基于多通道卡爾曼濾波方法的磚砌體墻基本頻率識別

謝良海 彭斌 單祎瑩 王卓琳 任赟昊

摘要：基本頻率是評定磚砌體墻安全性的重要指標。為在識別磚砌體墻的基本頻率時有效降低噪聲干擾，設計了多通道的動力測試方案，并將卡爾曼濾波與奇異值分解相結合進行降噪處理。首先，通過偽靜力試驗獲取磚砌體墻不同的損傷狀態，并在環境激勵下獲取墻體在對應損傷狀態下多個位置的加速度響應記錄。然后，分別針對單一位置的加速度響應記錄，采用KF方法引入墻體的物理參數進行降噪處理，進而識別墻體的基本頻率。最后，采用奇異值分解綜合利用所有降噪處理后的加速度響應記錄，再識別墻體的基本頻率。識別結果符合基本頻率因損傷而降低的規律，能定量表示降低砂漿強度、增加開洞率和增加高寬比時基本頻率的變化以及墻體損傷發展的過程。研究表明：采用卡爾曼濾波方法能夠利用對墻體物理參數的合理先驗判斷有效降低噪聲影響，較準確識別墻體的基本頻率；在此基礎上，結合奇異值分解能夠綜合利用多個加速度響應記錄中的有用信息，提高基本頻率的識別效果。

關鍵詞：磚砌體墻；基本頻率；卡爾曼濾波；奇異值分解；環境激勵

中圖分類號：TU 362

文獻標志碼：A

Basic frequency identification for brick masonry walls based on multi-channel Kalman filtering

XIE Lianghai1，PENG Bin 1，SHAN Yiying 1，WANG Zhuolin 2，Ren Yunhao 1

（1.School of Environment and Architecture，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China;2.Shanghai Key Laboratory of Engineering Structure Safety，Shanghai Research Institute of Building Sciences，Shanghai 200032，China）

Abstract：Basic frequency is an important index for safety assessment of brick masonry walls.To effectively reduce the interference of noise in basic frequency identification for the walls，a multi-channel dynamic testing scheme was designed，and the Kalman filtering（KF）was combined with the singular value decomposition（SVD）to denoise.First，different damage states on brick masonry walls were imposed by pseudo-static tests，and then the acceleration responses at different parts of the damaged walls were recorded under ambient excitations.As the next step，the KF method that introduced the wallsphysical parameters was used to denoise for each of the acceleration record.The wallsbasic frequency was identified by using each denoised acceleration record separately.Finally，all the denoised acceleration records were combined by SVD，and the wallsbasic frequency was identified again.The identified basic frequencies decrease along with the increase of damage severity.The identification results quantitatively relate the change of basic frequency to the decrease of mortar strength，the increase of the opening rate，and the increase of the aspect ratio，and they quantitatively reveal the damage process of the walls.The research shows that the KF can use reasonable prior judgment about the wallsphysical parameters to effectively denoise and then accurately identify the wallsbasic frequency.The identification results can be further improved by combining useful information in multiple acceleration records through SVD.

Keywords：brick masonry wall;basic frequency;Kalman filtering;singular value decomposition;ambient excitation

基本頻率是磚砌體墻的關鍵參數，對評估磚砌體墻的安全性、評價加固效果等有重要作用。對既有磚砌體墻，其基本頻率可基于現場動力測試記錄進行識別。進行動力測試時，由于人工激勵不易實現且成本昂貴，一般采用環境激勵[1-2]。但基于環境激勵所獲取的測試記錄信噪比一般很低，不能直接用于識別基本頻率[3]。因此，降低測試記錄中噪聲的影響是一個關鍵的問題。

卡爾曼濾波（Kalman filtering，KF）方法可將對系統狀態的先驗判斷與實測響應記錄相結合，避免完全依賴包含誤差的實測記錄，且通過擴展能夠綜合利用多個實測記錄的有用信息，在工程實踐中應用廣泛[4-6]。在外部激勵已知和響應記錄完整的情況下，可用該方法基于響應記錄識別結構物理參數[7-9]。在外部激勵未知、響應記錄完整[10-11]或激勵和響應部分已知的情況下[12-14]，可用該方法識別系統物理參數和未知外部激勵。

相比傳統濾波器，卡爾曼濾波器在處理非線性系統和非高斯噪聲時表現更加優秀[15]，因為它能夠根據系統的實際情況對狀態和噪聲進行聯合估計和控制，而傳統濾波器只能處理線性系統和高斯噪聲。此外，卡爾曼濾波器還能夠實時更新狀態和噪聲的估計值，適應系統的動態變化。最后，卡爾曼濾波器在一定程度上能夠對系統建模誤差進行補償，提高估計和控制的準確性[16]。

該方法對于降低既有砌體結構動力測試記錄中噪聲的影響具有潛在優勢，但當前的研究尚不多見。為探索其有效性，本文設計了4片磚砌體承重墻模型，首先通過偽靜力試驗使墻體處于不同程度的損傷狀態，并在不同損傷狀態下基于環境激勵獲取8個通道的加速度響應記錄。然后，將墻體的物理參數矩陣作為先驗判斷，采用KF方法分別對單一通道加速度響應記錄進行濾波處理，初步識別磚砌體墻的基本頻率。在此基礎上，通過奇異值分解（singular value decomposition，SVD）挖掘多個通道響應記錄中的有用信息，進行信號重構，提升墻體基本頻率的識別精度。

1磚砌體墻動力響應的卡爾曼濾波（KF）模型

1.1離散化的系統方程

將磚砌體墻離散為多自由度系統，在一致環境激勵下其動力平衡方程為

式（1）可改寫為如下形式的狀態方程[17]：

對式（2）進行時間離散可得到墻體的狀態轉移方程如下：

d.返回步驟a繼續下一時刻的計算。

上述過程不斷循環，可確定各時刻系統狀態向量的估計值。這些值是在指定先驗判斷（即系統的狀態方程）和給定實測數據的條件下，對整個系統發展過程的最優估計。

可利用對系統的先驗判斷降低噪聲的影響，是卡爾曼濾波方法的潛在優勢。先驗信息指的是在當前時刻，根據前一時刻的狀態估計和傳感器測量信息，預測出下一時刻的狀態估計信息。先驗信息的作用是提供一個先前狀態的估計，作為當前狀態的初始估計，并利用先前狀態的不確定性來預測當前狀態的不確定性。本文將利用磚砌體墻的有限元模型提供先驗判斷，確定系統狀態方程中的各參數，并通過以下方式利用先驗信息：

a.增加預測步驟。在預測步驟中，利用先驗信息來預測下一時刻的狀態和狀態不確定性。通過增加預測步驟，使得濾波器對狀態的估計更加準確和穩定。

b.調整卡爾曼增益。卡爾曼增益反映了測量信息和先驗信息的相對權重，通過調整卡爾曼增益來平衡測量信息和先驗信息的貢獻。在狀態估計誤差較大的情況下，增加先驗信息的權重，使得濾波器更加穩定。

c.優化初始狀態估計。通過利用先驗信息，可以更好地估計當前狀態的初始值，并且在后續的濾波過程中，利用測量信息不斷更新狀態估計。優化初始狀態估計可以提高濾波器的收斂速度和穩定性。

2既有磚砌體墻的偽靜力試驗和有限元模擬

通過偽靜力試驗在磚砌體墻中實現不同程度的損傷，以模擬既有結構中承重墻的真實狀態。

2.1偽靜力試驗

以3層既有砌體結構底層磚砌體墻為原型，設計縮尺比例為1∶2的磚砌體墻試件[20]。考慮砂漿強度等級、開洞率和高寬比3個因素對墻體基本頻率的影響，共采用4片試件，編號為W1～W4，如表1所示。

按圖1所示的裝置對各墻體試件進行偽靜力加載[20]。試驗過程中，考慮墻體的約束條件和損傷情況，分別選取5種不同的狀態進行基本頻率識別，如表2所示。

2.2有限元模擬

有限元模態分析的振型結果，可作為加速度傳感器布置的依據；有限元模態分析的頻率結果，可作為評價識別效果的參考。同時，由有限元模型可確定狀態方程中的各參數，獲得對系統（墻體）的先驗判斷。

有限元模型的材料特性由材性試驗結果確定[21]，對于W1墻體模型，取其砌體的彈性模量為2815 N/mm 2，泊松比為0.15，密度為1837 kg/m 3；對于W2，W3，W4墻體模型，取其砌體的彈性模量為3370 N/mm 2，泊松比為0.15，密度為1837 kg/m 3；4個模型中，取混凝土的彈性模量為30000 N/mm 2，泊松比為0.17，密度為2450 kg/m 3。單元采用8節點6面體單元，位移邊界條件按試驗方案設置，頂部施加均布荷載來模擬豎向壓力。進行模態分析獲得基本振型，結果如圖2所示。

由圖2可知，4片墻體的基本振型均沿Z方向彎曲，且Y方向相同位置處的曲率一致。因此，對每個墻體試件，將加速度傳感器沿墻面高度豎向均勻布置，可采集不同信噪比的記錄。同時，在同一高度布置多個傳感器，可使同一信噪比的多組記錄在頻率識別時實現信息互補。另外，再在底梁上布置一個傳感器用于采集環境激勵，作為系統的輸入。各傳感器通道布置如圖3所示。

從各墻體的有限元模型中提取其剛度矩陣K、質量矩陣M和阻尼矩陣C，將其作為狀態A和狀態I的先驗判斷。各損傷狀態下質量矩陣保持不變，剛度矩陣根據退化比例折減[20]，阻尼矩陣采用Rayleigh形式，并取前兩階振型計算，阻尼比均為0.05。

2.3環境激勵下的動力測試

當每片砌體墻處于表2所列的5種損傷狀態時，分別在環境激勵下進行采樣，采樣頻率大于信號中最高頻率的兩倍即可保證采集的信號不失真。對于砌體墻來說，其基本頻率一般不超過70 Hz，根據有限元模態分析的結果并考慮到噪聲的影響。本試驗按200 Hz進行采樣，獲取其8個通道的加速度記錄，記錄長度均為213。其中，通道8的記錄為環境激勵、通道1～7的記錄為墻體加速度響應。

3基于KF方法識別磚砌體墻的基本頻率

3.1基于單通道測試記錄的識別結果

從有限元模型中提取出參數矩陣，將動力測試獲取的墻體加速度響應進行積分，得到速度響應和位移響應，將兩者應用到上文的系統方程中。經卡爾曼濾波濾除響應中包含的噪聲，后對位移響應求功率譜密度（power spectrum density，PSD），進而拾取峰值確定墻體的基本頻率。以W1墻體在狀態A和狀態I下通道1為例，功率譜分別如圖4所示。

從圖4中可以看出：不論在簡單受力狀態A還是復雜受力狀態I，KF方法均能有效降低噪聲的影響，使功率譜突出峰值減少且均集中在低頻處，更好地反映砌體墻的動力特性。

W1墻體經KF濾波后各狀態各通道的基本頻率識別結果如表3所示。從表中可以看出：狀態B、狀態III下各通道識別結果相同，狀態A、狀態I下各通道識別結果較為接近，但狀態II下通道5，6的識別結果較其他通道明顯偏高。因此，在某些狀態下識別結果是穩定的，體現了利用KF方法的降噪效果。但仍有部分狀態的識別結果不理想，還可作進一步的處理。

3.2基于多通道測試記錄奇異值分解的識別結果

為了進一步改善識別結果，引入SVD綜合利用所有通道記錄中的有用信息。可以采用先SVD后KF（方法一）和先KF后SVD（方法二）兩種處理方法。

按方法一， 將得到的 7 個輸出通道的速度、 位移響應記錄分別組合為一個測試記錄矩陣 Ya， Yb 。 對Ya， Yb按下式進行奇異值分解：

式 中 ： U 是 N×N維 酉 矩 陣 ； S=diag（λ1 ; λ2 ; ··· ; λr），常數λ1 ; λ2 ; ··· ; λr為奇異值； VT是l×l維酉矩陣。

對應于奇異值λ1 ，可按下式構造矩陣Ya（1） ; Yb（1）：

式 中 ： U（：; 1）為 矩 陣 U 的 第 一 列 ； V（1; ：）為 矩 陣 V 的第一行。

矩 陣 Ya， Yb綜 合 了 所 有 輸 出 通 道 的 信 息 ，Ya（1）， Yb（1）則包含了Ya， Yb中主要的信息成分。之后對Ya（1）， Yb（1）經 KF 方法處理，識別出基本頻率。

按方法二，將KF方法處理后的7個輸出通道的速度、位移記錄分別組合為一個測試記錄矩陣，進行奇異值分解，同樣將除以外的奇異值置零，重構矩陣后識別基本頻率。

兩種多通道處理方法和上文單通道處理方法識別的基本頻率結果標準差如表4所示。

從表3可以看出，采用方法二即先KF后SVD的方式，標準差為0，識別結果最理想。采用該方法，不同損傷狀態下的基本頻率識別結果如表5所示。

4墻體損傷過程的量化分析

將表4中的頻率識別結果以最大值為基準，通過其他值占最大值的比例來量化基本頻率的變化規律，如圖5所示。偽靜力試驗獲取的墻體剛度退化也以同樣的方法進行量化，如圖6所示[20]。

在圖6中，對比狀態Ⅰ下各墻體的識別結果，可見砂漿強度的降低、開洞率的增加、高寬比的增加都會使砌體墻的剛度降低，從而使其基本頻率減小。相較于砂漿強度等級和開洞率，高寬比的變化對墻體基本頻率的影響更大。

在加載至開裂（狀態Ⅰ至狀態Ⅱ）及開裂至破壞（狀態Ⅱ至狀態Ⅲ）的過程中，W3的基本頻率下降幅度最大，其次是W1，最后是W4。這說明在砌體墻受力過程中，開洞率對墻體破損的影響最大，其次是砂漿強度，高寬比影響最小。

對比圖5和圖6，可以看出在各墻體加載至破壞的全過程中，所識別的頻率變換規律均與剛度退化規律一致。可見基本頻率識別結果是可靠的，能正確反映并量化砂漿強度等級、開洞率和高寬比對墻體損傷發展的影響。

5結 論

通過偽靜力試驗使磚砌體墻處于不同損傷狀態，基于環境激勵獲取墻體對應狀態的加速度響應。采用KF和SVD相結合的方法進行降噪處理，進而識別對應狀態下墻體的基本頻率。研究結果說明：

a.KF方法可將磚砌體墻的物理參數作為先驗判斷，有效降低其動力測試響應記錄中噪聲的影響，為準確識別基本頻率提供基礎。

b.KF方法對單個測試通道響應記錄的降噪效果明顯，但多個測試通道之間基本頻率識別結果存在離散性。

c.將KF方法與SVD相結合，可綜合利用多個測試通道的有用信息，實現有效降噪，改善磚砌體墻基本頻率的識別效果。所識別的基本頻率可靠，其變化規律與偽靜力試驗中墻體剛度退化規律一致。

d.采用本文方法降噪處理后，能夠通過所識別的基本頻率的變化，量化砂漿強度、開洞率和高寬比等因素對磚砌體墻損傷發展過程的影響，為評估其安全性提供依據。

總的來說，本研究成果對于砌體結構墻體損傷識別方法具有一定的實用價值。但是鑒于實驗中所使用的砌體墻由磚砌塊和砂漿砌筑成，非線性顯著，而且經歷長期使用，本身損傷不確定，觀測噪聲也并不是高斯噪聲，常規的卡爾曼濾波方法可能具有局限性。在未來的研究中可以考慮一些針對磚砌塊和砂漿砌筑結構的損傷檢測和監測的非線性濾波方法，如擴展卡爾曼濾波（EKF）、無跡卡爾曼濾波（UKF）、粒子濾波（PF）等方法，同時也可以使用蒙特卡羅方法進行粒子濾波來處理非高斯噪聲。

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（編輯：丁紅藝）