等于45°時,基于位置概率的解析算法與基于軌道外推的時域統計結果相比,誤差最小為0.1%(小區半徑為2°時),誤差最大為3.1%(小區半徑為10°時)。當地面站緯度等于衛星軌道傾角,即60°時,由于衛星軌跡覆蓋邊緣存在未占滿小區單元,總體誤差平均值有所增加,為4.1%至6.7%。

圖7 構型A星座地面可視空域衛星期望值基于軌道外推法計算結果ES與解析法計算結果EA比值Fig.7 Ratio of expectation by simulation and expectation by analytical method for constellation with configuration A

構型B星座在不同緯度地面站可視空域衛星期望值同樣由式(5)計算,具體期望值分布如圖8所示。當地面站位于0°(N)時,正上方空域衛星出現概率最低,隨著仰角降低,四周小區單元內衛星出現概率逐漸增加,構型B星座包含衛星數量為2880顆,略小于構型A星座,視場邊緣小區半徑為10°區域(正北、正南方向)衛星期望值最大為2.6。當地面站位于30°(N)時可明顯看出,隨著地面站緯度增加,圖中北方的衛星期望值會逐漸高于南方。由于構型B星座傾角為88°,空間分布特征和之前所述構型A星座表現出一定差異,其在高緯度地區仍有較好的可見性,當地面站位于60°(N)時,正北方向可視空域邊緣小區半徑為10°區域衛星期望值可達到12.2。

圖8 構型B星座地面站可視空域小區衛星期望值Fig.8 Expectation of satellite in the FOV of satellite earth terminal for the constellation with configuration B

圖9展示了構型B星座采用基于軌道外推的時域統計小區單元內衛星期望值ES與基于位置概率的解析法計算衛星期望值EA的比值。當地面站緯度為0°(N)和30°(N),誤差最小為0.1%(小區半徑為2°時),誤差最大為2.9%(小區半徑為10°時)。當地面站緯度為60°(N),誤差最小為0.05%(小區半徑為2°時),誤差最大為2.6%(小區半徑為10°時)。

圖9 構型B星座地面可視空域衛星期望值基于軌道外推法計算結果ES與解析法計算結果EA比值Fig.9 Ratio of expectation by simulation and expectation by analytical method for constellation with configuration B

3.2 混合構型星座解析精度分析

在對單一構型星座衛星位置概率計算結果

進行分析的基礎上,本小節將針對包含構型A及構型B的混合構型星座,展示由式(6)計算的不同緯度地面站可視空域衛星期望值,并對計算精度進行分析。

混合構型星座期望值分布如圖10所示。由于該混合構型星座為構型A星座與構型B星座疊加,所以圖10地面站可視空域小區衛星期望值為圖6與圖8結果疊加。當地面站位于0°(N)時,正上方空域(仰角等于90°)小區單元內衛星期望值最小,隨著仰角降低,四周小區單元衛星期望值逐漸增加,在視場邊緣小區半徑為10°區域(正北、正南方向)衛星期望值為5.8。當地面站位于30°(N)時,圖中北方的衛星出現概率會略高于南方。當地面站位于60°(N)時,衛星期望值分布包括構型A特征,即衛星分布集中于可視范圍內南方區域,又包括構型B特征,正北方向可視空域邊緣小區半徑為10°區域衛星期望值可達到12.2。

圖10 混合構型星座地面站可視空域小區衛星期望值Fig.10 Expectation of satellite in the FOV of satellite earth terminal for the constellation with hybrid configuration

圖11展示了混合構型星座采用基于軌道外推的時域統計小區單元內衛星期望值ES與基于位置概率的解析法計算衛星期望值EA的比值。當地面站位于0°(N)和30°(N)時,基于位置概率的解析算法誤差最小為0.1%(小區半徑為2°時),誤差最大為2.9%(小區半徑為10°時)。當地面站緯度等于構型A衛星軌道傾角,即60°時,總體誤差平均值增加為3.5%至5.8%。

圖11 混合構型星座地面可視空域衛星期望值基于軌道外推法計算結果ES與解析法計算結果EA比值Fig.11 Ratio of expectation by simulation and expectation by analytical method for constellation with hybrid configuration

4 結論

為滿足日益增長的衛星星座空間分布概率快速分析需求,本文首次提出并詳細推導了具有普適性的星座概率分布解析表達式,引入了地面站可視空域小區內衛星期望值變量,并系統驗證了所提解析算法對于不同構型大型星座的適用性。與傳統基于軌道外推的時域統計法結果相比,期望值解析算法的結果誤差大小與可視空域小區單元半徑相關,小區單元半徑越小,解析算法結果誤差越小:當可視空域小區單元半徑等于10°時,最大誤差為3.1%,當小區半徑減少至2°時,最大誤差小于0.1%。除此之外,本文還詳細分析了地面站部署在不同緯度時對單一構型星座場景及混合構型星座場景的計算精度的影響。當地面站緯度從0°不斷增加至星座軌道傾角角度時,衛星軌跡覆蓋邊緣會逐漸出現未占滿小區單元、從而導致計算結果誤差增加的情況。利用本文所提解析算法可以快速計算地面站可視空域內特定區域衛星出現期望值,為快速評估衛星星座分布概率、星座系統覆蓋性分析及系統間頻率干擾分析提供了理論基礎及高效計算方法。