一道2022年四川省預賽填空題的解法與推廣

姜建海

(江蘇省蘇州大學附屬中學 215006)

1 試題展示

問題1(2022年全國中學生數學奧林匹克競賽四川省預賽第6題)若△ABC的三邊長a,b,c滿足a2+b2+3c2=7,則△ABC面積的最大值為．

試題形式簡潔,敘述簡單,是三角形面積最大值問題．掌握數學就意味著善于解題,當我們看到一道題時,不僅要欣賞它,更應該研究它．只要它不是終極的,就有思考的空間和探究的價值．

2 解法探究

2.1 代數視角

評析海倫公式是一個常見結論,上述過程使用了兩次放縮(a+b)2≤2(a2+b2),c2-(a-b)2≤c2．

評析解題的關鍵在于a2+b2用c2表示,從而將△ABC的面積S放縮為關于c的一元函數．

評析解法3、解法4利用均值不等式從不同方向把面積表示為一元函數．

2.2 三角視角

2.3 幾何視角

圖1

圖2 圖3

評析解法9、解法10與解法8基本相同,只是方法上的異同．

圖4 圖5

3 變式探究

3.1 系數變式

問題1的條件a2+b2+3c2=7中a,b具有對稱性,a2,b2,c2系數各不相同又如何?

問題2△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a2+2b2+3c2=1,求△ABC面積的最大值．

3.2 二次變一次

問題3設△ABC的三邊分別為a,b,c,若2a+7b+11c=120,求△ABC面積的最大值．

3.3 逆向變式

問題4△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,△ABC的面積為2,則a2+2b2+c2的最小值為．

4 推廣探究

利用以上方法,可以把上述問題進一步推廣到一般情形．

借助結論1,又可得到如下結論2:

結論2的證明留給有興趣的讀者思考．

張奠宙教授說:“變式練習是中國數學教育的一個創造”[1].基于變式練習的變式教學為學生 的思維發展提供了一個階梯,用看似重復但不呆板的題型為學生建構完整、合理的新知,夯實 基礎．