運用“學習進階”理念培養“邏輯推理”素養舉隅

陶中亞 毛永志

［摘? 要］ “學習進階”理念與“數學學科核心素養水平劃分（附錄1）”的分層分級特征及教學要求高度契合. 基于此，立足學習主體（學生）、學習內容（基礎知識）、學習方法等，將學習目標進行分解、分級，實現學情與目標的對應，運用“學習進階”思維在由低到高、由簡單到復雜地不斷“進階”的教學中培養學生的數學素養，提供一個對應不同層次學生、不同教學內容要求的路徑明確的素養培養過程，實現數學素養培養內化和外塑的雙向互動，提升數學素養培養的針對性和有效性，培養學生的數學素養.

［關鍵詞］ 學習進階；水平劃分；邏輯推理；函數周期性

“學習進階”理念認為，學生在學習某學科核心概念的過程中存在一種潛在的發展序列，學習是一個沿著該序列逐漸積累、不斷演進的系統過程. 該理念包含五項特征要素：學習目標、進階變量（通常是學科中核心概念或關鍵技能）、成就水平、學習表現及評價［1］. 這與《普通高中數學課程標準（2017年版）》中的“數學學科核心素養水平劃分（附錄1）”的分層分級特征及教學要求高度契合［2］，將該理念具體化并應用于高中數學教學，實現教學內容、過程、目標及評價的深度融合，對達成學生數學學科核心素養培養的目標具有重要指導意義.

高中數學中的概念、命題、定理、公式及運算規則等“必備知識”提供了“進階變量”；“數學學科核心素養水平劃分（附錄1）”提供了“學習目標”及“成就水平”分層分級的教學要求. 高中數學教學可以運用“學習進階”的思維方法，將“進階變量”依據其自身特點及“素養水平劃分”的分級要求進行有梯度的分解并逐級對應，在螺旋遞進的教學過程中運用數學“必備知識”培養學生的數學學科核心素養，并在內化和外塑的雙向互動中考查學生的“學習表現”，達到數學學科核心素養教學的評價要求. 下文以在“函數周期性”的理解與運用中培養邏輯推理素養為例，詳細地展示一下該教學思路.

建階：分解與協調

“學習進階”教學的第一步就是為學生學習提供梯度適宜的“臺階”，即將“遞階變量”中的“必備知識”和教學總體目標分解成由低到高的不同層級，各層級由具體的學習主體（學生層次）、學習材料（必備知識）、學習方法、教學目標形成一個相對完整且各階層關系密切、遞進互動的子系統，完成低階系統目標任務能夠為更好地執行下一個更高階目標任務做準備；知識與目標分解后是“協調”，即對應好學習主體（學生層次）、學習材料（知識內容）、學習方法與每一步學習目標之間的關系，同時對應好不同層級之間的銜接關系，選擇明確的過渡方式. 如此，完成低階學習任務及目標是數學學科核心素養內化的過程，運用低階學習中內化的數學學科核心素養解決高階問題，是數學學科核心素養外塑運用的過程，也是數學學科核心素養提升鞏固的過程，這可使師生在學習活動開始前將學習目標、內容、方法及路徑了然于胸，提高數學素養培養的針對性和有效性.

同時，能夠分解、明晰復雜問題部分與整體的關系，將問題簡單化，以明確的思維、方法、路徑逐步解決問題，完成實際任務，實現學習目標，本身就是數學學科核心素養的體現. 因此，“學習進階”思維運用是數學學習本應具備的意識和能力.

高中數學中的“函數的性質”是常考考點，而周期性是函數的最重要性質之一，其中蘊含的邏輯推理素養培養因素，可以很好地體現上述教學路徑.

蘇教版數學教材選修1-2第59頁，有一個習題如下：

先解答（1），再通過結構類比解答（2）.

引導學生一起回憶一下函數周期性的概念：對于定義域為D的函數f（x），任意x∈D，存在T（T≠0），都有f（x+T）=f（x）成立，則T為f（x）的一個周期.

嚴格地證明如下：因為

本例題是函數周期性基本概念的運用. 第（1）問的解決及根據第（1）問猜想出第（2）問的答案，符合“數學運算水平一”的相關要求，即學生能夠運用他們了解的運算法則及其適用范圍，在熟悉的數學公式情境中，形成合適的運算思路，進而解決問題；學生在熟悉的數學情境中類比推理得到一個正確的結論，有條理地表達出我們所需要的內容. 同時第（2）問的嚴格證明，可使學生達到“數學運算水平二”的相關要求. 類比推理只是一種猜想，并不能確定猜想是否正確，這需要嚴格的運算證明，說明它具有一般性. 通過本例題第（2）問的證明，可使學生理解運算是一種演繹推理，在綜合運用運算解決問題的過程中，形成規范化思考問題的品質.

由此，具體的數學知識和素養培養的水平要求就分層次地明確對應了起來，而且本例題屬于基本概念及基本運算的運用，是基礎性的學習準備，適合所有高中生. 這個階段中可以運用基本的教學方法，訓練所有學習層次的學生，完成最基礎的階段訓練，使學生掌握基本概念和形成基本素養.

進階：變式與遷移

當然，上述例題在實際教學過程中還有更高的價值，教師可以在變式與情境遷移中繼續研究函數的周期性，從而讓學生進入高階學習，培養其更高水平的數學學科核心素養.

具體看下一小題：

（3）設x∈R，α為非零常數，且f（x+

這是上述兩小題基礎上的變式題. 應當說解決第（3）問相對而言比較容易——學生根據第（2）問的解決方法類似推理很容易想到第（3）問具體的解決方法，這就是其在第一階段學習中獲得的素養的具體運用. 如果說第（3）問學生能熟練解決并且在展示、交流環節中能完整精通表達的話，那么說明學生掌握了具體方法并且具備相應的理解能力和思維品質，達到了“數學運算和邏輯推理的水平二”的相關要求，即學生的數學學科核心素養又進了一階. 為檢驗和鞏固這一學習成果，可以有意識地進行下一階段的訓練.

具體看下面的例題：

（4）函數f（x）對任意x∈R，有f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）=f（b-x），試問f（x）是周期函數嗎？若是，周期是多少？

（5）函數f（x）對任意x∈R，有f（a+x）=f（a-x）且f（x）+f（2b-x）=0，試問f（x）是周期函數嗎？若是，周期是多少？

（6）函數f（x）對任意x∈R，有f（x）+f（2a-x）=0且f（x）+f（2b-x）=0，試問f（x）是周期函數嗎？若是，周期是多少？

第（4）（5）（6）問是在第（3）問的基礎上考慮到的多種變式題. 這種舉一反三的思維就是學生數學推理素養培養的基礎，而尋求恰當方法，運用已學知識和已有素養解決這些問題的過程則是學生素養水平進一步提升的過程. 學生明晰這一過程，就是學生數學學科核心素養的培養見到成效的體現.

函數周期性與函數對稱性有關系，我們可以證明第（4）問如下：由f（a+x）=f（a-x）知f（x）關于直線x=a對稱，所以f（x）=f（2a-x）. 由f（b+x）=f（b-x）知f（x）關于直線x=b對稱，所以f（x）=f（2b-x）. 因此f（2a-x）=f（2b-x）=f（2a-x+（2b-2a）），所以f（x）=f（x+2b-2a），則f（x）具有周期性，周期為2a-b.

同理可證第（5）問和第（6）問中的f（x）為周期函數，其周期分別為4a-b，2a-b.

如果說第（1）（2）問是基礎準備，是對所有學生的基本要求，那么第（3）問就是基礎拓展，目的是盡力推動所有學生跨越“邏輯推理水平二”的相關要求；第（4）（5）（6）問相對而言難度較高，如果能夠順利解決并且在展示、交流中表現出充分理解和熟練運用，那么說明學生達到了“邏輯推理水平三”的相關要求，即能夠把握研究對象的數學特征，感悟通性通法，領會其中蘊含的數學思想，能夠運用數學語言抓住數學本質，形成解決問題的思路. 同時也說明，在整個過程中，“數學運算”三個水平的相關要求，甚至“數學抽象”的相關要求也都基本運用和訓練到了，“四基”和“四能”得到了有效落實，體現了“教學建議”對數學核心素養培養的“綜合性和整體性”的要求.

高階：運用與拓展

《普通高中數學課程標準（2017年版）》“實施建議”中的“考試命題路徑”提出，評價框架包括三個維度：第一個維度是情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思，反映數學學科核心素養的四個方面；第二個維度是函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動，是四條內容主線；第二個維度是數學學科核心素養的三個水平［2］. 這是學生解答數學習題，解決實際問題的原則性、指導性的思路依據. 換句話說，具有明確的數學學科核心素養的人，在分析、解答數學習題時，應該從這三個維度入手，按程序思考來完成習題的解析和解答.

具體看下面這道例題：

（7）（2020年蘇北三市聯考一模數學卷第13題）已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，其圖象關于直線x=1對稱，當x∈（0，1）時，f（x）=-eax（e為自然對數的底數）. 若f（2020-ln2）=8，則實數a的值為______.

本例題在內容維度上涉及函數相關知識，在調動和運用所學知識分析該題時首先要做好奇函數及其圖象的相關知識的準備；在素養維度上涉及數學運算、邏輯推理、數學抽象等，在分析該題時要明確相應要求，探尋解決思路，選擇解決方法；在素養水平維度上主要涉及“數學運算、邏輯推理等素養的水平三”. 當然，在具體分析該題時也要立足內容中的基礎知識，關注到“數學運算、邏輯推理等素養的水平一和水平二”的要求，以便更好地明確解題路徑.

因為f（x）是定義在R上的奇函數，其圖象關于直線x=1對稱，根據第（5）問的結論知道此函數具有周期性，周期為4. 所以f（2020-ln2）=f（-ln2）= -f（ln2）=ealn2=（eln2）a=2a=8，即a=3.

此題的解決得益于之前對函數周期性的學習準備、準確理解、深入研究以及邏輯推理素養的運用，如果學生在之前的學習準備和習題分析中熟悉了相關內容和學習方法并達到了相關素養水平的要求，那么其解題思路就會通暢很多，問題解決起來也會少走很多彎路. 而且完成此題的解決，也是對自身素養的進一步運用和提升，體現了素養內化和外塑的雙向培養，體現了素養培養的遞階性、綜合性和整體性.

此題涉及命題三個維度、素養三個水平的應用，體現了高階思維和能力的運用，能夠檢驗出不同層次學生不同的數學素養，具有很好的區分度，對教學實踐也有很好的指導意義，充分體現了數學學科核心素養培養的要旨.

為了進一步鞏固素養，檢驗學生的邏輯推理和數學運算能力，下面再補充一道例題：

在素養、內容、水平三維度分析的基礎上，可知此題本身并不難. 根據第（2）問的結論即可知道此函數的周期為8，所以數列｛an｝中不同的項最多有8項.

此題實際上只涉及“數學運算和邏輯推理的水平二”的相關要求，但在內容維度上則由函數性質拓展到了數列的相關內容，對啟發學生思維和具體運用邏輯推理能力具有指導意義. 另外，從高階學習回到中階學習，可以恢復一般學生的學習信心和學習興趣，體現教學的更大參與度和實現更有效的教學目標，使教學效益最大化.

要強調的是，在“進階”學習過程中，教師要有意識地引導學生反思整個學習過程，讓更多學生了解學習意圖和學習步驟，幫助學生體會“進階學習”的特征，使學生明確自身學習所處的階層，了解自身所掌握、運用的知識與素養的對應情況，以便明確下一階層的學習目標，做好高階提升的準備. 同時，教師應在“進階學習”中引導學生樹立遇到難題時自動溯源的意識，主動回憶解答難題時必須運用的基本概念、命題、定理、公式等，提升刪繁為簡、化難為易的有效分析習題的能力，自覺而全面地提升數學學科核心素養.

參考文獻：

［1］ 張穎之.理科課程設計新理念：“學習進階”的本質、要素與理論溯源［J］. 課程·教材·教法，2016，36（06）：115-120.

［2］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.