基于體驗操作 助力思維生長
——以“探索三角形全等的條件”為例

王永鋒

(江蘇省蘇州市吳江區盛澤第二中學 215228)

在一次區級教研活動中,筆者聆聽了一節蘇科版教材八年級上冊第一章第3節“探索三角形全等的條件(第1教時)”公開課．執教者遵循“就兩個三角形的邊或者角分別給出一組相等、兩組相等、三組相等,讓學生想象并說出不同的情形,教師黑板上演示”這一思路開展教學．這種“做加法”的思路本身是符合教學規律的,怎奈學生興致不高,課堂效果一般．原因有三:一是師生間只有提問沒有對話;二是生生之間沒有真正的合作交流;三是學生體驗感不足,思維不深刻．基于此,筆者反復研讀課標,對教材進行組合重構,以精準的問題為引線,從讓學生體驗操作開始,引導他們從經驗出發,用觀察實驗、猜想驗證等手段發現和提出問題,并對這些問題進行多角度分析、全方位解決,從而達成領悟數學的目的,真正發展核心素養．

1 教材分析

教學目標分析 通過“撕紙”分析其過程中蘊含的“變”與“不變”,探索三角形全等的條件,經歷探索三角形全等條件的過程;掌握判定兩個三角形全等的基本事實,發展學生的應用意識和抽象能力,助力學生思維的成長．

教材內容分析 本節課是學習了全等三角形定義之后的一次飛躍．學生研究三角形全等需找出6個元素相等,顯然太繁瑣,如何簡化兩個三角形全等的條件呢?筆者通過創設情境,采用“操作—設疑—探究—釋疑—總結”的流程,圍繞“撕紙”這一簡單操作引導學生深入思考,驅動學生主動參與學習的全過程,讓學生于體驗操作中得到思維生長,于主動探究中感悟數學思想,于深度理解中發展數學素養．

2 教學實踐

2.1 創設情境,引發思考,學生“悅”學

情境 暑假的某一天,七年級學生小明在家打掃衛生,不小心把桌子上的一塊三角形玻璃摔成圖1的形狀,爸爸要重新配制一塊完全相同的玻璃,問小明是否需要把這幾塊碎玻璃都帶到店里．你會給小明怎樣的建議?

圖1

師:為方便操作,我們拿出下發的三角形紙片,請大家按照自己的想法先將其撕成兩部分,看看有多少種不同的撕法．

教學說明合適的情境能激發學生的學習興趣．興趣是最好的老師,學生具有主動學習的興趣,便會有深度探究的愿望,就會全身心積極投入．設置“配制玻璃任務”這一生活情境,以此類比撕紙這一操作,增強問題解決的實效,引發學生積極思考,讓學生“悅”學．

2.2 動手操作,抽象感悟,學生“做”學

師:請同學們拿出準備好的三角形紙片,將此三角形按照角的大小統一命名為△ABC(圖2),說說有幾種不同的撕法．

生1:把∠A撕掉．

師:還有不同的撕法嗎?

生1(補充):把∠B撕掉,也可以把∠C撕掉．

生2:把∠A撕為兩部分．

師:還有不同的撕法嗎?

生3:把∠B撕為兩部分,還可以把∠C撕為兩部分．

生4:我也是把∠A撕為兩部分,但是我撕的位置不相同．

師:請你上來演示．

生5:這和生2說的不是同一種撕法嗎?

師:你為什么覺得這是同一種撕法?

生5:因為都是把∠A撕掉．

師:那你認為把∠B或∠C撕掉與把∠A撕掉能看作同一種撕法嗎?

生5:我覺得不可以,因為它們是不同的角．

生6:它們都是撕掉一個角．

師:它們在本質上都是撕掉一個角,我們把這種方法統一規定為撕掉∠A．同樣,把一個角撕為兩部分也看作是同一種方法,我們統一規定把∠A撕為兩部分．于是便得到兩種不同的撕法——撕掉一個角、把一個角撕為兩部分．

教學說明讓學生體驗操作撕角,邊做邊思、邊思邊講．在撕角的過程中,教師初始并沒有規定學生該如何操作,而是讓學生在思考中充分體驗,在操作中深化感悟,看似漫無邊際,實則培養學生發現和提出問題的能力,激活學生的思維活力,形成學生的思維經驗．

2.3 對比操作,誘導思維,學生“越”學

師:上述兩種撕法都把三角形紙片分為兩部分,請對照原三角形紙片的邊與角,觀察每一部分都有哪些不變的邊與角?

生7:撕掉∠A的兩部分是∠A不變和∠B,∠C,BC不變．

生8:把∠A撕為兩部分是∠B,AB不變和∠C,AC不變．

師:我們把一對邊相等或者一對角相等稱為一組元素相等.上述兩位同學的回答分別記作一組元素相等、三組元素相等和兩組元素相等．能否分別通過這些相等將原三角形還原呢?請嘗試畫一下．

教學說明數學學習不是讓學生在舒適的平地上散步,而是要設置必要的障礙,引領他們挑戰自我、超越自我．這種刨根問底的探索和追求精神恰恰是發展學生核心素養所亟需的．本環節從對比操作入手,誘導學生的思維,讓學生享受數學思維成長的全過程,促進其思維生長發展．

2.4 分類探討,提升思想,學生“辨”學

師:上述操作中,你覺得哪一部分畫出的三角形是全等的?如何驗證?

生9:有三組元素相等時畫出的三角形是全等的,因為我們小組把這些三角形疊合在一起,它們是重合的．

師:一組元素相等的兩個三角形包括哪些情形?

生10:一組元素相等除了一對角相等,還包括一對邊相等．通過畫圖發現,兩個三角形只有一對邊的長度相等,不能判斷它們一定全等．

師:一組元素相等包括一對角相等或者一對邊相等,不能判斷兩個三角形一定全等．那么兩組元素相等又該如何分類呢?

生11:兩組元素相等除了上述的一邊一角相等,還包括兩對邊相等或者兩對角相等,也不能判斷兩個三角形一定全等．

師:請你演示一下．

師:還可以利用身邊的文具舉個反例嗎?

生12:老師手中的三角尺和我手中的三角尺滿足兩對角相等,但是這兩個三角形不全等．兩組邊相等可以是等邊三角形的邊長等于等腰直角三角形的腰長,這兩個三角形也不全等．

師:兩組元素相等包括兩對角相等、兩對邊相等或者一邊一角相等,不能判斷兩個三角形一定全等．

教學說明探索三角形全等的條件,教師教學時往往會采取“做加法”(從一組元素相等開始逐漸增加條件)或者“做減法”(從六組元素相等開始逐漸減少條件)來展開．這個過程中,教師的主動演示和學生的被動接受很容易被個別學生的高水準表現所掩蓋．通過體驗操作,直接讓一組、兩組、三組元素相等躍然紙上,把“學之困”和“教不足”聯結在一起,學生自然會針對不同的情形進行分類探討．通過辨別思考,思維有了深度,內容也便被很好地領悟了．

2.5 體驗交流,深度挖掘,學生“慧”學

師:從上述操作發現,三組元素相等能夠說明兩個三角形全等．三組元素相等又該如何分類呢?一定能說明兩個三角形全等嗎?請大家操作并討論一下．

生13:三組元素相等還包括三條邊對應相等、三個角對應相等．

師:還有別的補充嗎?

生14:還有兩角一邊和兩邊一角對應相等．

師:剛才這位同學講到對應相等,這是很規范的提法．三條邊對應相等的兩個三角形一定全等嗎?你打算如何驗證?

生15:比如我手中的這些三角形紙片,能完全疊合在一起,它們的三條邊自然相等．

師:七年級時我們學過一個基本作圖——作一條線段等于已知線段．請利用這個作圖方法操作驗證一下．

師:三個角對應相等的兩個三角形全等嗎?

生16:我覺得不一定全等．老師拿的大三角尺和我手里的小三角尺,盡管三個角對應相等,但是并不全等．

師:我們前面講的兩角對應相等和三角對應相等是一回事嗎?

生17:根據三角形內角和定理,兩角對應相等可以轉化為三角對應相等．

師:生14講的兩角一邊和兩邊一角相等又該如何研究?請大家對照題目要求畫圖:

(1)在透明紙片上畫一個三角形,其中兩個角分別是30°和45°,一條邊為5 cm,將你畫的三角形與同伴畫的三角形疊合,兩個三角形能完全重合嗎?你有什么發現?

(2)在透明紙片上畫一個三角形,其中一個角是60°,有兩條邊分別是7 cm,5 cm,將你畫的三角形與同伴畫的三角形疊合,兩個三角形能完全重合嗎?你又有什么發現?

生18:我們這組按問題(1)要求畫的三角形是不重合的．

師:那你仔細看看原因出在哪兒.

生18:有同學畫的5 cm長的邊是30°角的對邊,有同學畫的5 cm長的邊是45°角的對邊,還有同學畫的5 cm長的邊是第三個角的對邊．

師:第三種情況下長為5 cm的邊和30°、45°角的關系是什么?

生19:長為5 cm的邊是30°和45°角的公共邊．

師:這里的公共邊也就是兩個角的夾邊．請大家仔細觀察上述三種情況,各自對應相等的三角形是否全等?

生18:全等．

師:我們把上述情形分別表述為“角角邊”和“角邊角”,它們都是三角形全等的判定方法．

師:按問題(2)畫出的兩個三角形能完全重合嗎?

生20:不重合．我們畫出三種情形:60°角是 5 cm和7 cm邊的夾角;60°角所對的邊長是 5 cm;60°角所對的邊長是7 cm．通過疊合,發現只有第一種情形是重合的,后面兩種情形都畫出了兩個不同的三角形．

師:我們把上述情形分別表述為“邊角邊”和“邊邊角”．“邊角邊”才是三角形全等的判定方法．

教學說明真正的數學學習意味著登山式的挑戰與沖刺．在探索過程中,“三邊”“三角”這兩種情形容易驗證,而“兩角一邊”和“兩邊一角”是討論的焦點,“對應相等”更是學習的關鍵．本環節繼續加強學生的體驗交流,把知識學習的過程清晰地呈現出來,為學生的深度挖掘、交流合作搭建一個科學、完整的平臺,建構一般觀念下的活動及數學思維方式,為學生呈現帶得走的知識,彰顯學生個體體驗的獨特性、小組合作的互動性、思維領悟的生長性,真正發展學生的智慧．

2.6 歸納結論,總結反思,學生“躍”學

師:要配制一塊完全相同的玻璃,你會給小明怎樣的建議?

師:我們是如何探索三角形全等的條件的?在探索的過程中用到了哪些思想方法?后續還會學習什么?

教學說明本環節首尾呼應,再次回顧本節課的學習流程,將數學知識按照學生思維的生長進行重構,使其前后聯系．教師引導學生梳理、概括、歸納本節課的學習過程,構建知識的形成和發展體系,同時又為后續學習埋下伏筆,使學生對三角形全等的判定有了全面的認識,知識技能有了靈魂,思想方法有了載體,有助于學生的思維飛躍．

3 教學反思

《義務教育數學課程課標(2022年版)》(下稱《課標2022》)指出:教學活動應注重啟發式,激發學生學習興趣,引發學生積極思考,鼓勵學生質疑問難,引導學生在真實情境中發現問題和提出問題,利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題;促進學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能,體會和運用數學的思想與方法,獲得數學的基本活動經驗;培養學生良好的學習習慣,形成積極的情感、態度和價值觀,逐步形成核心素養[1]．基于此,教師在開展課堂教學時應堅守自己的主導作用,加強學生的過程性體驗,通過針對性較強的問題來引領學生思維品質的提升．在這個過程中,還要突出強調全體學生的參與、交流、對話,讓真實的學習體驗和成長感悟自由生長,讓創造力的發展找到可依托的載體．

3.1 操作中發現,引導思維開啟

美國著名教育家杜威指出:教學過程就是“做”的過程．在他看來,如果兒童沒有“做”的機會,那必然會阻礙其自然發展．這就要求教師在教學中要基于對教學活動的理解,通過創設情境調動主動性、鼓勵參與和交流等策略讓學生充分“試水”,以此開啟學生的思維．數學學習是思維的學習,而思維的發展離不開學生的充分體驗．“撕角”便是從學生真實的“做”出發,邊“做”邊想,分析問題,發現結論．學生把“做”的經驗與數學的“變”與“不變”有機結合,增強對獲得數學知識的路徑與方法的理解,激發探求新知識的心向,開啟學習數學的思維．“做中學”讓學生身心互為一體,知行相互作用,發展學生的核心素養．

3.2 體驗中感悟,助力思維生長

現代認知結構理論認為,學習不是教師向學生傳遞知識,而是學生自己建構知識和應用知識的過程．大教育家孔子說:“學而不思則罔,思而不學則殆．”這告誡我們只有把學習和思考結合起來才是正確的讀書和學習方法．同樣地,學生的學習離不開“體驗中感悟”．“體驗”是手段、途徑和方法,“感悟”是結果和目的．“撕角”是體驗,“一組相等”“兩組相等”“三組相等”是體驗后的感悟,每個“相等”隱含的各個情形是思維的生長．數學課堂教學須以教師為主導,問題為引領,探究為主線．學生通過探究得出數學結論是提高課堂教學效率的關鍵,沒有過程的結論往往需要死記硬背,難以靈活運用．教師的主導很多時候是通過引領性的問題來實現的．合適的問題能引發學生的質疑猜想和探究的欲望,讓體驗貫穿整個探究過程,促進學生思維的生長．

3.3 合作中交流,拓展思維廣度

《課標2022》指出:學生的學習應是一個主動的過程,認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索和合作交流等是學習數學的重要方式[1]．在學習過程中,當知識難度過大、思維出現多樣化、個人獨立完成有困難時,小組合作交流就顯得尤為重要．真正的小組合作交流能實現同伴互助,有利于揭示數學的本質,促進學生的思維發展．幫助學生積累數學活動經驗、行為操作經驗、探究經驗和思維經驗,對學生的情感體驗也有著積極的推動作用[2]．上述探索“兩角一邊”和“兩邊一角”對應相等的兩個三角形是否全等時,情形多、內容難,在開放的情境下合作交流能培養學生的發散性和歸納性思維．教師要關注生生間的多維互動,學生之間相互感悟、體會而碰撞出的火花必然會拓展學生思維的廣度．

3.4 評價中升華,提升思維高度

《課標2022》指出:評價不僅要關注學生數學學習結果,還要關注學生數學學習過程．采用多元的評價主體和多樣的評價方式,鼓勵學生自我監控學習的過程和結果[1]．上述教學中,學生學習參與面廣、學生之間相互評價交流多,有利于展現學生思維．通過對教學過程的回顧和思想方法的審視,學生收獲了數學學習中“做”的經驗,同時又利用所學知識幫小明解決了問題,有知識的收獲,有過程的思考,有解惑的喜悅,還有后續學習的展望．數學課堂真正實現參與、交流、對話、引導,學生獲得真實的學習體驗和成長感悟,創造力的發展也找到依托載體．讓學生課堂上自我評價,展示了學生頭腦中的知識結構,學生評價的過程就是思維高度再現的過程．

在基于體驗操作的數學課堂中,教師不僅要關注學生直接“做”的體驗及一切學生可以直接感知、領悟的東西,讓生命在場,更要清楚個體生命是有限的,不可能事事親為,所以更要關注與個體生活體驗、經驗發生連接,引發感動的“見聞之知”,走出自我,走出個人體驗,從“在場”的個人體驗走向“不在場”的廣闊世界．體驗操作的價值取向在于使學生學會思考,思維真正生長,成為善于認識和解決問題的人．