教材資源整合下的課堂教學研究

祝維男

［摘? 要］ 整合教材資源的水平是衡量教師能力的重要標志.教師要在深度理解教材資源的基礎上，編寫出既符合學生認知規律，又體現知識邏輯順序的教學方案.文章以“基本不等式（第一課時）”的教學設計為例，談談教師整合教材資源的方法和作用.

［關鍵詞］ 整合優化；教材資源；基本不等式

教材是依據課程目標和標準要求編寫的，是師生開展教學活動的主要工具. 一直以來，大家都比較關注教材的編寫理念和設計意圖，忽視了日常教學中教師怎樣理解教材、運用教材等問題. 事實上，教師不是單純的教材執行者，而是教學資源的開發者、課堂教學的設計者，整合教材資源的水平是衡量教師能力的重要標志. 在備課過程中，教師應該在深度理解各種教材資源內涵的基礎上，對教材內容進行補充、刪減、融合、活化，最終巧妙編排出既符合學生認知規律，又體現知識邏輯順序的教學方案. 下文是整合人教版初中數學教材和高中數學六個版本教材資源編寫的“基本不等式（第一課時）”的教學設計.

教學過程與設計意圖

1. 情境鋪墊，恰當銜接

第14屆國際數學教育大會（ICME-14）在上海華東師范大學中山北路校區舉辦. 大會的會標設計新穎，數學元素豐富，有大家非常熟悉的圖形——“趙爽弦圖”. （如圖1、圖2、圖3所示）

問題1 在初中階段，我們就用“趙爽弦圖”證明了勾股定理，你還記得勾股定理的學習過程嗎？

初中教材以“畢達哥拉斯到朋友家作客時，發現朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數量關系——任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和”這個故事導入新課. 在課堂鏈接和課本習題中我們用“趙爽弦圖”證明了勾股定理. 即大正方形的面積等于小正方形的面積加上四個三角形的面積.

問題2 回顧勾股定理的學習過程，給你帶來了怎樣的啟示？

由形到數，數形結合. 事實上，數學家都是先直觀思考問題，然后用演繹的形式進行證明，用文字、數學符號來表達.

設計意圖 基本不等式是認識數學、研究數學的工具，基于實際學習的需要，新課標將基本不等式遷移為“預備知識”，起銜接預備作用. 對于基本不等式的導入，各版本教材一直以來都是“五花八門”，并且爭議不斷. 本節課的導入沒有用蘇教版的“天平”，也沒有單純用人教版的“弦圖”，而是從飽含數學元素的時事背景出發，回顧初中學習勾股定理的過程，為高中學習基本不等式做知識和方法上的準備，解決學生對情境“不熟悉”、高中學習“跨度大”、能力要求“陡升”等問題，自然實現初中和高中的銜接.

2. 問題驅動，結論探究

問題1 通過面積相等得到了等量關系a2+b2=c2，再看“趙爽弦圖”，比較面積能發現怎樣的不等關系呢？

讓各小組合作探究，并展示相關成果.在變動過程中，大正方形的面積始終大于等于四個小三角形的面積和，其中大正方形的面積為a2+b2，四個小三角形的面積和為2ab，所以a2+b2≥2ab.

問題2 在不等式a2+b2≥2ab中，等號何時成立？

a=b是等號成立的充要條件，叫“當且僅當a=b時，等號成立”.

問題3 這個不等式是通過幾何圖形得到的，你能用代數法證明嗎？

因為a2+b2-2ab=（a-b）2≥0，a∈R，b∈R，所以a2+b2≥ab，將其稱為重要不等式.

問題4 下面我們繼續看圖（見圖5），這是一個“半圓模型”，其中AC=a，BC=b，你能求出CD，OD的長度嗎？

關系嗎？

用GGB動態展示≤，表明正數a，b的幾何平均數不大于它們的算術平均數，稱之為基本不等式.

含義，逐步發展直觀想象、數學抽象等核心素養.

3. 展示交流，代數論證

設計意圖 幾何的直觀驗證不能代替代數證明，代數證明可以訓練學生的推理能力和計算能力，培養學生的理性思維. 這里通過代數證明既讓學生了解不等式證明的常用方法——比較法、分析法、綜合法，也讓學生知道這三種證明方法之間的關系，提煉證明過程所蘊含的數學思想，引導學生從感性認識上升到理性認識. 比較法、分析法、綜合法屬于學生必備的數學方法，所以在此借助這個教學環節向學生滲透這些數學方法，為今后學習夯實基礎.

4. 理解公式、深化認識

問題 通過由形到數的研究路徑得到了兩個不等式（重要不等式和基本不等式），這兩個不等式之間有怎樣的聯系呢？（小組討論）

小組1：研究方法一致，由形到數；等號成立的條件一致——當且僅當a=b時，等號成立.

小組3：結構也是一致的，都反映了兩數的和與積之間的不等關系.

（重要不等式和基本不等式之間的聯系如圖8所示）

設計意圖 通過探究重要不等式和基本不等式之間的聯系，引導學生關注公式、結論的相互關聯，把握基本不等式的本質特征.在轉化過程中，掌握重要不等式和基本不等式的常用變形，厘清公式拓展的來龍去脈，理解公式使用的“替換”思想；融合教材中的例題和習題，在基本不等式的推廣拓展中，整理知識點，形成公式鏈，有助于提升學生探究、創新的能力，加深學生的認知廣度和深度，也為后續應用基本不等式證明其他不等式以及深入探究基本不等式的變形拓展做好鋪墊.

5. 應用公式，鞏固提高

習題 （多選題）設a，b為正數，下列選項中正確的有（? ）

設計意圖 改編教材例題、習題融合教學，通過“判”“證”“拓”等環節，從結合重要不等式和基本不等式的結構特征進行字母替換，到應用重要不等式和基本不等式進行嚴格證明，再到提煉重要不等式和基本不等式的常見變形，為后續學習和探究“積定和最小”“多元不等式”“函數最值”等做好充分的準備.

6. 總結提煉，內化新知

（2）學習過程：觀察→猜想→證明→應用，從感性認識上升到理性認識.

（3）思想方法：數形結合思想，整體代換思想.

設計意圖 一個好的結尾，能畫龍點睛凸顯一節課的學習重點和問題解決的關鍵，“變則不變”更讓基本不等式的結構美及本質特征呼之欲出.

整合教材資源的方法和作用

1. 整合不同版本教材，實現有效補充

依據《普通高中數學課程標準（2017年版）》重新編寫的高中數學六個版本的教材，在編排順序、編寫思路和設計理念上都各具特色. 教師要在備課過程中，通過對不同版本教材的深度閱讀，厘清教材內容的編寫邏輯，領會教材內容的設計意圖. 結合學生的認知水平和認知能力，在比較分析中取長補短，不斷豐富教學內容、優化教學設計. 例如人教A版、北師大版等教材是引出重要不等式后再通過替換得到基本不等式的，而蘇教版教材則通過“天平稱重”直接引出基本不等式，在例題中再用替換的方法得到其他不等式. 事實上，重要不等式和基本不等式可以相互轉化，結論的推導方法也相互融通. 本節課融合各版本的教材資源，先以“趙爽弦圖”為背景由面積關系的比較得

2. 整合初中、高中教材，體現自然銜接

高中教材與初中教材相比，知識內容增加較多，由淺顯變得深奧，由單一變得復雜，思維要求層次越來越高，數學語言也由直觀變得抽象. 但是初中和高中的知識是緊密相連的，涉及的數學思想方法是一致的，對概念、公式、定理的探究路徑也是相互融通的. 在教學過程中，教師聯系初中教材的相關知識、思想方法和探究路徑，在系統梳理中找準銜接點，讓新知識的推出顯得“水到渠成”. 基本不等式是認識數學、研究數學的工具，基于實際學習的需要，以及高一學生的學習能力，基本不等式可以提前學習——新課標下的新教材也把“基本不等式”作為“預備知識”而前置，起銜接作用. 本節課是如何體現初中和高中自然銜接的呢？通過閱讀教材發現，初中教材用“趙爽弦圖”證明了勾股定理，體現了由“形”到“數”的數學探究過程；高中人教A版教材先用“趙爽弦圖”引出了重要不等式，再通過替換得到基本不等式. 所以，從國際數學教育大會的會標中挖掘出“趙爽弦圖”導入新課，既融合了數學時事，飽含了數學文化，體現了學科育人的價值，又在知識生成背景、探究路徑上找到了吻合的銜接點，符合學生的認知規律，能有效幫助學生從初中數學學習過渡到高中數學學習.

3. 整合教材文本內容，凸現邏輯貫通