兩個(gè)寬帶噪聲矢量場(chǎng)模型的空間相關(guān)特性

任 超，黃益旺

(1.哈爾濱工程大學(xué)，水聲技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江哈爾濱 150001；

2.海洋信息獲取與安全工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（哈爾濱工程大學(xué)），工業(yè)和信息化部，黑龍江哈爾濱 150001；3.哈爾濱工程大學(xué)，水聲工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001)

0 引 言

海洋環(huán)境噪聲通常被視為聲吶系統(tǒng)的背景干擾，在設(shè)計(jì)和應(yīng)用任何聲吶系統(tǒng)時(shí)都必須考慮其影響。陣增益是聲吶陣列重要的性能參數(shù)之一，與環(huán)境噪聲空間特性密切關(guān)聯(lián)。由于寬帶信號(hào)所攜帶的目標(biāo)信息更多，抗干擾能力更強(qiáng)，更加方便于目標(biāo)檢測(cè)識(shí)別和參數(shù)估計(jì)，因此寬帶信號(hào)在聲吶領(lǐng)域受到了廣泛的應(yīng)用。由于各種類型的聲吶系統(tǒng)擁有不同的工作頻段，對(duì)其造成干擾的環(huán)境噪聲頻段也各不相同，而目前大多數(shù)的海洋環(huán)境噪聲模型都是針對(duì)窄帶噪聲而建立的[1-4]，因此研究任意頻段噪聲場(chǎng)的空間相關(guān)性具有實(shí)際意義。早期Cron等[5]基于C/S模型利用頻域積分來獲得帶寬內(nèi)能量分布均勻的寬帶噪聲空間相關(guān)系數(shù)，在高頻段、高海況、附近無船的情況下，此時(shí)風(fēng)成噪聲為主要影響因素，更貼近模型的假設(shè)，理論結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果符合更好。近年來，傅里葉合成技術(shù)常被用于計(jì)算海洋環(huán)境噪聲場(chǎng)的時(shí)間互相關(guān)函數(shù)[6-8]，并利用噪聲場(chǎng)互相關(guān)函數(shù)提取聲場(chǎng)的多途結(jié)構(gòu)以獲取海底分層結(jié)構(gòu)信息。Buckingham[6]認(rèn)為實(shí)際觀測(cè)到的海洋環(huán)境噪聲通常是受帶寬限制的，利用傅里葉合成技術(shù)分析了限帶各向同性噪聲以及深海表面噪聲的互相關(guān)函數(shù)。Nichols等[9]通過時(shí)域建模推導(dǎo)出各向同性噪聲場(chǎng)中的時(shí)間相關(guān)函數(shù)，這可直接獲得噪聲相關(guān)性。文獻(xiàn)[10-11]從時(shí)域入手，建立了水平分層介質(zhì)中寬頻帶表面噪聲模型，分析了帶寬和頻譜特性對(duì)寬頻帶噪聲空間相關(guān)性的影響，實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果吻合較好。

對(duì)于傳統(tǒng)水聽器陣列，噪聲聲壓場(chǎng)的相關(guān)特性是主要的關(guān)注對(duì)象。事實(shí)上，隨著聲矢量傳感器的發(fā)展，僅僅對(duì)噪聲聲壓場(chǎng)空間特性進(jìn)行研究已無法滿足當(dāng)前需求。迄今為止，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對(duì)單頻均勻各向同性噪聲矢量場(chǎng)空間相關(guān)特性進(jìn)行了大量研究[12-15]，對(duì)水平分層介質(zhì)中噪聲矢量場(chǎng)的空間相關(guān)特性問題也取得了一定成果[16-17]。

為了揭示海洋環(huán)境噪聲矢量場(chǎng)在不同頻段的空間相關(guān)性，區(qū)別于窄帶噪聲場(chǎng)的建模方法，本文通過時(shí)域聲場(chǎng)建模，考慮簡(jiǎn)諧平面行波場(chǎng)聲壓與質(zhì)點(diǎn)振速的關(guān)系，得到噪聲場(chǎng)的時(shí)域聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速，從而獲得任意頻帶噪聲矢量場(chǎng)的空間特性。根據(jù)理想限帶白噪聲的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)，本文推導(dǎo)出頻帶可調(diào)的各向同性噪聲和表面噪聲矢量場(chǎng)豎直方向空間相關(guān)系數(shù)的解析表達(dá)式。

1 噪聲矢量場(chǎng)相關(guān)特性建模

1.1 模型理論

在均勻無限介質(zhì)中，假設(shè)曲面S(r)上均勻分布著若干個(gè)統(tǒng)計(jì)特性相同但空間互不相關(guān)的面元噪聲源，其中r代表曲面上任意一點(diǎn)的空間矢徑，表示面元噪聲源在曲面上的位置。面積為dS的面元噪聲源在與其距離為R的接收點(diǎn)處的聲壓可表示

式中：ps(t，r)表示r點(diǎn)處的單位面積面元噪聲源在單位距離處的聲壓；G(θ)表示噪聲源的指向性函數(shù)，θ表示極角，對(duì)于各向同性噪聲，噪聲源無指向性，G(θ)=1；對(duì)于表面噪聲，噪聲源存在指向性，通常令G(θ)=cosmθ。r1、r2表示空間任意兩接收點(diǎn)位置，以r1、r2連線的中點(diǎn)作為原點(diǎn)，可得在球坐標(biāo)系下兩接收點(diǎn)處來自曲面S(r)上所有噪聲源作用下的聲壓及質(zhì)點(diǎn)振速為

式中：u1、u2為方向向量。若y1、y2均可看作是平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有噪聲矢量場(chǎng)時(shí)空相關(guān)函數(shù)：

其中：·為時(shí)間平均，τ12表示聲波在兩個(gè)接收點(diǎn)間的傳播時(shí)延。由于曲面上面元噪聲源空間不相關(guān)，因此：

δ為狄拉克(Delta)函數(shù)，將式(5)代入式(4)中可得：

其中，U=[1u]T[1uT]。

式(6)中，Rs為面元噪聲源輻射噪聲聲壓時(shí)間自相關(guān)函數(shù)。由此可知，當(dāng)已知目標(biāo)頻段內(nèi)Rs時(shí)，可通過對(duì)面元噪聲源進(jìn)行面積分獲得給定頻帶噪聲矢量場(chǎng)的空間相關(guān)系數(shù)。接下來，將以此為基礎(chǔ)分別討論寬帶各向同性噪聲矢量場(chǎng)和表面噪聲矢量場(chǎng)的空間相關(guān)特性。

1.2 各向同性噪聲模型

各向同性噪聲模型如圖1所示。假設(shè)面元噪聲源均勻分布于無限大球面上，噪聲源指向性函數(shù)G(θ)=1，介質(zhì)均勻。將式(6)的面積分變換到球坐標(biāo)系下，對(duì)方向角積分，對(duì)相關(guān)函數(shù)進(jìn)行歸一化處理，歸一化系數(shù)取聲壓的方差。考慮零延時(shí)的空間相關(guān)特性，為書寫簡(jiǎn)便，將歸一化噪聲矢量場(chǎng)空間相關(guān)函數(shù)記為ρ(d)，計(jì)算公式為

圖1 各向同性噪聲模型Fig.1 Schematic diagram of isotropic noise model

其中：γ、β表示空間兩個(gè)接收點(diǎn)連線的極角和方位角，φ為接收點(diǎn)相對(duì)于面元噪聲源的方位角，ρs(τ)為噪聲源輻射聲壓的歸一化時(shí)間相關(guān)函數(shù)。

假設(shè)噪聲源輻射限帶白噪聲，并且在頻帶[ω1，ω2]和[-ω2，-ω1]范圍內(nèi)，其功率譜密度為單位值，則可得到該限帶白噪聲歸一化時(shí)間相關(guān)函數(shù)為

將式(9)代入式(7)中，有：

考慮噪聲矢量場(chǎng)豎直方向的相關(guān)特性，即令γ=0，此時(shí)τ12=dcosθc，則式(10)可簡(jiǎn)化為

其中：k1=ω1c，k2=ω2c。則可推導(dǎo)出聲壓與聲壓、聲壓與質(zhì)點(diǎn)振速、質(zhì)點(diǎn)振速分量間的相關(guān)函數(shù)分別為

其中：函數(shù)Si(x)的表達(dá)式為

式(12)～(14)中，ρij中i、j取值分別為1、2、3、4，分別代表聲壓以及x、y、z方向的質(zhì)點(diǎn)振速。當(dāng)k2→k1時(shí)，使用洛必達(dá)法則，對(duì)式(12)～(14)等號(hào)右側(cè)取極限，得到的結(jié)果即為窄帶各向同性噪聲矢量場(chǎng)歸一化空間相關(guān)函數(shù)，其結(jié)果與文獻(xiàn)[14]的結(jié)果一致，式(12)也與文獻(xiàn)[5]中給出的使用頻域積分獲得的寬帶各向同性噪聲空間相關(guān)系數(shù)表達(dá)式一致，可充分證明結(jié)果的正確性。式(12)～(14)中的相關(guān)函數(shù)均為實(shí)函數(shù)，除上述分量外相關(guān)函數(shù)矩陣中其余分量的實(shí)部恒等于0，表明各向同性噪聲矢量場(chǎng)在豎直方向上只有聲壓與聲壓之間、相同質(zhì)點(diǎn)振速分量之間是相關(guān)的。

1.3 表面噪聲模型

表面噪聲模型示意圖如圖2所示。假設(shè)面元噪聲源均勻分布于無限大海面上，海水介質(zhì)均勻。

圖2 表面噪聲模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of surface noise model

將式(6)的面積分變換到極坐標(biāo)系下的方向角積分，考慮零時(shí)延的空間相關(guān)特性，對(duì)相關(guān)函數(shù)做歸一化處理后得到：

式中：歸一化常數(shù)C的表達(dá)式為

噪聲源輻射聲壓的歸一化時(shí)間相關(guān)函數(shù)如式(9)所示，則有：

對(duì)于噪聲矢量場(chǎng)豎直方向的相關(guān)特性，當(dāng)G(θ)=cosθ時(shí)，C=π時(shí)，式(18)改寫為

積分后得到聲壓與聲壓、聲壓與豎直方向質(zhì)點(diǎn)振速分量、同一方向質(zhì)點(diǎn)振速分量之間的相關(guān)函數(shù)，表達(dá)分別為

當(dāng)k2→k1時(shí)，對(duì)式(20)～(23)取極限得到與文獻(xiàn)[15]一致的結(jié)果。同樣式(20)也與文獻(xiàn)[5]中給出的寬帶表面噪聲空間相關(guān)系數(shù)表達(dá)式一致。

當(dāng)噪聲源指向性G(θ)=cos2θ時(shí)，C=π2時(shí)，式(18)改寫為

積分得到聲壓與聲壓、聲壓與豎直方向質(zhì)點(diǎn)振速分量、同一方向質(zhì)點(diǎn)振速分量之間的相關(guān)函數(shù)為

由上述結(jié)果可知，表面噪聲矢量場(chǎng)在豎直方向上只有聲壓與聲壓、聲壓與z方向的質(zhì)點(diǎn)振速、相同質(zhì)點(diǎn)振速分量之間是相關(guān)的。

2 噪聲矢量場(chǎng)的空間相關(guān)系數(shù)

針對(duì)各向同性噪聲和表面噪聲模型，考慮1 000 Hz窄帶噪聲以及頻帶為500～1 500 Hz的限帶白噪聲的空間相關(guān)特性。在表面噪聲模型中，假設(shè)噪聲源指向性分別為cosθ和cos2θ。噪聲場(chǎng)豎直方向上的空間相關(guān)系數(shù)可采用上文中的解析表達(dá)式計(jì)算獲得，對(duì)于水平方向及其他任意方向，則采用數(shù)值積分方法計(jì)算相關(guān)系數(shù)。在水平方向的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算中，取β=π6。窄帶和寬帶各向同性噪聲及表面噪聲矢量場(chǎng)空間相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果分別如圖3～5所示。

圖3 各向同性窄帶和寬帶噪聲矢量場(chǎng)空間相關(guān)特性Fig.3 patial correlations of narrow-band and broadband isotropic noise vector fields

2.1 寬帶各向同性噪聲

從圖3中可以看出，對(duì)于各向同性噪聲場(chǎng)，其聲壓空間相關(guān)系數(shù)與空間方向無關(guān)，而質(zhì)點(diǎn)振速分量的自相關(guān)和互相關(guān)系數(shù)與基陣的俯仰角、水平方位角是相關(guān)的。當(dāng)γ=π2時(shí)，豎直方向的質(zhì)點(diǎn)振速分量與水平兩個(gè)方向的質(zhì)點(diǎn)振速分量均不相關(guān)，而水平兩個(gè)方向的質(zhì)點(diǎn)振速是相關(guān)的。

對(duì)比寬帶和窄帶各向同性噪聲矢量場(chǎng)的空間特性可知，在豎直及水平方向上，兩類噪聲矢量場(chǎng)的空間相關(guān)半徑基本相同。相較于窄帶噪聲，寬帶噪聲的矢量場(chǎng)空間相關(guān)系數(shù)的振蕩幅度更小；當(dāng)水聽器間距較大時(shí)，寬帶噪聲矢量場(chǎng)空間相關(guān)系數(shù)起伏更快地趨于平穩(wěn)。由于寬帶噪聲矢量場(chǎng)的空間相關(guān)函數(shù)也可認(rèn)為是頻帶內(nèi)所有頻率的窄帶噪聲矢量場(chǎng)空間相關(guān)函數(shù)的頻率積分[5,11]，其歸一化后的相關(guān)系數(shù)代表了一定帶寬內(nèi)噪聲的總體相關(guān)性。不同頻率的窄帶噪聲波長(zhǎng)不同，其矢量場(chǎng)空間相關(guān)函數(shù)極大值與極小值的位置也不相同，在進(jìn)行頻率積分時(shí)，不同頻率的窄帶噪聲矢量場(chǎng)空間相關(guān)函數(shù)相互疊加、相互抵消才導(dǎo)致上述現(xiàn)象的發(fā)生。

2.2 寬帶表面噪聲

從圖4、5中可以看出，對(duì)于表面噪聲場(chǎng)，在水平方向上，聲壓與聲壓、聲壓與z方向的質(zhì)點(diǎn)振速以及相同質(zhì)點(diǎn)振速分量之間是相關(guān)的，且水平兩個(gè)方向的質(zhì)點(diǎn)振速也是相關(guān)的；聲壓與聲壓、聲壓與z方向的質(zhì)點(diǎn)振速的相關(guān)性僅與俯仰角有關(guān)，而質(zhì)點(diǎn)振速分量以及水平兩個(gè)方向的質(zhì)點(diǎn)振速的相關(guān)特性與基陣的俯仰角和方位角均有關(guān)。

圖4 窄帶和寬帶表面噪聲矢量場(chǎng)空間相關(guān)特性(G(θ)=cosθ)Fig.4 Spatial correlations of narrow-band and broadband surface noise vector fields when G(θ)=cosθ

圖5 窄帶和寬帶表面噪聲矢量場(chǎng)空間相關(guān)特性(G(θ)=cos2θ)Fig.5 Spatial correlations of narrow-band and broadband surface noise vector fields when G(θ)=cos2θ

寬帶和窄帶表面噪聲矢量場(chǎng)的空間特性差異與各向同性噪聲矢量場(chǎng)基本一致。比較圖4(a)、5(a)可以看出，噪聲源指向性G(θ)=cos2θ的表面噪聲矢量場(chǎng)豎直方向上的空間相關(guān)系數(shù)的振蕩幅度明顯大于噪聲源指向性G(θ)=cosθ的表面噪聲矢量場(chǎng)，空間不同位置聲場(chǎng)的相關(guān)性差別更大，特別是對(duì)于窄帶噪聲，可知噪聲源指向性會(huì)對(duì)表面噪聲矢量場(chǎng)豎直方向空間相關(guān)系數(shù)產(chǎn)生較為顯著的影響。

3 結(jié) 論

為了計(jì)算寬帶海洋環(huán)境噪聲矢量場(chǎng)空間相關(guān)系數(shù)，本文針對(duì)各向同性噪聲和表面噪聲模型開展了理論和仿真研究。采用時(shí)域建模方法，獲得了單個(gè)面元噪聲源的輻射聲場(chǎng)。在統(tǒng)計(jì)特性相同的相互獨(dú)立的噪聲源在曲面上均勻分布的假設(shè)條件下，得到了寬帶各向同性噪聲及表面噪聲矢量場(chǎng)空間相關(guān)系數(shù)的積分表示。對(duì)于表面噪聲，噪聲源通常具有cosmθ的垂直指向性，文中分別討論了m=1和m=2兩種情況。對(duì)于限帶白噪聲這種簡(jiǎn)單情況，文中給出了噪聲矢量場(chǎng)豎直方向空間相關(guān)函數(shù)的解析表達(dá)式。對(duì)于方位角30°的水平方向，則采用數(shù)值積分方法計(jì)算噪聲矢量場(chǎng)各分量的空間相關(guān)系數(shù)。兩個(gè)特殊方向上的計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于各向同性噪聲和表面噪聲，寬帶噪聲矢量場(chǎng)各分量的空間相關(guān)系數(shù)的振蕩幅度小于窄帶噪聲；噪聲源指向性對(duì)表面噪聲矢量場(chǎng)各分量豎直方向上的空間相關(guān)特性的影響顯著。

本文對(duì)比研究了寬帶及窄帶各向同性噪聲及表面噪聲矢量場(chǎng)空間相關(guān)特性的差異。除此之外，影響實(shí)際海洋環(huán)境噪聲場(chǎng)特性的因素還有海水、海底的聲學(xué)參數(shù)等。本文的研究?jī)H是海洋環(huán)境噪聲的簡(jiǎn)單模型。