帶有混合時滯的中立型隨機神經網絡的狀態估計

彭 杰,張玉武

(1.六安職業技術學院 基礎部,安徽 六安 237158;2.武漢大學 數學與統計學院,湖北 武漢 430072)

1982年,Hopfield 教授提出了Hopfield網絡模型,闡明了神經網絡與動力學之間的關系,開創了神經網絡用于聯想記憶和優化計算的新途徑,引發了人工神經網絡的研究熱潮。多年來,神經網絡被廣泛應用于眾多領域,如序列識別、聯想記憶、信號過程等[1-3]。在具體工程應用中,神經網絡通過電子電路構造來完成,一方面,神經元之間的信息傳遞存在延遲,另一方面,在網絡的硬件實現過程中也有開關延遲和通信延遲的存在,這兩方面的原因導致了在神經網絡中產生了時滯現象。需要注意的是,時滯不只是出現在系統狀態(或輸出)中,也可以出現在系統狀態的導數中,這種時滯被稱為中立型時滯,并可在實際應用中找到各種應用案例,如化學反應器、傳輸線、在超大規模集成電路(VLSI)系統中的部分元等效電路,以及 Lotka-Volterra 系統等。此外,在許多應用中,神經元的狀態并不是經常能夠在網絡輸出中完全獲取的。因此,神經網絡的狀態估計在許多應用中變得非常重要。狀態估計的主要目標是通過可得的輸出測量估計神經元狀態,這樣的狀態估計誤差系統的動力學是全局穩定的。關于時滯神經網絡的狀態估計問題有很多研究結果。例如,杜雨薇等人研究了事件觸發機制下混合時滯神經網絡的狀態估計問題[4];LIANG J等人討論了一類具有分布時滯的遞歸神經網絡的全局輸出收斂性,其中連接權矩陣的對稱性和激勵函數的有界性是不需要的[5];WANG Z等人通過使用一種有效的LMI方法處理了一類具有離散和分布時滯的神經網絡的全局漸近穩定性問題[6];崔穎通過構造具有三重求和項的Lyapunov泛函方法得到了一類離散時間切換神經網絡的隨機穩定性判據[7];Rakkiyappan R等人設計了基于觸發的反饋牽制控制算法[8]。然而,對于既含有離散時滯又含有無窮分布時滯的中立型神經網絡的狀態估計問題,特別是這些時滯依賴于馬爾可夫鏈變化的研究相對較少?；诖?本文研究了一類具有Markov跳變參數的中立型神經網絡的狀態估計問題,所考慮的神經網絡含有Markov模態依賴的離散時滯和無窮分布時滯。

1 預備知識

1.1 模型描述

設{r(t),t≥0}是概率空間上右連續的Markovian過程,取值于有限空間={1,2,…,n0},其轉移率矩陣∏=(πij)(i,j∈S)滿足

本文考慮由n0個神經元構成的具有Markovian跳參數的中立型神經網絡:

(1)

其中x(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T∈Rn是神經網絡的狀態向量;A(r(t))=diag{a1r(t),a2r(t),…,anr(t)}是air(t)>0的對角矩陣;B(r(t))=(bij(r(t)))n×n,C(r(t))=(cij(r(t)))n×n,D(r(t))=(dij(r(t)))n×n及E(r(t))=(eij(r(t)))n×n表示神經元的連接權矩陣;U(r(t))=[u1(r(t)),u2(r(t)),…,un(r(t))]T是輸入向量值函數;F(·)=(f1(·),f2(·),…,fn(·))T,G(·)=(g1(·),g2(·),…,gn(·))T及H(·)=(h1(·),h2(·),…,hn(·))T表示激勵函數向量;τ1,r(t),τ2,r(t)表示模式依賴離散時滯,τ3,r(t)表示分布時滯的模式依賴上界。

傳統上,我們假設激勵函數是連續可微、單調增加且有界的,如sigmoid型函數。然而,在許多電路中,放大器的輸入—輸出函數既不是單調增加的也不是連續可微的,因此當設計與應用人工神經網絡時,非單調函數更適合于描述神經元的激勵函數。對于神經元的激勵函數,給出下面的假設條件,其中激勵函數不再是可微、單調增加及有界的。

假設1 對于i∈{1,2,…,n},在(1)中的神經元激勵函數滿足

其中,li-,li+,σi-,σi+,υi-,υi+為常數。

注1 假設1中的常數li-,li+,σi-,σi+,υi-,υi+,可以是正數,負數或零,因此,激勵函數可以是非單調的,并且比常用的sigmoid函數更一般。注意,為了本文的狀態估計,像通常一樣,未假設(1)中的激勵函數是有界的。

假設2 時滯核φ(·):[0,+∞]→[0,+∞]是連續可積的且滿足

(2)

值得注意,無論生物神經網絡還是人工神經網絡,我們都不能完全獲得神經網絡的狀態,獲取的所有信息僅是神經網絡的輸出。因此,在一些實際應用中,為了實現某些特殊的設計目標,必須由已知的神經網絡輸出估計神經元的狀態,這就需要我們構造估計器,使得狀態估計以漸近的方式來逼近神經網絡的狀態。

設神經網絡(1)的輸出形式為

y(t)=W(r(t))x(t)+Q(t,x(t))

(3)

其中y(t)=(y1(t),y2(t),…,ym(t))T∈Rm是神經網絡的測量輸出,W(r(t))∈Rm×n是已知常數矩陣,Q(t,x(t))=(q1(t,x(t)),q2(t,x(t)),…,qm(t,x(t)))T∈Rm是依賴于神經元狀態的非線性擾動,并且滿足Lipschitz條件:

|Q(t,x)-Q(t,y)|≤|L(x-y)|,

(4)

其中L∈Rn×n是已知常數矩陣。

為了估計(1)的神經元狀態,我們構造下面的全階狀態估計器:

(5)

(6)

其中Ak(r(t))∶=-A(r(t))-K(r(t))W(r(t)),為了記號的簡單,記

由假設1及(4)得

(7)

設e(t,φ)簡記為e(t),表示狀態估計誤差系統(6)的解,其初始條件為e(s)=φ(s),s∈(-∞,0),其中φ(·)∈C((-∞,0);Rn)。由假設1及條件(4)易知,對于t≥0,系統(1)的解是存在且唯一的。此外狀態估計誤差系統(6)存在唯一的零平衡點。

1.2 基本定義和引理

為了設計所需要的狀態估計器,需要下面的定義。

定義2 若狀態估計誤差系統(6)是全局均方漸近穩定的,則稱系統(5)是神經網絡(1)的狀態估計器。

我們將設計帶有Markovian跳參數的中立型神經網絡的狀態估計器,使得對于每一種模態,系統(6)的動力學是全局均方漸近穩定的。

引理1[9]設X,Y是任意n維實向量且P是n×n階正定矩陣,則2XTPY≤XTPX+YTPY.

2 主要結果

2.1 狀態估計誤差系統的全局均方漸近穩定性

為了表達方便,記

現在,我們探討誤差系統的穩定性問題,即得出狀態估計誤差系統(6)的全局均方漸近穩定的充分條件,進而可根據定義2得到系統(5)是中立型神經網絡(1)的狀態估計器的充分條件。

定理1 設已知估計器增益矩陣K(i)(i∈S),在假設1-2條件下,若存在常數ρi>0(i∈S),n×n階矩陣Pi>0(i∈S),Q>0,R>0,S>0(i∈S)及正定對角矩陣Λi,Θi,Ωi(i∈S),使得下面矩陣不等式對于i=1,2,…n0成立,

(8)

其中

則系統(6)是全局均方漸近穩定的。

證明定義et(·)為et(s)=e(t+s)(-∞

(9)

其中

設L是沿著系統(6)的隨機過程{(et,r(t)):t≥0}的弱無窮小算子,其定義為

于是我們有

(10)

關于LVk(et,t,i)(k=1,2,…,6)的計算如下:

(11)

(12)

類似于(12)式得

(13)

易見

(14)

此外,我們可推出

(15)

最后,我們有

(16)

將(11)—(16)代入(10)式中,可以得到

(17)

由假設1及引理2,可推出

(18)

(19)

(20)

此外,由引理3,易知

(21)

因此,由(18)—(21)式,可以得到

其中

設λ0=max{λ1|i∈Smax,顯然,λ0<0,于是LV(et,t,i)≤λ0|e(t)|2.因此,

2.2 狀態估計器的設計

現在需要研究狀態估計器的設計問題,即計算出估計器的增益矩陣K(i)(i∈S),使得定理1的一組矩陣不等式(8)成立。顯然,由于它們是非線性的并且其中含有許多參數,很難解矩陣不等式(8)。解決這種問題的一種有意義的方法是將非線性耦合矩陣不等式轉化為線性矩陣不等式(LMIs),與此同時,可以計算出估計器的增益矩陣。

下面的定理說明,若一組LMIs是可行的,則可以設計出所需要的估計器的增益矩陣。

定理2 在假設1-2條件下,若存在常數ρi>0(1≤i≤n0),n×n階矩陣Pi>0(1≤i≤n0),Q>0,R>0,S>0,n×n階對角矩陣Λi>0,Σi>0,Ωi>0(1≤i≤n0)和n×m階矩陣Mi,Ni(1≤i≤n0)使得下面LMIs是可行的

其中

證明設Mi=PiK(i),Ni=QK(i),1≤i≤n0,則由引理4可知Ψ2(i)<0等價于Ψ1(i)<0,從而由定理1可以得到當K(i)=Pi-1Mi時誤差狀態系統(6)是全局均方漸近穩定的。

3 數值舉例

下面針對所討論的中立型神經網絡,給出二維中立型神經網絡實例來說明提出的狀態估計器設計方法的有效性。

例 考慮具有Markov跳參數的二維中立型神經網絡,其中系統的參數取值如下:

取激勵函數為

以及時滯核函數為φ(s)=e-3s.易驗證

根據上面的參數,并應用Matlab線性矩陣不等式工具箱求解LMIs可得下面的可行解:

根據定理1、2可知,此系統是漸進穩定的。狀態估計器增益矩陣為

圖1 真實狀態x1與估計狀態

圖2 真實狀態x2與估計狀態

4 結語

對于含有Markov模態依賴的離散時滯和無窮分布時滯的中立型神經網絡,通過構造新的Lyapunov-Krasovskii泛函以及應用一些新的隨機分析技巧,可以推導出狀態估計誤差系統全局漸近穩定的充分條件,從而保證了所考慮神經網絡的全階狀態估計器的存在。在這些充分條件的基礎上,通過將非線性耦合的矩陣不等式轉化為線性矩陣不等式,借助線性矩陣不等式(LIMs)的可行性解決神經元的狀態估計問題,并運用Matlab LMI Toolbox進行求解,從數值例子可以看出所設計的狀態估計器的有效性和可行性。