基于問題解決的“離散型隨機變量”概念教學

徐道奎

［摘? 要］ 隨機變量的概念是學習隨機變量分布列、隨機變量數字特征（方差、均值）的基礎.要重視隨機變量概念抽象的過程，分析學生學習隨機變量存在的困難和問題.文章通過問題引領，著眼于問題解決，分析典型案例，把握隨機變量抽象的一般方法.

［關鍵詞］ 隨機變量；概念抽象；問題解決

問題的提出

隨機變量的概念是學習隨機變量分布列、隨機變量數字特征（方差、均值）的基礎. 概率論是研究隨機現象數量規律的科學，在隨機試驗中，人們往往“不關心試驗結果的本身，而更加關注與試驗結果相聯系的某個數”. 因此，需要把隨機試驗的結果量化，進一步借助數學的工具和方法系統解決更為復雜的概率問題.

隨機變量的概念是俄國數學家切比雪夫（Chebyshev，1821—1894）在19世紀中葉建立和提倡使用的. 通過隨機變量建立數學模型，研究隨機試驗，我們不僅可以函數的方法和視角研究隨機事件，全面準確地研究隨機試驗和隨機現象，而且量化后的試驗結果能夠更好地揭示統計規律，更好地描述隨機現象，使得概率論從研究定性事件和概率，延伸為研究定量的隨機變量及其分布，“使概率論真正成為一門數學學科”.

對于高中生而言，與概率相關的內容都是難點，學生學習離散型隨機變量及其分布列出現的問題大都是由隨機變量概念不清而引起的. 如果不注重概念的抽象過程，就會給后續學習帶來更多的困難. 因此，教師要讓學生明白為什么引入隨機變量，怎樣建立隨機變量，要知道學生在分析抽象隨機變量的過程中會遇到什么困難，有什么認識誤區.

隨機變量使概率問題數學化更進了一步，學生一開始的迷茫困惑是正常的，隨機變量概念形成的過程是具體問題數學化的過程，對學生抽象思維能力要求較高，要以問題為導向，引導學生分析、解決問題，帶著問題進行教學.

人教A版教科書中的隨機變量概念的建立和抽象過程內涵豐富，相應的教學用書全面闡明了編寫意圖并給了很好的教學建議. 下文是筆者研習和教學的體會，不妥之處，敬請批評指正.

對隨機變量及其抽象過程的認識

1. 隨機變量與隨機試驗結果的關系是什么？

對于任何一個隨機試驗，根據研究問題的需要，我們總能夠找到一個用以表示樣本點的數，把每一個樣本點都與一個實數對應起來，建立起取值依賴于樣本點的變量，使樣本點數量化、數字化. 由于樣本點是在隨機試驗中產生的，其出現具有隨機性，相應的，刻畫樣本點的數值稱為隨機變量. 如果該隨機變量可以一一列舉出來，即為離散型隨機變量. 顯然，隨機變量的本質是一種對應關系，與函數相同，都是映射.

2. 怎樣建立隨機變量？

建立隨機變量的關鍵是：找到樣本點與隨機變量的對應關系和對應規則.

在現實中，有些隨機試驗的結果本身就是數值形式，而我們研究的問題（關心的問題）與這些數值有一定的聯系，有些結果不以數值的形式出現，甚至根本不具備數字特征，這時我們可以根據問題研究的需要，通過建立一定的對應規則，把試驗的結果用數值表示出來.

這里需要特別強調的是，雖然有些隨機試驗的結果本身就是數值的形式，但隨機變量并不一定都是隨機試驗結果本身數值的直接顯現（之后通過具體案例進行分析），而只是與隨機試驗結果的數值有一定的對應關系.

隨機變量涉及隨機試驗、樣本空間、樣本點，樣本點與實數的對應關系，是在分析隨機試驗中逐步抽象出來的. 在高中階段，我們主要研究的是離散型隨機變量.

3. 為什么要通過樣本空間、樣本點研究隨機變量？

人教A版新教材引入了樣本空間，把隨機事件看成樣本空間的子集，用集合的語言或工具研究概率問題. 樣本空間和樣本點使得事件明確具體，描述概率問題簡練準確. 同時，類比集合的關系和運算，能夠更好地揭示隨機變量的本質，理解事件的關系與運算.

樣本空間和樣本點有利于分析和研究隨機現象和隨機事件. 第一，通過樣本空間和樣本點研究隨機現象及其數量規律是概率論的基本方法，研究隨機變量也不例外. 第二，通過樣本空間研究每一個樣本點的數量指標能夠凸顯樣本空間中隨機變量的整體特征，便于全面把握所研究的問題. 第三，研究隨機變量是研究整個樣本空間中我們所“關心”的、“感興趣”的隨機事件的數值. 一般而言，同一樣本空間，不同的角度和不同的問題研究方向，樣本點所對應的隨機變量不一定相同.

分析樣本空間時，要分析樣本空間中樣本點的組成，但不一定要把每一個樣本點一一舉列出來. 例如，一個學生練習投籃，每一次投籃都有“投中”“投不中”兩種可能，求10次投籃中投中的次數X的值. 顯然，樣本點是10次投籃“投中”或“投不中”的情形，共有210種可能，即樣本空間有210（即1024）個樣本點，如（中，中，中，不中，不中，中，中，中，不中，中）（注：括號內的“中”與“不中”分別代表10次投籃中每一次投籃的結果是“中”還是“不中”，是有序的）就是其中的一個樣本點.顯然，投籃10次，一次都沒有投中的只有一種情形，即樣本點個數是C=1（該樣本點對應的隨機變量X=0）；投籃10次，只有1次投中的樣本點個數是C=10（這10個樣本點對應的隨機變量X=1）；投籃10次，有2次投中的樣本點個數是C=45（這45個樣本點對應的隨機變量X=2）……

當然，在實際問題中，要把樣本空間中的樣本點一一列舉出來有時是很麻煩的，也不需要，但隨機變量的取值反而容易被觀察或測量［1］. 另外，當我們明確隨機變量的意義及可能取值后，就不再關注對應隨機試驗的樣本空間了［2］，這也從另一個層面說明了兩個問題，一是隨機變量之于隨機試驗的重要性，二是研究隨機變量要靈活地分析和運用樣本空間.

4. 學生學習隨機變量所存在的問題

學生學習隨機變量存在四個方面的問題，一是對從隨機試驗中抽象出來的隨機變量的不理解或對隨機變量概念的理解出現了錯誤. 例如，認為隨機變量就是隨機試驗結果本身的數值；認為不同的樣本點所對應的隨機變量不同；認為一個樣本空間中的同一個樣本點所對應的隨機變量是固定不變的. 二是不習慣在樣本空間中思考問題，“直奔主題”分析隨機變量，往往容易疏漏，考慮不周.三是把樣本點向“數值”（隨機變量）轉化存在障礙，不理解隨機變量的取值與隨機試驗的結果之間的“對應關系”“對應法則”和“某種一致性”. 四是對樣本空間中，從隨機試驗結果（樣本點）構成的集合到實數集的映射的理解出現了錯誤，如將其理解為函數或一一映射等.

基于問題導向的隨機變量概念教學

1. 案例分析，經歷隨機變量的抽象過程

在具體的情境中，通過案例分析隨機變量的抽象過程，理解“事件”“變量”以及“事件”與“變量”的關系，掌握樣本空間中由樣本點分析隨機變量的方法.

分析案例時，以問題鏈進行引導，主要回答“五個什么”.

（1）情境向我們描述了什么試驗？（做什么？）

（2）試驗結果（樣本點）是什么？（是什么？）

（3）我們研究的問題（隨機事件）是什么？（研究什么或關注什么？）

（4）研究的隨機事件所對應的隨機變量是什么？（量化什么？）

（5）從樣本點得到隨機變量的法則是什么？（怎樣量化？）

案例1 某射擊運動員進行射擊訓練，靶上顯示不同區域的環數依次為2，4，6，8，10，若沒有擊中目標或目標上規定的區域，則規定為0環. 求該運動員射擊一次命中的環數X可能的取值.

設計意圖 樣本空間中的每一個樣本點具有數字特征，隨機變量即該數值.

分析 樣本空間為Ω=｛0，2，4，6， 8，10｝，隨機變量的可能取值為0，2， 4，6，8，10，隨機變量組成的集合為｛0， 2，4，6，8，10｝.

案例2 隨機投擲一顆骰子兩次，求以下情形中隨機變量可能的取值.

（1）點數之和X；（2）點數之積Y；（3）點數較大的骰子的數值Z：（4）點數之差的絕對值W.

設計意圖 隨機試驗的結果具備數字特征，而研究的事件對應的隨機變量與試驗結果的數值有聯系，但不是數值結果的直接顯示. 同一樣本空間，可以研究不同的隨機事件.

分析 設第一次投擲的結果為a，第二次投擲的結果為b，則該隨機試驗的樣本空間為Ω=｛（a，b）

a，b=1，2，…，6｝，共36個樣本點. 上述四個事件中，我們感興趣的（關心的、研究的）事件分別是：點數之和、點數之積、點數a，b中的較大值以及點數之差的絕對值. 要針對每一個感興趣的（關心的、研究的）事件，對每一個樣本點進行逐一分析，同一個樣本點，在不同的事件中，其對應的隨機變量不一定相同.

第（1）問，隨機變量X與試驗結果的數值的關系是X=a+b，X的可能取值為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11個值；第（2）問，隨機變量Y與試驗結果的數值的關系是X=a·b，Y的可能取值為1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15， 16，18，20，24，25，30，36，共18個值；第（3）問，隨機變量Z是每一個試驗結果（a，b）中的a，b兩數的較大值，Z的可能取值為1，2，3，4，5，6，共6個值；第（4）問，隨機變量W與試驗結果的數值的關系是W=a-b，W的可能取值為0，1，2， 3，4，5，共6個值.

從上述分析可以看出，在隨機試驗的樣本空間中，無論你感興趣的事件是什么，對于樣本空間Ω中的每一個樣本點ω，都有唯一實數X（或Y或Z或W）與之對應，這個實數X（或Y或Z或W）即隨機變量.

案例3 （1）隨機拋擲一枚硬幣一次，用隨機變量表示哪一面朝上.

（2）隨機拋擲一枚硬幣三次，記正面朝上的次數為X，求X可能的取值.

設計意圖 （1）試驗的結果不含數值，研究隨機變量時賦予數值.

（2）試驗的結果不含數值，隨機變量自然而然地顯現數值.

分析 （1）樣本空間Ω=｛正，反｝，含2個樣本點. 樣本點本身不含數值，但可以用實數把樣本點表示出來. 如正面朝上用實數0表示，反面朝上用實數1表示，則隨機變量對應的集合為｛0，1｝.

（2）樣本空間Ω=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）｝，含8個樣本點，樣本點本身不含數值，而研究的事件（正面朝上的次數）含數值，樣本空間中每一個樣本點對應的隨機變量的取值為3，2，2，2，1，1，1，0，隨機變量組成的集合為｛0，1，2，3｝.

案例4 倉庫里放有五件產品，其中含有兩件次品（用1，2表示），三件正品（用3，4，5表示），現從中任抽兩件（不放回抽樣），求抽到的兩件產品中次品的件數X.

設計意圖 試驗的結果本身含有數值，但我們并不關心抽到的是哪一件產品（哪一個數值），感興趣（關心的、研究的）的只是試驗的結果（抽到的兩件產品中次品的件數），這個“次品的件數”不是試驗結果本身“數值”的“直接”反映.

分析 隨機試驗的樣本空間為Ω=｛（i，j）

1≤i<j≤5，i，j∈N*｝，隨機變量X的可能取值為0，1，2，隨機變量X組成的集合為｛0，1，2｝.

2. 問題引導，把握隨機變量的抽象方法

對上述案例隨機變量的抽象過程進行總結，同樣以問題鏈引導學生思考.

第一，我們是怎樣抽象隨機變量的？

（1）關鍵是分析隨機變量的什么？（分析樣本空間、樣本點）

（2）樣本空間的構成“元素”代表什么？（隨機試驗的每一個結果）

（3）同一隨機試驗，同一樣本空間，隨機變量的取值取決于什么？（研究問題的角度即我們研究的、關心的、感興趣的隨機事件）

（4）同一個樣點在不同的事件中，對應的隨機變量相同嗎？（不一定）

（5）隨機變量是否為試驗結果本身的數值？（不一定）

（6）一個樣本點，可以有兩個或兩個以上的隨機變量嗎？假如一次隨機試驗是投擲兩次骰子，隨機變量是兩個嗎？（根據具體的研究事件確定，“一維”隨機變量一般是一個數值，一個樣本點只對應一個隨機變量，本節課中的離散型隨機變量只涉及“一維”，但新課標高中選修課程A類涉及“二維”隨機變量及其聯合分布）

（7）樣本點不同，隨機變量不同嗎？（不一定，可以相同）

（8）樣本點與隨機變量的關系是函數關系嗎？（是映射關系，不一定是函數關系）

（9）怎樣由樣本點求隨機變量？（尋找對應關系、對應法則）

（10）隨機變量建立的過程是什么？（隨機試驗→樣本點、樣本空間→我們感興趣的〈關心的、研究的〉隨機事件中每一個樣本點對應的實數→隨機事件與實數對應的關系→隨機變量的取值集合）

第二，基于上述分析，你得到的啟示是什么？

教師設置問題，加強知識鞏固.

（1）隨機變量的取值依賴于什么？（樣本點）

（2）在具體研究的隨機事件中，每一個樣本點所對應的隨機變量是否具有隨機性？（研究的事件一定，隨機變量的取值就是明確的、確定的）

（3）隨機變量的取值集合與樣本空間是什么關系？（隨機變量是樣本空間中樣本點與實數集中實數的對應，一個樣本點對應唯一的實數，不同樣本點對應的實數可能不同，也可能相同）

3. 運用類比，凸顯隨機變量的函數思想

教學中要滲透樣本點與隨機變量之間的對應關系，滲透函數思想.

第一，類比函數理解樣本點與隨機變量之間的關系. （1）任意一個樣本點，都有唯一一個反映隨機事件的實數與之對應，這個對應關系與函數概念類似，“隨機試驗的結果構成的集合相當于定義域，隨機變量的取值構成的集合相當于值域”“通過對應法則實現兩者之間的聯系”［2］. 因為樣本空間Ω中的元素（樣本點）不一定是數，所以Ω不一定是數集，因此這個對應關系不一定是函數，而是一個映射. （2）由樣本點求隨機變量或由隨機變量求樣本點與函數中由自變量求函數值或由函數值求自變量類似. 理解樣本點與隨機變量之間的關系時，要進行隨機變量與樣本點之間正反兩個方向的對應轉換訓練，尤其由隨機變量求樣本點（事件）能夠使學生深刻領悟隨機變量的含義，體悟樣本點與隨機變量之間的對應關系.

如案例4中，（1）由樣本點求隨機變量：如樣本點（1，5），（1，2），（2，3），（3，5）對應的隨機變量X的取值分別為1，2，1，0. （2）由隨機變量求樣本點：事件“沒有抽到次品”（X=0）是樣本空間的一個子集A，由隨機變量X的含義可知，A=｛ω

X（ω）=0｝=｛（3，4），（3，5），（4，5）｝；事件“0<X≤2”表示“抽到了次品”，其樣本點為（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），共7個.

第二，建立隨機變量的概念后，又可以用隨機變量（如X）的表達式（如aX+b）來表示其他的隨機事件［2］，進一步地，可用類比函數的方法來表示離散型隨機變量的分布列，可以計算隨機變量的數字特征（如均值、方差），也可以按照隨機變量的類型，建立各種概率分布模型.

4. 模型運用，典型分布的隨機變量分析

從單元和整體視角考慮，兩點分布、二項分布、超幾何分布、幾何分布（隨機變量無限個，可以用作隨機變量分析）是本章（隨機變量及其分布）中比較重要的概率分布模型，為了強化隨機變量概念的抽象和建立，學習可以提前介入. 事實上，隨機變量分析好了，分布列自然能夠得出，理解隨機變量是分析分布列的基礎.

二項分布、超幾何分布等非常重要，其隨機變量的分析可以放在隨機變量概念抽象時進行，讓學生經歷隨機試驗的特征和隨機變量的取值的抽象概括過程.

案例5 （1）擲一枚質地均勻的硬幣10次，求正面朝上的次數X的取值集合.

（2）某婦產醫院一天出生了8個嬰兒，女嬰的個數X的取值有哪些？

（3）某校有1000名學生購買“人身意外傷害保險”（保險期限一年），請分析保險期限內獲得賠償的人數X的可能取值.

問題：（1）上述試驗的特征是什么？（n重伯努利試驗：同一個伯努利試驗重復做n次，各次試驗的結果相互獨立）

（2）每一次試驗有幾個可能的結果？（2個）

（3）上述試驗分別研究什么事件？（正面朝上的次數X的可能取值、女嬰的個數X的可能取值和獲得賠償的人數X的可能取值）

（4）上述試驗的隨機變量的取值情況怎樣？（共（n+1）個結果，可能取值為0，1，2，…，n）

n重伯努利試驗（每一次事件A發生的概率是p）的樣本空間有2n個樣本點，但我們關注的是事件A發生的次數X，X的可能取值為0，1，2，…，n，共（n+1）個. 學生分析時存在兩個方面的障礙：一是對隨機試驗和概率的含義的理解有誤，認為在n重伯努利試驗中，事件A發生的概率是固定的，為np；二是過于依賴樣本點，囿于樣本空間中的樣本點較多，學生抓不住隨機試驗所反映的隨機變量的本質，不理解隨機變量X的含義，逐一分析樣本點，望而卻步. 提前引出n重伯努利試驗，有利于培養學生在復雜情境中分析隨機變量的能力.

研究超幾何分布和幾何分布對應的隨機變量時，教材安排了一個探究活動，目的是通過對比問題情境，分析隨機變量. 筆者稍微改變一下表述方式，突出隨機變量的抽象過程.

試驗1 從100個電子元件（含3個以上次品）中隨機抽取3個進行檢驗，求抽取的元件中的次品數X的取值.

問題：（1）什么試驗？（2）抽樣時有無放回？（3）隨機變量X代表什么？（4）X的取值有哪些？

N件產品中含有M件次品，從中不放回地隨機抽取n件產品（n≤M，n≤N-M），X表示抽取的次品數，其可能取值為0，1，2，…，n. （引導學生將其與n重伯努利試驗中的隨機變量進行比較）

試驗2 拋擲一枚硬幣，直到出現正面朝上，求拋擲次數Y的可能取值.

問題：（1）想象試驗的情境，你能夠知道拋擲的次數嗎？最少需要幾次？（2）隨機變量Y的可能取值有哪些？

在幾何分布中，隨機變量Y的取值是無限的，為1，2，…，n，….

問題引導比較：上述兩個試驗中，樣本點、樣本空間分別是什么？樣本點與隨機變量是如何對應的？

在現實生活中，隨機試驗的結果量化成離散型隨機變量的例子有很多，要盡可能地讓學生去接觸，促使其充分理解樣本點與隨機變量之間的關系.

<D：＼DW＼數學教學通訊（下旬）＼2023年＼2023年中等教育下旬8期＼aa-2.tif> 結束語

隨機變量建立后，樣本空間中的每一個樣本點對應唯一一個隨機變量，我們可以運用隨機變量研究隨機事件，使問題變得簡單明了，實現概率問題數學化，之后學習分布列及隨機變量的數字特征就會變得輕松高效.

參考文獻：

［1］ 郭明樂，黃旭東. 概率論與數理統計［M］. 合肥：中國科學技術大學出版社，2011.

［2］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書教師教學用書·數學（選擇性必修第三冊A版）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.