立足背景 積極聯(lián)想 審慎構(gòu)思 適度融合
——對兩道解三角形試題命制過程的思考*

楊元韡

(江蘇省常州高級中學 213003)

數(shù)學檢測是評價數(shù)學教學和數(shù)學學習質(zhì)量的重要方式,數(shù)學檢測離不開具有較高信度、效度和區(qū)分度的高質(zhì)量的試題．因此,試題命制是日常數(shù)學教學的重要部分,同時也是教師重要的基本功之一．試題命制是一項創(chuàng)造性的勞動,往往需要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、聯(lián)想、探究、構(gòu)思等一系列復雜過程．試題命制主要有基于母題的改編式命制與原創(chuàng)命制兩種類型,相對而言,基于母題的改編式命制更為容易些,值得一線教師去嘗試．通過試題的改編式命制,教師往往更能高屋建瓴地看待數(shù)學問題,更能從復雜的問題中析出深刻的背景,因此試題命制是提升教師專業(yè)素養(yǎng)很好的途徑．下文筆者將結(jié)合2022—2023學年第二學期常州市教育學會學業(yè)水平檢測高一數(shù)學卷的兩道解三角形試題的命制過程,談一談自己的思考．

1 第1道解三角形試題的命制過程

母題1 已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=c-2acosB．

(1)證明:B=2A;

母題2 (多選)在△ABC中,若a∶b∶c=4∶ 5∶6,下列結(jié)論中正確的有( ).

A．sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6

B．△ABC是鈍角三角形

C．△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

背景挖掘 母題1的第(1)問由條件a=c-2acosB證明B=2A,第(2)問又給出其他兩個邊的條件,求三角形面積,母題1是一道比較常規(guī)的解三角形問題．母題1給出了B=2A的一個充分條件a=c-2acosB．母題2的各選項維度不一,但是引起筆者興趣的是選項C(為正確選項)．據(jù)此,確定命題背景:邊長之比為4∶5∶6的三角形的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍．

確定命題背景之后,展開聯(lián)想,從不同的角度進行嘗試,設(shè)定已知條件與問題．

聯(lián)想與構(gòu)思1 以邊的關(guān)系為已知條件,以角的關(guān)系為問題,擬定下列試題1．

試題1已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足下列條件中的一個:① sinA∶sinB∶sinC=4∶6∶5;②a=c-2acosB．

若選擇條件(在條件①,②中選擇一個),求證:B=2A．

聯(lián)想與構(gòu)思2 以角的關(guān)系和部分邊的關(guān)系為已知條件,以求角或求邊為問題,擬定下列試題2．

試題2已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且B=2A,3a=2b,c=5．

(1)求cosB的值;

(2)求△ABC的周長．

試題1,2評析試題1從兩個條件中選擇一個條件(條件的結(jié)構(gòu)不良),雖然維度不同,但試題本身略顯單薄;試題2主要的缺點在于,若將B=2A轉(zhuǎn)化為sinB=sin 2A,就會出現(xiàn)兩解的情況(兩者不等價造成的),要進行舍解(過程參見下面定稿試題(1)解析),最后求出周長．試題2就成為一道有“陷阱”的題目,學生很可能因為思維縝密性不夠而丟分．筆者對試題1,2都不滿意．

聯(lián)想與構(gòu)思3 結(jié)合母題2命制了第(1)小問后,筆者將試題2的(2)仍作為第(2)問．如何消除試題2中的“陷阱”?可讓學生先證明三角形的唯一性,再去求其周長,使學生明確取舍這一要求.據(jù)此命制如下定稿試題1,該題不設(shè)“陷阱”,還能從多個角度加以解決,不禁錮學生的思維．

定稿試題1(試卷第21題)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足下列條件中的一個或多個:①a=c-2acosB;②B=2A;③ 3a=2b;④c=5．

(1)若△ABC滿足條件①,求證:△ABC滿足條件②;

(2)求證:同時滿足條件②,③,④的△ABC是唯一的,并求出其周長．

解析 (1)由條件①,a=c-2acosB,根據(jù)正弦定理得sinA=sinC-2sinAcosB,因為A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+ cosAsinB,所以sinA=cosAsinB-sinAcosB=sin(B-A)．因為0

綜上所述,同時滿足條件②,③,④的△ABC是唯一的,且a=4,b=6,c=5,故△ABC的周長為15．

當b=6時,a=4,檢驗過程同方法1,得△ABC同時滿足條件②,③,④;

綜上所述,同時滿足條件②,③,④的△ABC是唯一的,且a=4,b=6,c=5,故△ABC的周長為15．

(方法3)先證明條件①與②等價:根據(jù)(1)知,只需證明當B=2A時,有a=c-2acosB．

證明如下:因為B=2A,所以A=B-A,所以sinA=sin(B-A),所以sinA=sinBcosA- cosBsinA,所以sinA=sin(A+B)-2cosBsinA,又A+B+C=π,所以sinA=sinC-2cosBsinA,根據(jù)正弦定理,a=c-2acosB.

綜上所述,同時滿足條件②,③,④的△ABC是唯一的,且a=4,b=6,c=5,故△ABC的周長為15．

評析定稿試題1從內(nèi)容層面考查了正弦定理、余弦定理等數(shù)學基本知識,從能力層面考查了轉(zhuǎn)化與化歸、推理與論證、數(shù)學計算等能力．本題入口較寬,方法多樣,可以從兩角相等出發(fā),利用兩角的正弦值相等或兩角的余弦值相等去尋找邊的方程,有效地訓練學生的數(shù)學思維能力.方法1、方法2中,利用正弦值相等出現(xiàn)多解的原因是B=2A與sinB=sin 2A并不等價,前者是后者的充分不必要條件,檢驗時舍去的情形恰是B+2A=π的情形;方法3中,根據(jù)第(1)問的啟發(fā)進行有效的轉(zhuǎn)化;方法4中,利用余弦值相等只有一解的原因是B=2A與cosB=cos 2A是等價的,其難點主要是解高次方程,可以用猜根的方式求得一解后再用因式分解來突破．

2 第2道解三角形試題的命制過程

圖1

(1)若∠BDC=45°,求線段AC的長;

(2)求線段AC長的最大值．

聯(lián)想與構(gòu)思1 確定了命題背景之后,展開聯(lián)想,改編條件,擬定下列試題3．

圖2

(2)試用θ表示對角線AC的長,并指出θ取何值時AC的長最大．

在一次組內(nèi)教研活動中,一位同事問道:在一個解三角形問題求解結(jié)果中,如果出現(xiàn)平面凹四邊形的情況要不要舍去?筆者一時難以回答,平面四邊形的確分為平面凸四邊形和平面凹四邊形,而高中階段學生往往遇到的是平面凸四邊形．

聯(lián)想與構(gòu)思2 同事問的問題觸發(fā)筆者的靈感,將試題3進一步改編．以平面凸四邊形為背景,編擬如下的新情境題．

圖3 圖4 圖5

(1)求cosθ的取值范圍;

(2)試用θ表示對角線AC的長,并指出θ取何值時AC的長最大．

3 對兩道試題命制過程的思考

3.1 立足背景,使試題命制的根基更扎實

在命題之前選好背景,使命制的試題題干中的對象至少是存在且相容的．有些時候,我們按照某種演繹推理的方式去解決某個問題時,也能得到相應的結(jié)果,但很可能其大前提的條件之間就是自相矛盾的．如果事先選好背景,就可以避免出現(xiàn)這類不易被察覺的自相矛盾的情形．值得注意的是,選好背景之后還要仔細推敲,防止出現(xiàn)背景相對應的情形之外還有其他情形,如果需要規(guī)避其他情形的出現(xiàn),命題時可加一些條件加以限制;如果不需要規(guī)避其他情形的出現(xiàn),則無需限制．例如,定稿試題1本身不會出現(xiàn)背景外的情形,因此也沒有給出額外的限制條件,但是方法1和2因為轉(zhuǎn)化的不等價還是出現(xiàn)了其他情形,需要進一步檢驗排除．

3.2 積極聯(lián)想,使試題命制的維度更廣闊

根據(jù)背景積極聯(lián)想,應盡可能多地進行條件預設(shè)和問題預設(shè),比較每一種預設(shè)的優(yōu)點與不足,選擇最佳的條件預設(shè)與問題預設(shè),當然這些最佳的預設(shè)也未必是唯一的．條件與問題很多情況下是可以置換的,如交換部分條件與問題的位置就可以得到新的問題,這種置換常見于教學中變式題組的問題設(shè)計,也可以用于試題的命制．通過積極聯(lián)想,可以把一個題目通過不斷的變形,如置換部分條件與問題,如弱化條件、變形引申、問題一般化等,生成一個個生動活潑的“衍生題”,讓試題命制的維度更為廣闊．

3.3 審慎構(gòu)思,使試題命制的預設(shè)更合理

審慎構(gòu)思,就是要對命制的試題的每一個條件與結(jié)論進行構(gòu)思,并進行細致入微的審核,避免出現(xiàn)多余條件或缺少條件的情況發(fā)生,還要“仿真模擬”學生的想法,即要對學生審題的過程、設(shè)計解題思路的過程、具體的表達過程等環(huán)節(jié)做好預判,思考學生如何尋找切入點,如何轉(zhuǎn)化條件,如何轉(zhuǎn)換目標等．同時也要注意,避免出現(xiàn)人為的“陷阱”題,讓試題更加有效地測試學生的核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力．例如,定稿試題1的唯一性證明目的在于規(guī)避這種“陷阱”的發(fā)生．

3.4 適度融合,使試題命制的內(nèi)涵更豐實

適度融合,包含知識之間的適度融合、方法之間的適度融合、情境與問題之間的適度融合,等等,這樣可以使命題的內(nèi)涵更加豐實．例如知識之間的適度融合、方法之間的適度融合可以讓一題有多用,考查多個知識點或多種方法、情境與問題之間的適度融合可以考查學生提取信息、加工信息、處理信息的能力以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力．定稿試題1將母題1和母題2的考查有機地融合在一起,定稿試題2將新情境植入具體問題中,對轉(zhuǎn)化與化歸能力的考查更加“濃墨重彩”．值得注意的是,適度融合必須在條件與問題的表達上仔細推敲,避免出現(xiàn)題目生拼硬湊的現(xiàn)象．