整體解讀梳理，構建過程探究

王成

［摘? 要］ 函數的單調性作為函數部分的重要內容，教學中需要整體解讀，分模塊引導. 從情境中引入，讓學生充分感知；使學生親歷探究過程，體驗概念生成；在實例探究中鍛煉學生的思維，提升學生的能力. 文章結合課堂實踐，開展“函數單調性”的教學探討.

［關鍵詞］ 函數；單調性；概念；整體化

函數的單調性是高中數學的重要內容，是函數概念的延續和拓展，對后續研究指數函數、對數函數、三角函數等模型有著重要作用. 函數的單調性是學生首次系統研究的函數性質，教學中需要引導學生完成概念的抽象概括，讓學生經歷完整的探究過程，掌握函數性質的研究方法. 下面開展教學探討，提出相應的教學建議.

內容整體化分析，梳理教學過程

知識間相互聯系，具有一定的整體性和連續性，函數的單調性也不例外. 在教學初始的內容解讀中，需要從整體視角來全面分析，包括知識整合、目標設定、活動設計等. 既要突出知識的系統性、教學的指向性，還應賦予知識整體關聯性.

1. 內容分析

對于“函數的單調性”的教學，從教材內容來看，教學中需要重視兩大層面：一是知識層面，即章節內容的本身；二是思想方法層面，即函數的單調性中所融合的數學思想方法，以及知識探究中需要用到的思想方法.

（1）知識層面的分析. 函數的單調性的探究需要分為兩個階段：階段一，利用運算的性質來研究函數的單調性，關注函數的變化趨勢；階段二，利用導數知識來研究函數的單調性，需要重點探究函數變化的快慢. 本課的知識探究處于階段一，教學時要引導學生關注探究核心，明晰探究階段，讓概念自然生成.

（2）思想方法層面的分析. 函數的單調性的教學可視為數學概念教學，也可視為關于數學思想方法的指導教學，探究過程充分體現出研究函數性質的思想方法. 教學過程需要借助圖象讓學生直觀感知并從中抽象概括定義，使學生經歷從圖形語言到文字語言再到數學符合語言描述概念的思維過程. 同時，在整個探究階段中充分滲透數形結合思想，在數形結合思想的指導下組織活動.

2. 教學梳理

學生在初中階段已經掌握了一次函數和二次函數的相關知識，熟知對應圖象的幾何特征. 學生欠缺的是思維能力和探究經驗，尤其是抽象水平，難以理解函數單調性的形式和定義. 因此教學中需要注重幾何直觀講解，數形結合輔助分析. 實際教學可按如下思路開展，突破難點.

（1）創設情境.分析與生活實際結合緊密的函數圖象，讓學生直觀感知函數的單調性，合理使用數學符號描述函數變化規律.

（2）引導探究. 引導學生深入學習，通過遞進式設問，讓學生體驗探究過程，實現函數單調性從“直觀感知”上升到“嚴謹論述”.

（3）鞏固和強化所學知識. 利用具有代表性的實例，引導學生形成正確的解析思維，提升學生的綜合能力.

創設情境，為性質探究做鋪墊

建議教師從生活實際中提取素材，引導學生分析直觀模型，掌握模型構建與分析的方法. 同時，設問引導需要立足學情，把握學生的知識經驗，在此基礎上開展觀察、猜想、歸納等活動.

1. 情境創設

教學中可創設如下情境：

圖1是某地1月某天里的氣溫變化圖，請同學們觀察氣溫變化曲線，回答下列問題.

（1）圖1中的θ表示氣溫，t表示時間，如何表述θ隨t的變化情況？

（2）在t∈［4，14］上，θ隨t的增大而增大，如何使用數學語言來表述？

（3）是否可以表述為“當t=5，t=6，t=8，t=10時，對應的θ，θ，θ，θ滿足θ<θ<θ<θ，因此在t∈［4，14］上，θ隨t的增大而增大”？

2. 觀察探究

在情境設問的基礎上，給出如下眾多函數圖象，進一步引導學生探究.

（1）確定上述圖象所對應的函數類型，分別表示什么函數.

（2）這些函數有怎樣的變化趨勢，如何表述？

上述“情境創設”和“觀察探究”兩個環節，先引導學生發現生活中的函數，分析函數變化規律；然后從現實生活過渡到數學問題，規范表達函數的單調性，即函數在某區間上具有怎樣的變化情況——要強調其中的“某區間”，使學生明白函數的單調性是相對“某區間”而言，具有一定的局限性，為后續“函數的單調性”概念的構建做鋪墊.

體驗探究過程，概念自然生成

函數的單調性是函數部分的重點內容，教學中需要教師利用直觀的函數圖象，引領學生由形思數，思維由具象到抽象，引導學生體驗函數單調性的探究過程.

1. 直觀探索，共性分析

圖3是一組三個函數的圖象，請指出這三個函數具有哪些共同點.

引導學生從三個函數圖象的變化趨勢來看——結合x值的變化來分析y值的變化，促使學生深入認識增函數. 在此基礎上給出第二組三個函數的圖象（見圖4），讓學生再觀察它們的共同點，促使學生深入認識減函數.

2. 數學描述，符號分析

由圖象來判斷函數的單調性較為直觀，不具有準確性，故教學中需要教師合理預設問題引導學生用數學語言來表述函數的單調性，從而生成概念.

（1）辨析.

問題1 已知某函數在區間（0，+∞）上，當x=1時，y=2；當x=2時，y=3.是否可以說明該函數在區間（0，+∞）上，y隨x的增大而增大？

問題2 有n個正數x，x，x，…，x，且x<x<x…<x，它們對應的函數值y，y，y，…，y滿足y<y<y…<y，是否可以說明在區間（0，+∞）上，y隨x的增大而增大？

教學中引導學生舉反例來辨析問題1和問題2，讓學生不僅關注函數的定義域，而且理解有限點所反饋的增減變化有局限性.

（2）符號化.

教學中引導學生用數學語言來描述函數的單調性，設問如下：若某函數為增函數，是否可以用數學語言來描述？如何用準確的數學語言來表達？請大家小組討論，交流總結.

教學中引導學生從關鍵詞入手，可分如下四步進行探究.

第一步，“增大”符號化，即當x<x時，y<y；

第二步，“隨著”符號化，即當x<x時，f（x）<f（x）；

第三步，“任意”符號化，引導學生聯想前面討論的內容，跳出單一數值對單調性描述的局限，明白：對于任意的x<x，均有f（x）<f（x）；

第四步，“區間”符號化，引導學生關注變量x和x的取值范圍，明確函數的單調性與區間緊密相關，即強調x，x∈I（I為函數的單調區間）.

（3）生成概念.

完成上述四步探究后，引導學生將其串聯起來，從而生成完整的單調遞增的概念. 教學中可以借助直觀的函數圖象，采用數形結合的方式概括單調性概念.

單調遞增：對于區間I內的任意兩個值x，x，當x<x時，均有f（x）<f（x），如圖5①.

單調遞減：對于區間I內的任意兩個值x，x，當x<x時，均有f（x）>f（x），如圖5②.

函數單調性的概念可按照上述三個環節來構建，簡而言之，即先引導學生觀察函數圖象，然后讓學生猜想并加以辨析論證，在此基礎上引導學生明晰概念符號化，生成完整的單調性概念.

實例引入，概念強化

“函數的單調性”的教學，要經歷概念生成和應用強化兩個階段，故概念生成后，有必要引入實例，幫助學生鞏固和強化所學知識. 值得注意的是，實例要圍繞函數單調性概念的三個核心內容（變量區間、對應關系、變化）而引入. 通過開展解題引導，幫助學生構建解析思維.

該區間上的單調性.

完成以下證明.

（1）函數f（x）在（0，1）上遞減；

（2）函數f（x）在（0，+∞）上遞增.

解題引導：讓學生立足函數單調性的定義，按照“設元—代入—作差—變形—判斷”的步驟完成證明. 同時，引導學生梳理證明過程，讓學生明白每一步的思維方法.

總之，教師要深入解讀知識內容，圍繞教學重點梳理知識模塊，基于知識模塊開展探究活動，引導學生經歷探究過程，使學生認識知識的本質，提升數學思維能力.