基于雙曲調(diào)頻距離誤差的目標(biāo)跟蹤修正算法

龐玉紅，嚴(yán) 琪，陳 托

(杭州應(yīng)用聲學(xué)研究所，杭州 310012)

0 引 言

對(duì)于高斯白噪聲背景下固定目標(biāo)(速度為零)的檢測(cè)，常用方法是利用匹配濾波器將發(fā)射信號(hào)和回波信號(hào)進(jìn)行相關(guān)處理，使輸出信噪比達(dá)到最優(yōu)。對(duì)于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，回波信號(hào)受多普勒效應(yīng)影響，將與發(fā)射信號(hào)產(chǎn)生“失配”[1]，進(jìn)而影響檢測(cè)性能。雙曲調(diào)頻信號(hào)(Hyperbolic Frequency Modulated, HFM)作為多普勒不變信號(hào)，在目標(biāo)與聲吶產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，回波信號(hào)相較于發(fā)射信號(hào)僅產(chǎn)生瞬時(shí)頻率上的偏移，波形依舊“匹配”，可有效降低由目標(biāo)運(yùn)動(dòng)引起的檢測(cè)問題。然而，由于HFM信號(hào)在時(shí)延與頻移之間存在“距離—多普勒耦合”現(xiàn)象，其模糊函數(shù)峰脊線在時(shí)延與頻移之間存在傾斜(如圖1所示)，這使得運(yùn)動(dòng)目標(biāo)匹配濾波的峰值偏離真實(shí)值，引入了距離估計(jì)誤差[2]。

圖1 HFM信號(hào)模糊函數(shù)峰脊線(等高線)圖Fig.1 Contour plot of the ambiguity function of HFM waveforms

盡管雙曲調(diào)頻信號(hào)多普勒不變特性很早之前就已被國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者進(jìn)行了大量研究，并已應(yīng)用于雷達(dá)和聲吶系統(tǒng)中，但該特性對(duì)目標(biāo)跟蹤過程造成影響研究較少。傳統(tǒng)的跟蹤算法如卡爾曼或擴(kuò)展卡爾曼濾波主要針對(duì)無偏差的觀測(cè)值[3]，一旦在觀測(cè)值中引入誤差，則會(huì)造成傳統(tǒng)跟蹤算法性能的下降。

本文在分析雙曲調(diào)頻信號(hào)距離估計(jì)誤差的基礎(chǔ)上，提出了目標(biāo)跟蹤算法的誤差修正方法，通過將距離估計(jì)誤差公式與傳統(tǒng)跟蹤算法進(jìn)行融合，實(shí)現(xiàn)跟蹤算法的誤差補(bǔ)償，顯著提高了算法的跟蹤性能，尤其是對(duì)快速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤性能。

1 雙曲調(diào)頻信號(hào)距離估計(jì)誤差分析

1.1 多普勒不變特性

HFM脈沖信號(hào)的表達(dá)式為[4]

其中：T為信號(hào)脈寬；f1為HFM脈沖信號(hào)的起始頻率；f2為截止頻率；b為調(diào)頻系數(shù)，表達(dá)式為

瞬時(shí)頻率是對(duì)波形時(shí)間變化性質(zhì)的描述，表達(dá)式為[3]

對(duì)于脈寬為T的信號(hào)，fs(0)=f1，fs(T)=f2，帶寬B=|f1-f2|。HFM信號(hào)的瞬時(shí)頻率在起始頻率和截止頻率之間連續(xù)單調(diào)，服從雙曲分布。

當(dāng)目標(biāo)與聲吶之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，目標(biāo)回波信號(hào)的波形相對(duì)發(fā)射信號(hào)會(huì)產(chǎn)生頻率偏移，即產(chǎn)生多普勒頻移。

若目標(biāo)與聲吶的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為v，則定義脈寬壓縮參數(shù)[4]為

式中：c為水中的聲速。

設(shè)目標(biāo)與聲吶初始距離為d0，若發(fā)射信號(hào)為式(1)中的形式，則接收信號(hào)為

式中：τ0=2d0/c為目標(biāo)回波信號(hào)時(shí)間延遲，結(jié)合式(3)，得到目標(biāo)回波信號(hào)的瞬時(shí)頻率為

即：

對(duì)比發(fā)射信號(hào)與回波信號(hào)瞬時(shí)頻率可知：

式中：τ1為頻率調(diào)制函數(shù)在時(shí)間上的平移，計(jì)算公式為

若一種信號(hào)的多普勒效應(yīng)等效于頻率調(diào)制函數(shù)在時(shí)間上的平移，接收信號(hào)的調(diào)制特性不變，則稱該信號(hào)具有多普勒不變性[4]。HFM脈沖信號(hào)即為多普勒不變信號(hào)，其多普勒不變性如圖2所示。

圖2 HFM信號(hào)的多普勒不變性Fig.2 Doppler invariance of the HFM waveform

1.2 距離誤差分析

主動(dòng)聲吶中目標(biāo)距離估計(jì)常用方法是利用匹配濾波算法對(duì)發(fā)射信號(hào)和目標(biāo)回波信號(hào)進(jìn)行相關(guān)處理。

設(shè)d0為目標(biāo)真實(shí)距離，為目標(biāo)估計(jì)距離，的計(jì)算公式為[5]

式中：s*表示s的拷貝信號(hào)，目標(biāo)回波信號(hào)脈寬Tr與發(fā)射信號(hào)脈寬T之間的關(guān)系為Tr=T/α。當(dāng)速度v為正時(shí)，目標(biāo)回波信號(hào)脈沖寬度被拉伸，相較于發(fā)射信號(hào)增加了Tr-T，由式(8)可知，以目標(biāo)回波信號(hào)時(shí)間中點(diǎn)為中心的接收信號(hào)表達(dá)式為

結(jié)合式(3)和式(6)，可得：

化簡(jiǎn)式(12)并將式(4)代入，可得：

當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度為0時(shí)，距離估計(jì)誤差ΔdHFM趨近于0。

對(duì)比式(9)可知，ΔdHFM的第一項(xiàng)為τ1c/2。將Tr=T/α代入，第二項(xiàng)等同于設(shè)fc=(f1+f2)/2，則距離估計(jì)誤差的計(jì)算公式最終化簡(jiǎn)為

2 目標(biāo)跟蹤算法的距離誤差修正

目標(biāo)跟蹤處理根據(jù)檢測(cè)器提供的目標(biāo)參量數(shù)據(jù)進(jìn)行目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)，用以建立和更新目標(biāo)軌跡。傳統(tǒng)的跟蹤算法未考慮雙曲調(diào)頻信號(hào)多普勒不變特性引起的距離估計(jì)誤差，從而造成跟蹤算法性能的下降。為了能穩(wěn)定而準(zhǔn)確地進(jìn)行目標(biāo)跟蹤和航跡處理，本文將距離估計(jì)誤差公式引入跟蹤算法，對(duì)其觀測(cè)方程和濾波算法等進(jìn)行補(bǔ)償修正，提高跟蹤處理對(duì)雙曲調(diào)頻信號(hào)的適應(yīng)性和跟蹤精度。

2.1 無距離誤差修正的目標(biāo)跟蹤算法

設(shè)在k時(shí)刻，聲吶的觀測(cè)值[6]為

一維離散時(shí)間卡爾曼遞推估計(jì)理論中，信號(hào)的狀態(tài)方程為[7]

其中：wk是零均值的高斯過程，wk～N(0，σw2)，Φk為系統(tǒng)參數(shù)，假設(shè)目標(biāo)與聲吶保持相對(duì)勻速直線運(yùn)動(dòng)，則：

其中：Δtk=tk+1-tk，若信號(hào)發(fā)射周期固定，則Δtk=Ts，即發(fā)射周期。

信號(hào)的觀測(cè)方程[7]為

其中：vk是觀測(cè)噪聲，vk～N(0，σv2)。若不考慮距離誤差，則H=[1 0]。觀測(cè)得到的目標(biāo)位置信息是真實(shí)目標(biāo)位置加上觀測(cè)噪聲。

對(duì)于軌跡位置和目標(biāo)速度估計(jì)的更新，利用卡爾曼濾波算法進(jìn)行遞歸濾波[8]。在tk時(shí)刻的估計(jì)表示為Xk|k，協(xié)方差矩陣表示為Pk|k。利用包括tk在內(nèi)的前面全部觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)tk+1時(shí)刻的信號(hào)進(jìn)行估計(jì)(即濾波)，遞歸方程為

增益矩陣L為

則狀態(tài)更新方程為

協(xié)方差矩陣的更新方程為

通過上述方程，可根據(jù)目標(biāo)觀測(cè)數(shù)據(jù)(未經(jīng)距離估計(jì)誤差修正)對(duì)當(dāng)前和未來時(shí)刻目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)，建立跟蹤目標(biāo)軌跡。

2.2 目標(biāo)跟蹤算法的距離誤差修正

對(duì)于傳統(tǒng)的目標(biāo)跟蹤，其狀態(tài)方程與式(17)相同，但觀測(cè)方程由線性變?yōu)榉蔷€性[9]：

此處h(Xk)包含了距離真實(shí)值與距離估計(jì)誤差值之和，結(jié)合式(15)，可得：

對(duì)于非線性跟蹤器，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波進(jìn)行遞推[10]。因狀態(tài)方程不變，遞歸方程也與式(21)和式(22)相同。

增益矩陣L為

則狀態(tài)更新方程為

協(xié)方差矩陣的更新方程為

其中：Hk+1是h(·)函數(shù)在X=Xk+1|k時(shí)的一階偏導(dǎo)數(shù)。因?h(X(k))/?D(k)=1，Hk+1表達(dá)式為

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析與討論

為驗(yàn)證目標(biāo)跟蹤算法的距離誤差修正后的跟蹤性能，進(jìn)行仿真分析，仿真參數(shù)為設(shè)定目標(biāo)初始距離為4 000 m，初始角度為60°，沿45°方向以勻速直線運(yùn)動(dòng)遠(yuǎn)離聲吶，信號(hào)發(fā)射周期Ts=30 s，脈沖信號(hào)的瞬時(shí)頻率fs的范圍為1.5～2 kHz，脈沖寬度T=0.1 s。進(jìn)行500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，將算法修正前后的目標(biāo)跟蹤算法性能進(jìn)行對(duì)比，處理結(jié)果如圖3～5所示。

圖3 算法修正前后目標(biāo)跟蹤軌跡對(duì)比Fig.3 Comparison of target tracking trajectories with and without range bias compensation

從圖3～5中的仿真結(jié)果可以看出：

(1) 經(jīng)距離估計(jì)誤差補(bǔ)償修正后的跟蹤算法，濾波過程收斂較快，且跟蹤更加穩(wěn)定；

(2) 與傳統(tǒng)跟蹤算法相比，修正跟蹤算法的誤差明顯減小，目標(biāo)跟蹤的準(zhǔn)確性和精度皆有提升。圖4(b)中的性能提升百分比為修正后誤差與修正前誤差的差值與修正前誤差的百分比。在設(shè)置的仿真條件下，當(dāng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度v=20 m·s-1時(shí)，將圖4(b)中的數(shù)據(jù)取均值，可以得到修正算法跟蹤誤差均值較傳統(tǒng)算法降低約9%；

圖4 算法修正前后距離的均方根誤差對(duì)比及相應(yīng)的性能提升百分比Fig.4 Comparison of the root mean square range errors with and without range bias compensation and the corresponding percentage of performance improvement

圖5 不同目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度下算法修正前后的均方根位置誤差對(duì)比Fig.5 Comparison of the root mean square range errors with and without range bias compensation at different target velocities

(3) 算法修正前，目標(biāo)徑向運(yùn)動(dòng)速度越大，跟蹤誤差越大；修正后的跟蹤算法對(duì)于快速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤性能提升更為顯著。

4 結(jié) 論

HFM信號(hào)是一種多普勒不變信號(hào)，已廣泛應(yīng)用于主動(dòng)聲吶的目標(biāo)信號(hào)檢測(cè)中。多普勒不變特性可有效降低多普勒效應(yīng)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)回波信號(hào)的影響，但其代價(jià)是引入了距離估計(jì)誤差。本文全面分析研究了HFM信號(hào)的距離誤差特性，并基于距離誤差公式，對(duì)HFM信號(hào)的跟蹤算法進(jìn)行了補(bǔ)償修正。仿真結(jié)果表明，本文所提的修正算法濾波過程收斂較快，跟蹤更加穩(wěn)定，可顯著提高目標(biāo)跟蹤性能，尤其是對(duì)快速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤性能的提升更為顯著。